Кривые второго порядка. Лекция 7

1.

Лекция 7. Кривые второго
порядка
1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.

2.

п.1. Окружность.
Окружность есть геометрическое множество
точек на плоскости, равноудаленных от
данной точки.

3.

Уравнение окружности радиуса R с центром в
начале координат
y
x y? R
2
R
0
x
2
2

4.

Уравнение окружности радиуса R с центром в
точке O( x0 ; y0 )
y
( x x0 ) ?( y y0 ) R
2
O
0
x
2
2

5.

п.2. Эллипс.
Эллипс есть геометрическое место точек на
плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнению
x
a
2
2
y
b
2
1
,
2
a b 0.

6.

Свойства эллипса
1.Симметрия относительно осей координат и
начала координат.
2. | x | a, | y | b.
y
3. I-я четверть:
b
2
x
y b 1 2
a
a
x

7.

y
B2
A1
A2
F1
O
F2
x
B1
Фокусы эллипса:
Вершины
Большая
полуось
эллипса:
:.1A
(1 a(c. ;0a),;0),F2A(2c;(0a),;0),
ось
: 2aF
Малая ось
полуось
2
2
.
: 2b:. c 2B b
). a
a; b),
bB
, 02 ( 0;cb
1 (0
Центр эллипса: O(0;0).

8.

Теорема 1. Точка M плоскости принадлежит
эллипсу тогда и только тогда, когда сумма
расстояний от фокусов F1 и F2 до точки M
равна 2a.
y
M ( x; y )
F1
O
F2
x

9.

y
M ( x; y )
F1 ( c;0)
MF1 ( x c) y
2
O
2
F2 (c;0)
x
MF2 ( x c) y
2
2

10.

Доказательство.
Необходимость.
Пусть точка M ( x; y ) лежит на эллипсе.
Покажем, что MF1 MF2 2a
2
x
2
2
1
y 1 2 b
2
2
a
b
a
x
2
y
2
b
2
2 2
b x
a
2

11.

MF1 x 2cx c y
2
c a b
2
2
2
2
y b
2
2
2
x 2cx a b b
2
2
2
2
2
b
2
2
x 1 2 2cx a
a
2 2
b x
a
2
2 2
b x
a
2

12.

x
2 c
a
2
2
cx
a
2
2
2
c
c
c
x a x a a x
a
a
a
c
MF1 a x
a

13.

c
MF2 a x
a
Самостоятельно
c
c
MF1 MF2 a x a x 2a
a
a

14.

Достаточность.
MF1 MF2 2a
Покажем, что точка M ( x; y ) лежит на эллипсе.
Пусть
MF1 ( x c) y
2
2
MF2 ( x c) y
2
( x c) y ( x c) y 2a
2
2
2
2
2
( x( x c)c2) 2 y 2y 2 2 a2 a ( x( x c )c2 ) 2 y 2y 2
2
2

15.

x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2
a a ( x( x c)c) y y a a
cxcx
22
2 2
2
22
2
a x 2cx c y a 2a cx c x
2
2
2
2
4
2
2 2
a x 2a cx a c a y a 2a cx c x
2 2
2
2 2
2 2
4
2
2 2

16.

a c x a y a a c
2
2
c a b
2
2
2
2
2 2
2
2
a c b
2
2
2
2
b x a y a b
2 2
b x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
a y
a b
x
y
2
1
2
2
2 2
2 2
2 2
a
b
a b
a b
a b
Теорема доказана.

17.

c
1 ─ эксцентриситет эллипса
a
1
0 b a

18.

Уравнение эллипса с центром в точке O( x0 ; y0 )
O
( x x0 )
a
2
2
( y y0 )
b
2
2
1

19.

a b
F2 (0; c)
c b a
2
F1 (0; c)
2
2

20.

п.3. Гипербола.
Гипербола есть геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
2
2
x
a
2
y
b
1
,
2
a, b 0.

21.

y
O
Оси гиперболы: действительная, мнимая.
x

22.

y
A1
O
x
A2
Вершины гиперболы: A1 ( a;0)
A2 (a;0)

23.

y
O
Центр гиперболы: O(0;0)
x

24.

y
F1
O
F2
Фокусы гиперболы: F1 ( c;0), F2 (c;0),
c a b .
2
2
2
x

25.

y
O
b
Асимптоты гиперболы: y x.
a
x

26.

y
O
Полуоси гиперболы: a, b.
x

27.

Теорема 2. Точка M плоскости принадлежит
гиперболе тогда и только тогда, когда
абсолютная величина разности расстояний от
фокусов F1 и F2 до точки M равна 2a.
F1
y
M ( x; y )
O
F2
Доказательство самостоятельно.
x

28.

Свойства гиперболы
1. Симметрия относительно осей координат и
начала координат.
2. Не пересекает ось Oy.
3. | x | a.
4.
a c.
5.
a b ─ равнобочная гипербола.
6. График гиперболы насколько угодно близко
приближается к асимптотам.

29.

c
1 ─ эксцентриситет гиперболы
a
1

30.

Уравнение гиперболы с центром в точке
O( x0 ; y0 ).
O
( x x0 )
a
2
2
( y y0 )
b
2
2
1

31.

y
b
2
2
x
a
2
─ сопряженная гипербола
1
2

32.

п.4. Парабола.
Парабола есть геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
y 2 px,
2
p 0.

33.

p y
x
2
O
F
x
Ось параболы: Ox.
Вершина параболы: O(0;0).
p
Фокус: F ,0 .
2
p
Директриса: L : x .
2
Расстояние от фокуса до директрисы: p.

34.

Теорема 3. Точка M плоскости принадлежит
параболе тогда и только тогда, когда эта точка
равноудалена от фокуса F и директрисы L.
y
M ( x; y )
O
L
F
x

35.

p
N ; y
2
y
M ( x; y )
O
x
p
F ;0
2
L
2
p
2
MF x y
2
p
MN x
2
Доказательство самостоятельно.

36.

Свойства параболы
1. Симметрия относительно оси Ox.
2. x 0.
3. Проходит через начало координат.

37.

Уравнение параболы с центром в точке
O( x0 ; y0 ).
y
O
x
( y y0 ) 2 p( x x0 )
2

38.

Расположение параболы относительно осей
координат
x 2 py
x 2 py
2
y 2 px
2
2
y
y
F
F
p
2
p
y
2
O
x
x
O x
x
y
p
y
2
O
F