Матрицы и действия над ними

1.

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ»

2.

ПЛАН ЛЕКЦИИ
1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

3.

ПОНЯТИЕ И ВИДЫ
МАТРИЦ

4.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЛИ
КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.

5.

ВИДЫ МАТРИЦ
4
12
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3
22
Матрица-столбец
0
5
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
1
3 2 0
Матрица-строка

6.

СТРОКИ, СТОЛБЦЫ,
ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР
МАТРИЦЫ

7.

ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ
СТРОК И СТОЛБЦОВ
СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.

8.

СТРОКА И СТОЛБЕЦ
4
12
17
29
30 36 3-я строка
4
12
17
29
30 36 2-й столбец

9.

РАЗМЕР МАТРИЦЫ
МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3 строки, 2 столбца)
30 36

10.

ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ
РАЗМЕРА m НА n
a11 a12
a21 a22
A
...
...
a
m1 am2
a1n
... a2n
... ...
... amn
...

11.

ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ
4 Элемент a31 a-три-один 30
12
17 29
(3-я строка,1-й столбец)
30 36

12.

ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ
МАТРИЦ
3 1 2
4 2 0 Главная диагональ
5 6 1
3 1 2
4 2 0 Побочная диагональ
5 6 1

13.

ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Верхняя треугольная матрица
3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1

14.

ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ

15.

ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО
УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО
3 1 2 15 5 10
5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5

16.

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО
РАЗМЕРА МОЖНО
СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ
3 1 2 8 5 5
4 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7

17.

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ
МАТРИЦЫ
4
12
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T

18.

УМНОЖЕНИЕ
СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ
(СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)
7
2
5
3
0
2 7 5 0 3 4 2
4

19.

УМНОЖЕНИЕ
МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ
КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ
СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА
СТОЛБЕЦ
3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4

20.

ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ
МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

21.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ
КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ
МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО
УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ
СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ
С A B
A левая матрица, B правая матрица

22.

ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
3 1 2 8 1
4 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 8 2 7 0 2
4 1 2 2 0 3 46 8
5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4

23.

УМНОЖЕНИЕ
СТОЛБЦА НА СТРОКУ
7 2
7
0 2 5 3 0 2
4
4 2
7 5
0 5
4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

24.

ВАЖНЫЕ ТИПЫ
КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
1 0 0
Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0

25.

СВОЙСТВО
ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ:
A•E=E•A=A
5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0

26.

БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009