Теория нечетких множеств

1. Теория нечетких множеств

1
Чернов Владимир Георгиевич
Теория нечетких множеств

2. Литература

• 1. Чернов В.ГНечеткие множества. Осноы теориии и
применения: учебное пособие; Владим. гос.ун-т им. А.Г. и
Н.Г. Столетовых.- Владимир:Изд-во ВлГУ,2018.-186
• 2. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде
MATLAB и fuzzyTECH.-СПб.:БХВ-Петербург,2003.-736с.
• 3.Штовба С.Д. Проектирование нечетких систем средствам
MATLAB .-М.: Горячая линия-Телеком,2007.-288с.

3. Лотфи Заде -- сегодня является одним из самых признанных в мире прикладных математиков и системотехников

4.

• «Мир не так прост, как нас пытаются заставить думать. Очертания
нечетки, оттенки имеют огромное значение. Ничто не бывает только
черным или только белым, зло может оказаться переодетым добром,
безобразие-замаскированной красотой и наоборот. Одно никогда не
исключает другого…. Жизнь-это неясное приключение на фоне
размытого пейзажа.»
Артуро Перес-Реверте « Фламандская доска»
• Принцип несовместимости Лофти Заде.
• « По мере возрастания сложности системы наша способность
формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее
поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым
точность т смысл становятся взаимоисключающими»

5.

Стандартное "четкое" множество строится на основе математической
конструкции, "отсеивающей" из "универсального множества" (в общем
случае -- содержащего все во Вселенной) некоторую часть его
элементов. За "отсев" отвечает так называемая характеристическая
функция, значение которой для каждого элемента универсального
множества может принимать строго (или, в принятых здесь терминах,
четко) одно из двух возможных значений: 1 или 0. Формального
описания "характеристической функции вообще" в математических
терминах не существует, о ней принято говорить естественным языком
примерно так: если элемент универсального множества обладает
свойством (или набором свойств) S, то характеристическая функция для
этого элемента равна 1, в противном случае ее значение 0. То есть
фактически любое множество определяется этим самым свойством
(или набором свойств) S и объединяет некоторое количество (не
обязательно конечное, счетное) элементов, обладающих свойством S.
Четкость классических множеств заключается в строгой определенности
значений характеристической функции -- элемент или строго
определенно принадлежит множеству (характеристическая функция
равна 1) или строго определенно не принадлежит ему
(характеристическая функция 0). И такая определенность очень долго
устраивала специалистов по теоретической и прикладной математике.

6.

А теперь давайте попробуем из всей бесконечности "всего" в нашей
Вселенной, в которой, очевидно, есть место и для таких объектов, как
"вода" и "стаканы", сформировать множество на основе вполне
понятного человеку свойства S, определенного словами "стакан воды".
Стакан, до краев наполненный водой, очевидно, удовлетворяет этому
свойству -- и характеристическая функция для такого элемента
множества будет равна единице. А какое значение должна принимать
характеристическая функция, если стакан наполнен водой на две трети?
А если наполовину? А если стакан наполнен водой всего на треть -- он
еще "стакан воды" или уже не совсем?
Этот "парадокс стакана воды" на самом деле не иллюстрирует ничего
другого, кроме специфики формирования характеристической функции.
Люди понимают (или умеют понимать) неформально определенные
свойства вроде "стакана воды", "среднего возраста", "небольшого
роста". Машинные (традиционные вычислительные) алгоритмы же,
напротив, оперируют строгими значениями: "123 миллилитра", "34
года", "163 сантиметра".

7.

