Электомагнитные колебания и волны. Лекция 8

1.

ЭЛЕКТОМАГНИТНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Лекция 8

2.

Тема занятий
1 Электрические колебания
2 Квазистационарные токи
3 Свободные колебания в электрическом контуре без
активного сопротивления
4 Затухающие электрические колебания
5 Вынужденные электрические колебания. Резонанс
6 Мощность, выделяемая в цепи переменного
тока
7 Сложение электрических колебаний ( фигуры
Лиссажу,)

3.

Общие сведения о колебаниях
Колебаниями называются процессы,
которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени
В зависимости от природы
различают:
Механические
колебания
Электрические
колебания

4.

Механические и электрические колебания
Механические колебания
– это механическое движение
тела или системы тел которое
обладает повторяемостью во
времени
Электрические колебания
– это колебания
электрических и магнитных
полей которые
сопровождаются
периодическим изменением
заряда тока и напряжения
+q
I
C
L
-q
Колебательный
контур

5.

Колебательный контур
С
Простейшей системой где могут
возникать и существовать
L
электрические колебания является
колебательный контур.
Колебательный контур – цепь состоящая из
последовательно включенных катушки индуктивности L и
конденсатора C (идеальный контур).
С
R
L
Реальный колебательный контур кроме
катушки индуктивности и конденсатора
содержит активное сопротивление R а
также сопротивление проводов катушки и
соединительных проводов.

6.

Возбуждение электрических колебаний
С
-q
+q
Если зарядить конденсатор и замкнуть на
катушку, то по катушке потечет ток.
I
L
dI
S L
dt
Когда конденсатор разрядится ток в цепи не
прекратится из – за самоиндукции в катушке.
Индукционный ток, в соответствии с правилом
Ленца, будет течь в ту же сторону и
перезарядит конденсатор.
Ток в данном направлении прекратится, и процесс
повторится в обратном направлении. Таким образом,
в колебательном контуре будут происходить
электрические колебания.

7.

Работа колебательного контура
-q
+q
q=0
+q
-q
q=0
-q
+q
C
C
C
C
C
L
L
L
L
L
WE=q2/2C
WE=0
WE=q2/2C
WH=0
WH=LI2/2
WH=0
kx2
WK
2
m 2
WП
2
kx2
WK
2
WE=0
WE=q2/2C
WH=LI2/2
m 2
WП
2
WH=0
kx2
WK
2
Происходит превращение энергии
электрического поля конденсатора в энергию
магнитного поля катушки и наоборот.

8.

Характеристики колебательного контура
Электрические колебания в контуре – гармонические.
Это означает, что заряд , напряжение на конденсаторе, сила
тока в цепи, энергия изменяются по закону :
q qm sin 0 t 0 или
q qm cos 0 t 0
где qm - амплитуда колебаний, максимальное значение заряда;
0 - круговая или циклическая частота колебаний; (рад/с)
2
2
T
- частота колебаний (число колебаний в ед. времени)
T - период колебаний
T 2 LC
Формула
Томсона

9.

Характеристики колебательного контура
0 t 0
q
qm
0
t
0 0
/2
q
qm
0
- фаза колебаний
(состояние колеблющейся
величины в данный момент
времени)
φ0 – начальная фаза колебаний
(определяет смещение
колеблющейся величины в
момент начала отсчета времени).
q qm cos 0 t 0
0 / 2

10.

Энергия электромагнитных колебаний в контуре
Энергия электрического поля конденсатора
2
2
q
q 2 qm
WE
sin 2 t m 1 cos 2 t
2C 2C
2C
Энергия электрического поля катушки
2
2
LI
LI 2 LI m
WH
cos 2 t m 1 cos 2 t
2
2
2
W WE WH
Колебания энергий
происходят с частотой в 2
раза превышающей частоту
колебаний заряда и силы тока
и со сдвигом фаз, равным
W
WH
W/2
WE
0
t
t

11.

