Основы теории нечетких множеств

1.

§5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ

2.

5.1. ОПИСАНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ,
ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
И ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ
МНОЖЕСТВАМИ

3.

Определение.
Под
нечетким
множеством понимается множество для
которого
невозможно
задать
строгих
границ.

4.

Пусть
V
–
полное
множество,
охватывающее всю предметную область.
Нечеткое множество F (оно фактически
является подмножеством V, но принято
говорить о нем как о множестве) определяется
через функцию принадлежности
F (u ) (u –
элемент множества V).
Эта функция отображает элементы и
множества V на множество чисел в интервале
от 0 до 1, которые указывают степень
принадлежности каждого элемента нечеткому
множеству F.

5.

Если такое множество V состоит из
конечного числа элементов,
u1, u 2 , u n , то
нечеткое множество F можно представить в
следующем виде:
F
F u1
u1
F u 2
u2
...
F u n
un
n
F ui
i 1
ui

6.

Пример. Пусть полное множество – это
множество людей в возрасте 0-100 лет, функции
принадлежности нечетких множеств, обозначающих
возраст: «молодой», «средний», «старый»
u
1
0
10
20
Старый
Средний
Молодой
30
40
50
60
70
80
90
100

7.

В
случае
непрерывного
используется интегральное
совокупности
F
V
F u i
ui
множества
V
представление

8.

Если определить множества возрастов как
дискретные,
отслеживая
только
позиции,
соответствующие десятилетиям, то множества
могут быть представлены в следующем виде:
молодой молодой u
средний средний u
старый старый u
1 1 0,8 0,3
0 10 20 30
0.5 1 0.5
30 40 50
0.4 0.8 1
1
1
50 60 70 80 90

9. Операции над нечеткими множествами

1. Дополнение множества
1 F u i
F
i 1
ui
n
или
F 1 F u
2. Объединение множеств
n
F G
i 1
F u G u
ui
или
F G u F u G u ,
3. Пересечение множеств
n
F u i G u i
i 1
ui
F G
или F G u F u G u ,

10. Пример.

0.2 0.7 1
1
1
молодой молодой u
...
20 30 40 50
90
1 1 0.8 0.5 1 0.5
молодой средний молодой средний u
0 10 20 30 40 50
молодой средний м олодой средний u 0.3
30

11.

5.2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

12.

Определение. Нечетким отношением R
между некоторой проблемной областью (полным
множеством U) и другой областью (полным
множеством V) называется нечеткое подмножество
прямого
произведения
UXV,
определяемое
следующим образом:
n
m
R
i 1 j 1
R ui , v j
u , v
i
j
U u1 , u 2 ....u n , V v1 , v 2 ...v m

13.

Допустим, что существует знание правит
типа «если F, то G», использующее нечеткие
G V
множества F U
и
, тогда один из
способов построения нечеткого отношения из
соответствующей области множества U в области
множества V состоит в следующем:
n
m
R F G
i 1 j 1
F u i G v i
u , v
i
j

14. Пример:

Пример. Пусть
U ={A, B, C, D} - множество людей, а
–
это
множество
штанг
различного
веса,
тогда
определим
следующим образом нечеткие множества: F –
множество сильных людей и G – множество
штанг большого веса.

15.

16.

5.3. СВЕРТКА ОТНОШЕНИЙ

17.

Для построения полноценного вывода
необходимо определить не только понятие
отношения, но и правило перехода от одного
отношения к другому, которое базируется на
понятии свертки отношений.
Определение.
Сверткой
отношений
называется правило перехода от одного
отношения к другому, т.е. пусть R – нечеткое
отношение между областью U и областью V, а
S – нечеткое отношение между V и W, тогда
нечеткое отношение между U и W определяется
как свертка отношений R и S

18.

n
R S V
i 1 k 1
v j v
R u i , v j S v j , wk
u , w
i
k
Символ « » обозначает минимаксную
свертку, определяемую для выводов с
помощью цепочки правил. v – взятие max
для всех , - взятие min для каждой пары.

19.

Пример. Пусть задано множество чисел
мышечной
массы
различного объема и на нем
определено
нечеткие множество H большой мышечной
массы.
-
Множество
как
и
в
предыдущем примере, это множество штанг
различного веса, на котором определено
нечеткое множество F не маленьких весов.

20.

21.

22.

23.

5.4. ПОСТРОЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

24.

Традиционный
дедуктивный
вывод
(называемый правило определения) – это
вывод Q из P (факта) по правилу P Q
Это записывается так
P Q
P
.
Q

25.

Это же обозначение используется в
случаях нечетких дедуктивных выводов, если
знания – это нечеткие множества а именно
F , G, F ' , G' вывод G ' из F ' по правилу
записывается так: F G
F G
P'
'
Q
.

26.

Множества F и F' не обязательно совпадают.
Если F и F' близки друг к другу, то их можно
сопоставить и получить вывод
в области их
совпадения.
Конкретно нечеткие выводы представляются
следующим образом. Вывод
определяется из
'
сверткиGмножества
и отношения R.
m
G V
'
j 1
u i V
F u i R u i , v j
vj
F , F ' V , G, G ' V v1 , v2 , vm

27.

Пример. Пусть, как и в предыдущем случае