Первая публикация, в которой прозвучал термин fuzzy set (нечеткое множество) и была
сформулирована главная идея нечеткости, датируется 1965 годом. Ее автор -- Лотфи Заде -- сегодня
является одним из самых признанных в мире прикладных математиков и системотехников
(перечень регалий поныне здравствующего 89 летнего Заде, похоже, займет очень большой объем,
посему знакомьтесь сами: www.cs.berkeley.edu/~zadeh/).
Отец теории нечетких множеств -- личность с на удивление яркой историей. Клише
соцреалистического прошлого "никто не забыт, ничто не забыто" в случае с ним почему-то не
сработало ни разу. Поэтому восстановим справедливость. Лотфи Заде был рожден в 1921 г. в
советском Баку, в советской семье, которая по своему составу являлась "классикой шестидесятых"
(единением в одной ячейке общества пресловутых физиков и лириков). Сегодня, читая работы Заде,
хорошо понятно, что его отец-журналист и мать-физик весьма мудро поступили, когда в 1931 г.
смогли увезти десятилетнего Лотфи подальше от надвигающихся побед коллективизации и
индустриализации -- в Иран (точнее, тогда еще в Персию). Там будущий ученый с мировым именем
получил более чем неплохое образование сначала в частной пресвитерианской школе в Тегеране ( в
Персии, почти 90% населения которой исповедовало ислам, нашлось место и для одной из
разновидностей христианства), а затем -- в Университете Тегерана. Ну а в "послеперсидский" период
путь будущего ученого вполне традиционен для большинства высококлассных специалистов:
непременный Массачусетский технологический институт (MIT), изучение системотехники, Беркли...
Сам Лотфи Заде не обижался на игнорирование его советской властью, не восхищался
признанием его "выдающимся азербайджанцем" после логического завершения оной. Он всегда
считал себя гражданином мира: "Вопрос в действительности не в том, кто я -- американец, русский,
иранец, азербайджанец или кто-то еще... Я формировался людьми всех этих национальностей и
всеми культурами, носителями которых являлись эти люди, и я чувствую себя комфортно среди них
всех".

8.

Возвращаясь к теории fuzzy sets, мы теперь располагаем вполне
достаточными сведениями для того, чтобы весьма точно сформулировать
ее главное отличие от классической теории четких множеств. Если для
четких множеств результатом вычисления характеристической функции
могут быть только два значения -- 0 или 1, то для fuzzy sets это количество
бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.
Справедливости ради следует отметить, что Лотфи Заде, формулируя это
главное свойство нечетких множеств, стоял на плечах гигантов. В начале
1920 х годов польский математик Лукашевич трудился над принципами
многозначной математической логики, в которой значениями предикатов
могли быть не только "истина" или "ложь". В 1937 г. еще один
американский ученый -- выходец из богатого на специалистов по нечеткой
логике Баку -- Макс Блэк (Max Black) в своей статье в журнале "Философия
науки" (Philosophy of Science) впервые применил многозначную логику
Лукашевича к спискам как множествам объектов и назвал такие множества
неопределенными (vague). И только почти через 30 лет после этой работы
Блэка Заде на основе логики Лукашевича построил полноценную
алгебраическую систему. Прошли еще долгие 10 лет, и лед тронулся:
теоретическая алгебра Заде благодаря Ибрагиму Мамдани (Ebrahim
Mamdani) из лондонского колледжа королевы Марии (Queen Mary College)
заработала "в железе". Именно Мамдани в 1975 г. спроектировал первый
функционирующий на основе алгебры Заде контроллер, управляющий
паровой турбиной (стоит заметить, что принципы построения его
алгоритмики стали каноническими и увековечены общепринятым среди
специалистов названием Mamdani-type controller).

9.

Нечеткие системы, т.е. системы, использующие нечеткие множества типа
«высокая температура», «предсказуемый политик», «ажиотажный спрос»,
успешно работают в различных областях инженерии, экономики, медицины,
биологии, психологии, политики и др. Только в одной Японии используется
более 17,7 тыс. патентов, связанных с нечеткими множествами и нечеткими
системами. Наибольшее применение нечеткие системы нашли в управлении
техническими объектами и технологическими процессами. Например, нечеткие
контроллеры на четырех нефтеперерабатывающих заводах Idemitsu Kosan Со.
обеспечивают ежегодный экономический эффект более 200 млн японских иен.
Изделия с нечетким управлением выпускаются массовыми партиями.
Например, японская фирма Omron произвела свыше 7,4 млн нечетких
измерителей кровяного давления на 740 млн долл. Немецкая корпорация
Siemens продала более двух миллионов стиральных машин с нечетким
управлением. Среди нечеткого ассортимента Siemens выделим нечеткие
контроллеры для автомобильных трансмиссий Porsche, Peugeot и Hyundai,
нечеткие путеводители для навигационных систем Opel и Peugeot, а также
систему управления воздушной подушкой, которая использует правила
нечеткой классификации, чтобы определить занято сидение в автомобиле
пассажиром или багажом.