Квазистационарный ток
При выводе дифференциального уравнения
механических колебаний применяются законы
механики.
Для получения дифференциального
уравнения электромагнитных колебаний в
контуре необходимо применить законы
электродинамики.
Но закон Ома и правила Кирхгофа
установлены для постоянного тока, а
электромагнитные колебания совершаются с
большой частотой.

12.

Квазистационарный ток
Закон Ома и правила Кирхгофа установлены для
постоянного тока. Электромагнитные колебания
совершаются с большой частотой.
При определенных условиях мгновенные значения
изменяющегося тока можно считать постоянными.
(1)
Т
Условие квазистационарности
Токи, удовлетворяющие такому условию,
называются квазистационарными.
Пример:
Т
Длина цепи l = 3
Скорость распространения
сигнала с= 3·108 м/с
t
Время прохождения сигналом цепи
l
3
8
10
c
8
c 3 10
для 0,01Т
Условие (1) выполняется для
частот
100МГЦ

13.

Свободные
электрические
Свободные электрические колебания – это
колебания
периодически
повторяющиеся изменения
электромагнитных величин (заряда, тока в катушке,
напряжения на конденсаторе), происходящие без
потребления энергии от внешних источников.
В соответствии со вторым правилом Кирхгофа (и
законом сохранения энергии)
UC
С
R
L
dq
I
dt
UR
U R UC S
q
dI
IR L
C
dt
d 2q
dq q
L 2 R
0
dt C
dt
Дифференциальное уравнение свободных колебаний контура

14.

Уравнение свободных электрических колебаний
0
d 2q
dq
2
2
0 q 0
2
dt
dt
1
LC
Собственная частота
колебаний (рад/с)
q
t
x
Коэффициент
затухания
q q m cos 0 t
d q
2
0 q 0
2
Решение уравнения
dt
2
Т
0
Для идеального контура R = 0
R
2L
В колебательном контуре без активного
сопротивления происходят незатухающие
гармонические колебания с собственной
частотой w0

15.

Незатухающие электрические колебания
С
L
С
R=0
Дифференционное уравнение незатухаюших колебаний
q
d 2q
2
q 0
0
2
t dt
qm
t1
x
0 t
UC UL
Фаза колебаний в
момент времени t1
I
0
1
LC
q q m cos 0 t
q qm
U
cos 0 t U m cos 0 t
C C
dq
I
0 q m sin 0 t I m cos 0 t
dt
2
q q m cos 0 t
Колебания тока I опережают по фазе
колебания заряда q на π/2

16.

Затухающие электрические колебания
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
d 2q
dq
2
2
0 q 0
2
dt
dt
q
qm e
q q0e t cos t
Коэффициент затухания
t
0 2
2
0
2LR
t
Частота затухающих колебаний
Экспоненциальный
характер убывания
амплитуды колебаний
1
R2
2
LC 4 L
0

17.

Затухающие электрические колебания
Логарифмический декремент затухания –
A t
A t
ln
T ,
A t T
A t T
где A(t) - амплитудные значения
соответствующей величины q, U, I .
Время релаксации
- время, в течение которого
амплитуда колебаний
уменьшится в е-раз

18.

Физический смысл
A0
1
e e
A
T 1
βи θ
1
Коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная
времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е
раз.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшилась в е
раз. Тогда
= NT
1
1
T
N N
1
N
Логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная
числу полных колебаний по истечению которых амплитуда
колебаний уменьшается в е раз

19.

Добротность колебательного контура
Добротность контура – физическая величина,
обратно пропорциональная логарифмическому
декременту затухания
Q N
В случае слабого
затухания
1 L
Q
R C
Добротность колебательной системы с точностью до
множителя 2π равна отношению энергии, запасенной в
системе в данный момент, к убыли этой энергии за один
период колебаний
W
0
W(t) W(t+T)
t
W t
Q 2
W t T

20.

