ОДУ высших порядков

1.

Числа не управляют миром,
но они показывают,
как управляется мир.
И. Гёте
Не будем спорить – будем вычислять.
Г. Лейбниц

2.

ОДУ высших порядков
Обыкновенным
дифференциальным
уравнением
называется уравнение, связывающее между собой значения
независимой переменной x, неизвестной функции y=f(x) и её
производных (или дифференциалов):
Общим решением (общим интегралом) уравнения
называется соотношение вида:

3.

Некоторые типы уравнений, допускающие
понижение порядка
Уравнение вида
решается последовательным n-кратным интегрированием.
Пример:

4.

Пример:
Переобозначив постоянные, общее решение
можно записать в виде :
y = sinx + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

5.

Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не
содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную
этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k
единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид
т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием
решается уравнение y(k)(x)= z(x).

6.

Пример: Понизить порядок уравнения:
Младшая производная, входящая в явной форме в уравнение, вторая, поэтому делаем замену искомой функции:
Тогда
и уравнение примет вид

7.

Определение:
Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение вида
ay by cy 0, (А)
где a, b и c - постоянные величины.
Формула (А) может быть записана и так:
d2у
dу
а
в
су 0,
2
dх
dх
(B)

8.

Для нахождения общего решения данного
уравнения составляется характеристическое
уравнение:
ак
2
вк с 0
Это уравнение получается из первоначального уравнения (А)
путем
замены
производных
искомой
функции,
соответствующими степенями K и сама функция заменяется
единицей.

9.

Общее решение дифференциального
уравнения строится в зависимости от
характера корней характеристического
2
уравнения ак вк с 0 :
k1, 2
b
b 2 4ac
2a
Возможны три случая :
I случай :
k1
и
k2 - действительные корни и
различные, тогда общее решение
примет вид:
у С1 e
k1 x
C2 e
k2 x
. (1)

10.

II случай:
k1 k 2 k
- действительные и равные, тогда общее решение
примет вид:
у С1 e k x C2 x e k x . (2)
III случай:
k1
и
k2
- комплексные числа, а именно
k1 i,
k 2 i,
тогда общее решение имеет вид:
y e x C1 cos x C2 sin x . (3)

11.

Решение задач
Пример 1.
y 7 y 6 y 0
Пример 2.
у 10 у 25 у 0
Пример 3.
у 6 у 25 у 0
Пример 4 .
у у 0
.
Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения
у 8 у 16 у 0
если y(0)=1 и у 0 3