10. Нечеткий и вероятностный подход к моделированию неопределенности

В связи с рассмотренными выше различными аспектами неопределенности, перечень которых, в
свою очередь, не претендует на полноту, следует отметить дискуссию, которая возникла по вопросу:
"Является ли нечеткость разновидностью вероятности или она имеет некое самостоятельное
содержание?"
Эта дискуссия была инициирована адептами стохастического подхода к анализу неопределенности
и время от времени дополняется новой аргументацией в пользу того, что по их мнению, нечеткость
не вносит ничего нового в процесс анализа неопределенности.
Исторически изучением и разработкой моделей, учитывающих неопределенность того или иного
вида, занимаются многие математические дисциплины, такие как теория вероятностей, теория
информации, математическая статистика, теория игр, теория массового обслуживания и теория
нечетких множеств. Один из способов показать различия нечеткого и стохастического подходов —
классифицировать тип неопределенности, которая изучается этими дисциплинами.
С этой целью рассмотрим два наиболее характерных типа неопределенности —
стохастическую и лингвистическую неопределенности.
Стохастическая неопределенность
Стохастическая неопределенность имеет место в ситуациях, когда некоторое хорошо описанное
событие может произойти, а может не произойти. При этом с течением времени степень
неопределенности, связанная с этим событием, может измениться. Дополнительно необходимо
принять некоторые предположения относительно условий, при которых рассматривается данное
событие.

11.

Эти условия, как правило, характеризуют так называемый идеальный эксперимент.
Рассмотрим следующее высказывание: "Вероятность того, что при бросании монеты вытадет
орел (герб), равна 0.5м.
В этом высказывании неявно предполагается, что монета и поверхность идеальной формы, процесс
бросания идеален с точки зрения субъектов эксперимента, а потенциальная возможность того, что
монета окажется в вертикальном положении, исключается полностью. По прошествии некоторого и
неопределенность исчезает, поскольку после подбрасывания монеты окажется в одном из двух
возможных состояний: либо орлом сверху, либо решкой.
Таким образом, рассматриваемое высказывание имеет смысл только по отношению к событию в
будущем. Изменение условий эксперимента может привести к изменению содержания этого
высказывания. Поскольку обеспечить идеальные условия на практике не всегда возможно, вольно
или невольно мы вынуждены с некоторой потенциально присутствующей ошибкой в количественной оценке вероятности событий. Предельные теоремы теории вероятностей как раз и
предназначены для оценки этой погрешности .при частотной интерпретации вероятности события в
длинной серии испытаний.
Исторически теория вероятностей была первой математической дисциплиной для представления
неопределенности в математических моделях. По этой причине неопределенность долгое время
считалась стохастической по своей природе и наделялась, иногда искусственно, свойствами
случайной неопределенности. Что касается вероятностного процесса, результат любой частной
реализации которого является исключительно вопросом случая, предсказать последовательность
событий просто невозможно. Для вероятностных процессов оказывается возможным лишь точное
описание статистических оценок некоторых усредненных характеристик этого процесса.

12.

Рассмотрим другое высказывание: "Вероятность того, что завтра пойдет дождь, равна 0.8".
В этом высказывании неявно предполагается, что событие "пойдет дождь" хорошо описано. Тем не
менее, совершенно очевидно, что это событие недостаточно хорошо определено: не ясно, то ли
дождь будет идти целый день, или дождь будет идти 80% от следующих по времени суток? Более
того, следует ли считать дождем мелкий дождь или только ливень? Таким образом, при кажущейся
очевидности этого высказывания при болee детальном его анализе мы обнаруживаем некоторый
другой тип неопределенности, который содержательно отличается от стохастического. Эта
неопределенность скорее относится к лингвистическому описанию ситуации или события, а не к
количественной оценке того, произойдет это событие в будущем или не произойдет.
Лингвистическая неопределенность
Реальный мир сложен, причем эта сложность зачастую проявляется как неопределенность в форме
неоднозначности или неточности.
Этот тип неопределенности связан с неточностью обычного человеческого языка, с ним мы
постоянно сталкиваемся в повседневной жизни. Достаточно рассмотреть фразы типа "высокие
люди", "горячие пирожки", "красивое лицо", "хороший автомобиль", "устойчивая валюта",
"дождливый день", "неважное самочувствие", "трудный день", чтобы понять, что вряд ли возможно
дать им точные количественные определения.
Действительно, высокие и низкие люди будут иметь свои собственные представления о том, каких
людей следует считать высокими. Более того, если мы формально установим считать высокими всех
людей выше 180 см, будет ли человек с ростом 179.999 см высоким или нет? Контекст фраз тоже
имеет значение, поскольку оценка высоких людей, находящихся на сцене театра и в зрительном
зале, будет различной.

