Численное интегрирование

1.

ЧИСЛЕННОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ

2.

Если функция f(x)
непрерывна на отрезке a,b
то определенный интеграл
от этой функции
в пределах от a до b
существует и имеет вид
b
f ( x )dx F ( b ) F ( a )
a

3.

Задача численного
интегрирования
Найти определенный интеграл
на отрезке a,b
если подынтегральная функция
на отрезке задана таблично.
Формулы
приближенного интегрирования
называются
квадратурными формулами.

4.

Метод прямоугольников
основан на непосредственном
определении интеграла:
b
n 1
a
i 0
f ( i ) xi
f ( x )dx nlim
n 1
где
f ( i ) xi - интегральная сумма, соответствующая
i 0
некоторому разбиению отрезка a,b
и некоторому выбору точек
0 , 1 ,…, n 1
на отрезках разбиения

5.

Вычисление определенного
интеграла
b
I f ( x )dx
a
геометрически сводится
к вычислению площади
криволинейной трапеции,
ограниченной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

6.

y
Учитывая,
что высота
Прямоугольника
ABba есть
значение
функции
в точке
f(x)
A
a
f x dx b a f
a
C
D
0
b
+
– E
B
b
x

7.

Для увеличения точности
численного интегрирования
можно отрезок a,b
разбить на несколько частей
и для каждой из них вычислить
приближенное значение
площади криволинейной
трапеции, основанием которой
является отрезок
xi xi 1 xi (i = 0, 1, …,n – 1),
а высотой число
f i т.е. значение функции
в точке i xi , xi 1
b
f x dx f 0 x0 f 1 x1 f 2 x2 f n 1 xn 1
a

8.

Практически удобно делить
отрезок a,b
на равные части, а точки
i (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми
f i f xi
или с правыми f i f xi 1
концами отрезков разбиения.

9.

Если точку i
совместить с левым концом
отрезка xi
то приближенное значение
интеграла может быть
представлено
формулой левых
прямоугольников:
n 1
b a
I л f x dx
y0 y1 y n 1 h y i
n
i 0
a
b
где
b a
h
n
– шаг.

10.

y
0 x0 a x1 x2
xn 1b xn x

11.

.
Если же в качестве точки i
выбрать правый конец отрезка xi
то приближенное значение
интеграла вычисляется
по формуле правых
прямоугольников:
n
b a
I П f x dx
y1 y2 yn h yi
n
i 1
a
b

12.

y
0 x0 a x1x2
xn 1 b xn
x

13.

Метод трапеций
Заменим на отрезке a,b
дугу AB графика
подынтегральной функции y = f(x)
стягивающей ее хордой и
вычислим площадь трапеции ABba.
Примем значение определенного
интеграла численно равным
площади этой трапеции:
f a f b
f x dx b a
2
a
Это и есть формула трапеций
b

14.

y
f(x)
B
A
0
a
b
x

15.

Если отрезок a,b
разделить на несколько
частей и применить
формулу трапеции
к каждому отрезку xi
Тогда
f xi f xi 1
xi
f x dx
2
xi
x i 1

16.

y
0
x0 a x1
xn 1 b xn
x

17.

Для простоты вычислений
удобно разделить отрезок a,b
на равные части,
в этом случае длина
каждого из отрезков
разбиения есть
b a
x i
n
Численное значение
интеграла на отрезке xi
равно
b a f xi f xi 1
f x dx n
2
xi
x i 1

18.

А на всем отрезке
a,b
соответственно
b a n 1 f xi f xi 1 b a n 1 yi yi 1
f x dx n
2
n i 0
2
i 0
a
b
Эта формула называется
общей формулой трапеции.
Ее можно переписать в виде
b
h
f x dx 2 y0 2 y1 2 y 2 2 y n 1 y n
a
b a
h
где
– шаг.
n

19.

Метод парабол
(метод Симпсона)
y
h
0
x1
h
x1
x2
x

20.

функцию y = f(x) на отрезке a,b
заменяем квадратичной функцией,
принимающей в узлах
x0 a , x1 , x2 b
значения
y0 f x0 , y1 f x1 и y2 f x2
В качестве интерполяционного
многочлена воспользуемся
многочленом Ньютона
y0
2 y0
P2 x y0
x x0 2 x x0 x x1
h
2h

21.

Тогда
x2
x0
y0 4h 2 2 y0 8h 3 2 y0 4h 3
f x dx P2 x dx 2hy0
2
2
h
2
2h
3
2h
2
x0
x2
h
h
2hy0 2h y0 2 y0 y0 4 y1 y2
3
3
Это соотношение
называется формулой Симпсона.

22.

Для увеличения точности
вычислений отрезок a,b
разбивают на n пар участков
x2i 2 , x2i 1 , x2i
и заменяя подынтегральную
функцию интерполяционным
многочленом Ньютона
второй степени, получают
приближенное значение
интеграла на каждом участке
длины 2h:

23.

x2
f x dx
x0
x4
x2
h
y0 4 y1 y2
3
f x dx
h
y 2 4 y3 y 4
3
……………………………………
x2 n
h
f x dx y2 n 2 4 y2 n 1 y2 n
3
x2 n 2

24.

Тогда численное значение
определенного интеграла
на отрезке a,b
будет равно сумме интегралов
b
f x dx
a
h
y0 y 2 n 4 y1 . y 2 n 1 2 y 2 y 2 n 2
3
Это соотношение называется
общей формулой Симпсона.
Ее можно записать также в виде
b
a
f x dx
b a
y0 y 2 n 4 y1 . y 2 n 1 2 y 2 y 2 n 2
6n
где h b a
2n