Апериодический процесс
Апериодический процесс – процесс, происходящий при очень
сильном затухании.
Частота собственных колебаний системы становится
мнимой при ω0 ˂ β.
2 2
0
При увеличении коэффициента затухания период затухающих
колебаний растет и при ω0 = β обращается в бесконечность,
т.е. процесс перестает быть периодическим.
2
T
1 / LC R 2 / 4L2
Сопротивление контура, при котором
колебательный процесс переходит в
апериодический, называется критическим
сопротивлением.
Rкр 2
q
0
L
C
t

21.

Вынужденные электрические колебания
Незатухающие колебания в цепи, содержащей
индуктивность и емкость, под действием внешней
периодически изменяющейся ЭДС, называются
вынужденными электромагнитными колебаниями
С
U U m cos t
R
2L
R
L
Um
d 2q
dq
2
0 q
cos t
2
dt
dt
L
0
Дифференциальное уравнение вынужденных
электромагнитных колебаний
1
LC

22.

Вынужденные электрические колебания
Um
d 2q
dq
2
0 q
cos t
2
dt
dt
L
Решение неоднородного дифференциального уравнений, равно сумме
общего решения, соответствующего однородного уравнения q1 и частного
решения неоднородного уравнения q2
q1 q m1e t cos 1t
q = q1 + q2
q2 qm cos t
q
0
t
x
Установление колебаний
Установившиеся колебания
Вынужденные колебания совершаются с
частотой вынуждающей ЭДС

23.

Вынужденные электрические колебания
Явление резонанса
При вынужденных колебаниях ведичина заряда зависит от
частоты вынуждаюшей ЭДС
U
d 2q
dq
q qm cos t
dt
dq
qm sin t qm cos t
dt
2
2
2
dt
0 q
d q
2
2
q
cos
t
qm cos t 2 q
m
2
dt
L
2 qm
cos t
Um / L
2
2 q m cos t 2 q m cos t
m
2
0
2
2 qm
0 2 qm
Um
2
q
cos
t
cos t
0
m
2
L
Чтобы уравнение выполнялось, сумма трех этих векторов должна
совпадать с вектором, изображающим функцию U m
cos t
L

24.

Явление резонанса
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний
при частоте вынуждающей силы равной или близкой
собственной частоте системы.
qm
Um / L
2
0
2 2
4 2 2
Чтобы найти резонансную частоту ωрез - частоту, при которой
амплитуда заряда достигает максимума – нужно найти максимум этой
функции
d
0 2 2
d
2
4 2 2
d
0 4 2 0 2 2 4 4 2 2 0
d
4 0 2 4 3 8 2 4 0 2 2 2 0
2
2
рез 0 2 2 2
Резонансная частота при R = 0 равна
собственной частоте контура
0

25.

Резонанс напряжений
Резонанс напряжений возникает в цепи последовательно
соединенных катушки индуктивности, конденсатора и
сопротивления при совпадении частоты колебаний внешней
ЭДС с собственной частотой контура
R
UR
L
C
UL UC
U
~
2
1
2
2
Z R 2 L
R X L X C
C
X L L
Реактивные сопротивления
индуктивности и емкости
При 0 реактивные сопротивления равны
I
L
U R= U
UL
1
XC
C
Полное
сопротивление
контура
UC
1
C
Векторная диаграмма
резонанса напряжений
p
1
LC
Резонансная частота

26.

Резонанс напряжений
Напряжения на катушке и на конденсаторе противоположны по фазе и
компенсируют друг друга. Полное сопротивление при этом будет равно
активному сопротивлению Z = R, что вызовет увеличение тока в цепи, а,
следовательно, и напряжения на индуктивности и емкости.
Резонанс напряжений выражается в том, что полное
сопротивление контура становится наименьшим и равным
активному сопротивлению, а ток становится
максимальным.

27.

Резонанс токов
Резонанс токов наблюдается в цепи, содержащей
параллельно соединенные индуктивность и емкость
Условия получения резонанса токов такие же, как и для резонанса
напряжений 0 и XL = XC. Однако в этом случае на катушке и на
конденсаторе напряжение такое же, как у генератора.
Резонанс тока проявляется в уменьшении амплитуды тока во
внешней цепи и при этом резкого увеличения тока в катушке
индуктивности, при приближении частоты приложенного
напряжения ω к ωр,
I
Z
U
IR = I
IC
I = Ia
IL

28.

Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению
мгновенных значений напряжения и силы тока:
P t U t I t
P t U m cos t I m cos t
P t I mU m cos 2 t cos sin t cos t sin
Практический интерес представляет не мгновенное значение
мощности, а ее среднее значение за период колебания
Учитывая, что
1 а также
sin t cos t 0
cos t
2
2
UL
L I m
1
Im
C
U
Um
RIm
1
L
I m
C
1
P I mU m cos
2
cos
- Коэффициент мощности
UR
Из диаграммы
U m cos RI m

29.

Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
1
22
P
RI
P RI mm
2
2
Такую же мощность рассеивает постоянный ток I
Um
Im
U
I
,
2
2
Im
2
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям
тока и напряжения.
P IU cos
Допустимое значение cos для промышленных установок примерно 0,85.
Для првышения коэффициента мощности существуют разные способы.
Основной способ – включение параллельно приемнику электрической энергии
специальных устройств, называемых компенсаторами (батарея конденсаторов).
При включении компенсатора по нему проходит ток, опережающий
напряжение на 900. Угол сдвига фаз уменьшается.

30.

Сложение гармонических колебаний
1) Одинаковой частоты
2) Близкие частоты
Вид результирующего колебания определяется
соотношением фаз складываемых колебаний
Возникают биения
3) Взаимно перпендикулярные одинаковой частоты
Эллипс, окружность, прямые (зависит от соотношения амплитуд и фаз)
4) Взаимно перпендикулярные с кратными частотами
Фигуры Лиссажу
1 / 2 m / n

31.

Спасибо за внимание

32.

Электрические колебания
Задача 1
В колебательном контуре сила тока изменяется согласно графику,
представленному на рисунке. Заряд конденсатора возрастает в
интервале времени…?
1) от 0 до a; от b до c.
2) от a до b; от c до d.
3) от 0 до a; от c до d.
4) от a до b; от b до c.
I, A
5) от 0 до a; от a до b.
b
0
d
a
c
t·10t-2 ctt 6) от b до b; cот b до d.

33.

Электрические колебания
Задача 2
В колебательном контуре заряд конденсатора изменяется со временем
согласно графику на рисунке. Определить силу тока в катушке
индуктивности в моменгт времени t = 0,2·10-3 с.
q qm sin 0 t 0 0 0
q,mКл
2
2
3
1
2
10
c
T
1,0 10 3
0,6
6
0,4
4
2
0,2
0
0,2
0,5
1,0
t 10 3 c
dq
I
0 q m cos 0 t
dt
0
Ответ:
qm=6 mКл
I 0,6 10 3 2 10 3 cos 2 10 3 0,2 10 3
I 1,16 A
I 1,2 3,14 cos 0.4 1,16 A

34.

Электрические колебания
Задача 3
Электрический заряд на обкладках конденсатора в колебательном контуре
изменяется по закону q = 0,2cos(4πt+π/3), мКл. Определите: амплитуду колебаний
заряда на обкладках конденсатора, циклическую частоту, частоту, период и
начальную фазу колебаний заряда, амплитуду силы тока в контуре через через 1 с.
Дано: q = 0,2cos(4πt+π/3), мКл.
Найти: qm; ω0; 0 T; φ; Im.
Решение
Из заданного закона изменения электрического заряда на
обкладках конденсатора q = qm cos(4πt+π/3), следует:
амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора qm=0,2мКл
циклическая частота ω0 = 4π с-1;начальная фаза колебаний заряда φ0 = π/3 рад.
Искомые частота и период колебаний соответственно равны:
0
0
2
2
dq
0 q m sin 0 t 0 q m cos 0 t / 2
0
dt
I m 0 qm
Откуда искомая амплитуда силы тока в контуре
T
I
Ответ: qm= 0,2 мКл; ω0 = 4π с-1; φ0= π/3 рад;
0 = 2 Гц;
Т = 0,5 с; Im = 0,8π мА.