13.

Для изучения подобных субъективных оценок предназначена отдельная наука — психолингвистика.
В рамках этой науки принято считать, что в рассмотренных фразах люди используют слова в качестве
некоторых субъективных категорий. Эти субъективные категории дают нам возможность
классифицировать объекты, которые характеризуются такими свойствами, как "высота", "истина",
"вес", "температура", "цвет". Даже при том, что большинство используемых категорий точно не
определено, люди могут использовать их для весьма комплексных оценок и решений, которые
основаны на учете многих различных факторов.
Рассмотрим высказывание: "Вероятно, мы будем иметь успешный финансовый год".
Это высказывание имеет существенные отличия от рассмотренных ранее высказываний. Во-первых,
само событие точно не определено. Для некоторых компаний успешный финансовый год может
означать, что им удастся избежать банкротства. Для других это может означать превышение
прибыли за предшествующий год. Даже для отдельно взятой компании трудно предложить
некоторое количественное значение прибыли, чтобы определить, будет ли для нее бюджетный год,
как рассматривается, успешным или нет. Следовательно, понятие "успешный финансовый год"
является субъективной категорией.
Другая особенность последнего высказывания заключается в определении выражения вероятности.
В то время как в предыдущих двух высказываниях вероятность была выражена количественно,
данное высказывание не определяет количество вероятности. Следовательно, выражение
вероятности в последнем высказывании также является субъективной категорией так же, как
"высокие люди» и "горячие пирожки".

14.

• Моделирование лингвистической
• неопределенности
Высказывания, аналогичные последнему высказыванию и использующие субъективные категории
людей, играют важную роль в процессе повседневного принятия решения. Даже при том, что эти
высказывания не имеют количественного содержания, люди успешно используют их для
комплексных оценок. В некоторых случаях неопределенность, которая присутствует в значении тех
или иных слов сознательно используется нами в разговоре для придания ему дополнительной
гибкости. Достаточно представить себе диалоги в ситуациях с поиском высокооплачиваемой работы
или приобретением недвижимости.
Чтобы адекватно использовать логику, присутствующую в человеческих рассуждениях для решения
технических проблем необходимо разработать соответствующую математическую модель. Именно
с этой целью была разработана нечеткая логика, которая позволяет представить процессы принятия
решений и
оценки ситуаций человеком в некоторой алгоритмической форме. Хотя возможности человеческого
мышления и фантазии безграничны, пределы того, что позволяет моделировать нечеткая логика,
существуют.
Каким образом люди могут рассуждать относительно реальных систем, когда законченное описание
реальной системы часто требует более детальных данных, чем человек в состоянии получить и
интерпретировать? Ответ состоит в том, что способность рассуждать приблизительно, возможность,
которой компьютеры в настоящее время не обладают. При общении людей использование фраз
типа "высокий человек" и "высокооплачиваемая работа" не приводит к возникновению
концептуальных проблем, поскольку передает семантически понятную информацию участвующим в
разговоре личностям. При необходимости всегда можно уточнить используемые субъективные
категории.

15.

В то же время компьютеры или микропроцессоры используют в своей работе исключительно
бинарную логику. Для понимания соответствующих фраз компьютером необходимо, чтобы
конкретное значение высоты или заработной платы сравнилось с заданным пороговым значением
для рассматриваемых формальных категорий "высокий человек" и "высокооплачиваемая работа".
Основное достоинство теории нечетких множеств заключается в возможности использовать
лингвистические переменные вместо количественных, нечеткую логику вместо бинарной логики
для формального представления подобных неточных субъективных категорий. {
При рассмотрении сложной системы люди рассуждают относительно ее структуры и поведения
приблизительно или неточно. Тем самым достигается некоторое универсальное понимание
содержания проблемы. К счастью, эта общность и неточность, приобретаемая в форме опыта с
течением времени, зачастую оказываются достаточными для человеческого понимания сложных
явлений и адекватного принятия решений в бытовых ситуациях. Именно в рамках теории нечетких
множеств оказывается возможным включить в описание проблемы этот опыт и интуицию
отдельного человека.

