Приложения двойного интеграла. Вычисление объемов тел

1.

Из
геометрического
смысла
двойного
интеграла следует, что любой двойной
интеграл задает объем тела, ограниченного
сверху графиком подынтегральной функции,
снизу – областью D, с боков – цилиндрической
поверхностью с направляющими по границе
области D.

2.

Вычислить объем тела,
ограниченного поверхностями
z x y,
x y a, (a 0)
z 0

3.

Поскольку
подынтегральная
функция
должна быть не отрицательна, то область
интегрирования ограничена на плоскости
ХОУ
прямоугольным
равнобедренным
треугольником с катетами, равными а.
y
a
D
0
a
x

4.

a x
a
a
1
2 a x
D x y dxdy 0 dx 0 x ydy 2 0 dx x y 0
a
a
1
1
2
dx x (a x) dx ( x 3 2a x 2 a 2 x)
20
20
1 x
2ax
a x
2 4
3
2
4
3
2
2
a
a4
(куб .ед.)
0 24

5.

Площадь некоторой области D может быть
найдена по формуле:
dxdy S
D
D

6.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
y ln x,
x y 1,
y 1

7.

y
y ln x
y x 1
B
1
0
1
A
D
C
x

8.

S ABD S ABC S BCD
S ABC -площадь прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 1.
S ABC
1
2
S BCD -ограничена снизу прямой y=-1 при
1
x 1
e
-сверху кривой y=lnx и справа прямой
x=1.

9.

1
S ABD
ln x
1
1
dxdy dx dy
2 BCD
2 1
1
e
1
1
1
1
ln x
dx y 1 dx ln x 1
2 1
2 1
e
e
ln x 1 u
1
du dx
x
dx dv
x v

10.

1
1
x ln x 1
e
2
1
1
1 1
1
1 x x dx 2 e e x 1e
e
1
1 1 1
1 1 кв.ед.
2
e 2 e