35.

Задача 4
Затухающие колебания
Контур состоит из катушки с индуктивностью L = 2·10-2 Гн, активного
сопротивления R = 8 Ом и конденсатора емкостью С = 6,6·10-9 Ф. Найти
логарифмический декремент затухания колебаний в контуре.
Дано: L = 2·10-2 Гн; R = 8 Ом; С = 6,6·10-9 Ф.
Найти:
Решение
Логарифмический декремент затухания Т
Коэффициент затухания
R
2L
Период затухающих колебаний
T
2
2
1 / LC R 2 / 4 L2
Подставляем числовые данные
Ответ:
8 3,14
2 10 2 1 / 2 10 2 6,6 10 9 8 2 /( 4 2 10 2 ) 2
1,4 10 2
1,4 10 2

36.

Задача 5
Затухающие колебания
На рисунке приведен график зависимости амплитуды колебаний в контуре
от времени. Определить по графику: 1) время релаксации ;
2) коэффициент затухания; 3) логарифмический декремент затухания
1) Время релаксации (время, за которое
амплитуда уменьшится в е раз (е = 2,72).
= 6 mс.
находим по графику
2,7
1,0
10
t, mc
2) Коэффициент затухания
1
1
1
170
с
6 10 3
3) Логарифмический декремент затухания равен обратному числу полных
колебаний за время релаксации. По графику число колебаний N = 3,
следовательно, θ = 0.51
Ответ:
= 6 mс;
170с 1 ;

37.

Добротность колебательного контура
Добротность колебательного контура Q = 0.7. Определить,
на сколько процентов отличается частота затухающих
колебаний контура от частоты собственных колебаний.
Задача 6
Дано: Q = 0.7.
0
Найти:
0
Решение
1) Добротность колебательного контура
Q
Т
2) Логарифмический декремент затухания
1
2 0 2 2 Разделим
Q
2
3)
обе
части
на
2
Q
T 2 2
или 0 1
и
2
2
л
и
2Q
4) Окончательно
0
2 2 2
2
2
2
2
0
Частота затухающих
колебаний
2
4Q 2 1
0 2
1
4Q 2 1
1
2
2
4Q
4Q 2
2 0,707
1,414
0,82
0
4 0,5 1
3
0.82 0 , что составляет 18% от 0

38.

Задача 7
Апериодический процесс
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 450мкФ,
катушку индуктивностью L = 0,66 Гн и активное сопротивление R =100
Ом. Возникнут ли в контуре электрические колебания? Если возникнут, то
какова будет частота колебаний?
Дано: С = 450мкФ; L = 0,66 Гн ; R =100 Ом
Найти:
Решение
Рассчитаем величину критического сопротивления
Rкр 2
L
C
Rкр 2
0,66
76Ом
6
450 10
Критическое сопротивление равно 76 Ом, а в контуре активное
сопротивление 100 Ом, т.е. больше критического. Следовательно, в
контуре, содержащем указанные значения R, L и C, колебания не
возникнут.
Ответ: Колебания не возникнут.

39.

Мощность, передаваемая в цепи переменного тока
Задача 8
Контур состоит из катушки индуктивностью 25 мкГн, резистора
сопротивлением 2 Ом и конденсатора емкостью 3000 пФ. Какую
мощность должен потреблять контур, чтобы в нем
поддерживались незатухающие колебания, при которых
максимальное напряжение на конденсаторе равно 5 В?
Дано: L = 2,5·10-5 Гн; С = 3·10-9; R = 2 Ом; Um = 5 В.
Найти: Р.
Решение
Средняя мощность, передаваемая в цепи переменного тока
P
1
2
RI m
2
qm U m C
dq
I
q m cos t
dt
Im
U mC
3
Ответ: P 1,5 10 Вт
LC
Um
C
L
2
U CR
P m
2L
I m q m
qm
LC
Подставляем
числовые данные
5 2 3 10 9 2
3
P
1
,
5
10
Вт
5
2 2,8 10