16. 2. Основы теории нечетких множеств 2.1 Нечеткие множества

2
2. Основы теории нечетких множеств
2.1 Нечеткие множества
Множество U называется универсальным, если для любого
выполняется условие
X U
X U X
Пусть U - универсальное множество и X - множество в пространстве U, тогда
характеристическая функция множества X определится следующим образом:
1, x X
X ( x)
0, x X
Универсальное множество описывается
характеристической функцией
X ( x) 1, õ U

17.

3
Например. Для множества X чисел 2 x
функция имеет вид представленный рис.3 .
4
характеристическая
Пусть U - универсальное множество, тогда нечетким
~
множеством X на множестве U называется совокупность
~
пар вида
,
X { ~ x x}
x x
X
где -
Õ~ x
Õ~ x
функция принадлежности.
Чаще всего определение нечеткого множества
объясняют следующим образом: величина
обозначает субъективную оценку степени
принадлежности х множеству Х, например
=0.8 означает, что х на 80% принадлежит Х..

18.

4
« х приблизительно лежит в пределах от 2 до 4»
Носителем нечеткого множества называется множество элементов
x U
, такое что для любого
x U
x x 0
~ 0}
SuppX {x x U, X
.

19.

Высота нечеткого множества. Величина
, где супремум берется по всем значениям функции принадлежности для хЄХ9 называется высотой нечеткого множества А. Согласно этому определению, нечеткое множество А
пусто, если его высота в точности равна 0, т. е. hА = 0.
Например, высота нечеткого множества А, которое представляет "действительное число,
приближенно равное нулю", также равна 1 .
Рассмотрим в качестве еще одного примера бесконечное нечеткое множество С которое
представляет "большое действительное число", с функцией принадлежности, заданной
следующим математическим выражением:
для
и
для
Высота эт
Высота этого нечеткого
множества также равна 1, однако среди элементов
универсума отсутствуют числа, для которых
.
Действительно, какое бы число мы
рассмотрели, соответствующее значение
функции принадлежности всегда будет строго меньше 1.

20.

Нормальное нечеткое множество. Нечеткое множество А называется нормальным,
если максимальное значение его функции принадлежности
равно 1. Формально это означает, что для нормального нечеткого множества
необходимо выполнение следующего условия:
max{
} }}
(1)
Нечеткое множество В" действительное число, приближенно равное нулю" также является нормальным, поскольку его высота равна 1 и μВ(0)=1. Напротив,
нечеткое множество С "большое действительное число" не является нормальным.
Субнормальное нечеткое множество. Если высота нечеткого
множества равна единице (hA=1), но условие (1) не выполняется, то такое нечеткое множество будем называть субнормальным.
Очевидно, нечеткое множество С "большое действительное число" является субнормальным.
Другими словами, для субнормального нечеткого множества необходимо лишь,
чтобы его высота была равна 1, т. е. выполнялось бы условие: hA=1
Это
опредедение корректно, поскольку в этом случае всякое нормальное нечеткое
множество является субнормальным с дополнительным условием (1).

21.

Ядро нечеткого множества. Ядром нечеткого множество A называется такое обычное множество А1, элементы которого удовлетворяют
условию: A1={xЄX\μA(x)=l}.
Например, ядро нечеткого множества A "небольшое натуральное число"
равно двухэлементному множеству А1={1, 2}. Ядро нечеткого множества B
"действительное число, приближенно равное нулю" равно
одноэлементному множеству (singleton) В ={0}. Нечеткое множество С
"большое действительное число"'имеет пустое ядро.
Не трудно заметить, что если произвольное нечеткое множество не является
нормальным, то ядро такого нечеткого множества будет пустым. Таким образом, имеет место следующая фундаментальная теорема. Для того чтобы
некоторое нечеткое множество было нормальным, необходимо и
достаточно, чтобы оно имело непустое ядро.
Поскольку, как было показано выше, высота нечеткого множества всегда
существует, то произвольное непустое нечеткое множество A всегда можно
преобразовать по меньшей мере к субнормальному нечеткому множеству A
по следующей формуле:
(2)

22.

Более того, если в исходном нечетком множестве A найдется хотя бы один
элемент хЄA, для которого значение функции принадлежности равно высоте
этого нечеткого множества, т. е. , то полученное после преобразования (2)
нечеткое множество A будет нормальным.
В частности, если исходное нечеткое множество A является нормальным или
субнормальным, то преобразование (2) приводит к тривиальному результату.
Рассмотрим случай, когда исходное нечеткое множество A не является пустым
и субнормальным. Это означает, что его высота равна некоторому значению
из открытого интервала (0, 1), т. е. hA€(0,1). При этом, если ha=μA(х) для
некоторого элемента хЄХ, то для этого элемента хЄХ значение функции
принадлежности μА(х), рассчитанное по формуле (2), будет равно 1. Это
означает, что нечеткое множество А будет нормальным.
Если же hA>μA(x) для всех элементов хЄХ, то значение функции
принадлежности μA(x) , рассчитанное по формуле (2), всегда будет меньше 1.
Однако, по свойству наименьшей верхней грани числового множества, высота
результирующего нечеткого множества будет равна единице: hA=sup{μA(x)} =
1. А это означает, нечеткое множество A будет субнормальным.

23.

Границы нечеткого множества. Границами нечеткого множества называются
такие элементы универсума, для которых значения функции прилежности
отличны от 0 и 1 Другими словами, границы нечеткого множества А={х, ,μА(х)}
включают те и только те элементы универсума хЄХ, для которых выполняется
условие: 0<μА(х)< 1.
Точки перехода нечеткого множества. Элементы нечеткого множества уЄА,,
для которых выполняется условие: μA(x)} =0.5, называются точками перехода
этого нечеткого множества А.
В общем случае введенные в рассмотрение понятия можно
проиллюстрировать графически следующие образом

24.

Для характеристики нечетких множеств используют также понятие
выпуклости, которое ассоциируется с соответствующим графическим
изображением функции
принадлежности.
Выпуклое нечеткое множество. Нечеткое множество А={x/µA(X)}
с универсумом U называют выпуклым, если его функция принадлежности
μA(x) удовлетворяет следующему неравенству:
(3)
для любых значений x,a,bЄX ,при которых
а)
б)
ф
Графики функций принадлежности выпуклого (а)
и невыпуклого (б) нечеткого множества

25.

5
Лингвистическая и нечеткая переменная
Формальное описание нечеткой переменной будет представлено
тройкой
< L, D, FS > ,
где L - наименование нечеткой переменной ;
D - область ее определения ;
FS = { L x x} - нечеткое множество на D.
Пример. Пусть температура среды оценивается с помощью понятий
«низкая»,«средняя», «высокая», при этом минимальная температура оценивается как
+30 С , а максимальная +600 С .
Функции принадлежности, соответствующие этим понятиям приведены на рис. 7.
Тогда нечеткая переменная будет задана следующей совокупностью
< температура , [ 3,60] , μ 1 x
x ,μ 2 x x ,μ 3 x x >

26.

7 Определение 1. Лингвистической переменной называется переменная, значения
которой могут быть слова или слово сочетания.
Опредление 2. Терм-множеством называется множество всех возможных значений
лингвистической переменной.
Терм - множество лингвистической переменной «температура»
(температура)={очень низкая \/ почти низкая \/ низкая \/ почти средняя \/
средняя \/ ...\/ высокая \/ очень высокая}.
Определение 3. Термом называется любой элемент терм- множества. Терм
задается нечетким множеством посредством функции принадлежности.
Чтобы определить лингвистическую перемененную необходимо задать ее имя,
множество значений ( терм - множество), представляющих собой наименование
нечетких переменных, областью определения, каждой из которых является
множество D. Кроме этих определений необходимо задать правила, с помощью
которых из имеющихся элементов терм - множеств, могут получаться новые, а
также правила, согласно которым значения лингвистической переменной ставятся
в соответствие нечеткие множества. Формально это представляется так
< L, T, D, G , M >,
где L - наименование лингвистической переменной;
T - множество значений лингвистической переменной ( терм - множество),
определенное на D;
G - грамматика, совокупность правил, позволяющая оперировать элементами
терм - множества Т , в частности генерировать новые осмысленные термы;
М - процедура, позволяющая установить соответствие между лингвистическим
значением и нечетким множеством, т.е. правила вычисления функции

27.

8
Пусть определяется новое значение - «малая или средняя температура».
Грамматика G определяет правило построения нового значения ( рис.8,
утолщенная линия) , а процедура М - определяет значения новой функции
принадлежности
' ( x ) 1 ( x ) 2 ( x )
1(x)
2(x)
(утолщенная кривая )

28.

10
Вопросы к разделу 1.1
1. Укажите основные отличия между классическим множеством и
нечетким.
2. Что определяет терм – множество нечеткой переменной?
3. Могут ли использоваться для решения одной и той же задачи
одновременно нормальные и субнормальные функции принадлежности?
4. Можно ли рассматривать нечеткие множества как обобщение
классических?

29.

10
2.2 Основные методы построения функций принадлежности.
Требования к функциям принадлежности
T i ,i 1, I
- базовое множество лингвистической переменной.
1.1. Функция принадлежности должна быть положительной, т.е.
( x Si ,i 1, I, Xi x 0)
2.
Sup Xi x 1
3. В базовом множестве термов Т запрещается использование
пар термов
.
представленных рисунками

30.

11
4.Термы с минимальными и максимальными номерами не могут
соответствовать колоколообразным функциям принадлежности. Для этих
термов функции принадлежности имеют S- образный вид
μ(х)
1
5.
0.5
х
6.Функция принадлежности
дискретном носителе.
может задаваться на непрерывном или

31.

32.

12
Прямые методы для одного эксперта
Косвенные методы для одного эксперта
n1
n
1
n 2 n1 m
X x
Построение функций принадлежности на основе парных сравнений
~
X X x x ,x U
X x i 1
i
M m i j ,i, j 1, N
.
Число mij показывает, во сколько раз , по мнению эксперта,
X x i
X x i
больше
mi j
mi j
i
X x j
Значение j выбирается произвольно.
Таким образом, для определения X xi
необходимо зафиксировать произвольно
выбранный столбец матрицы М и вычислить
отношения .

33.

13
Пример. Пусть для описания расстояния между двумя точками применяется
лингвистическая переменная - “ расстояние “ с множеством базовых
значений
Т= { малое, среднее, большое }.
Пусть базовое множество В ={1,2,3,6,8,}. Требуется определить значения
функции принадлежности для терма “ малое”. Опросом экспертов получена
следующая матрица парных сравнений
М=
1
3
6
8
1
1
5
6
7
3
1/5
1
4
6
6
1/6
¼
1
4
8
1/7
1/6
1/4
1

34.

14
mij=1/mji..
Зафиксируем первый столбец
М1= 1, 1/5, 1/6, 1/7 .
m11
1
X 1
0.64
m i1 1 1 / 5 1 / 6 1 / 7
i
X 3 , 0.16 X 6 , 0.11
X 8 0.08 .
X x {0.64 / 1,0.16 / 3,0.11 / 6,0.08 / 8}

35.

15
M m i j ,m i j 1
m ji
M
M n
Пример. Рассмотрим задачу оценки освещенности предметов [7].
Освещенность поверхности определяется как количество светового потока на
единицу площади . Для нахождения различий в освещенности четырех
идентичных объектов в зависимости от расстояния до источника был проведен
следующий эксперимент. Визуальное сравнение интенсивности освещенности
проводили независимо друг от друга два эксперта.
Предметы находились на следующих расстояниях от источника света :
9, 15, 21, 28 единиц длины.
Шкала для определения матрицы суждений та же, что и в предыдущем
варианте.
Матрица
парных
сравнений
освещенности
предметов,
пронумерованных в возрастающем порядке в зависимости от их близости к
источнику света, для первого эксперимента имеет вид

36.

16
M=
9
15
21
28
9
1
5
6
7
15
1/5
1
4
6
21
1/6
1/4
1
4
28
1/7
1/6
1/4
1
M
или
M E 0
det M E 0
1
5
6
7
14
1
4
6
16
14
1
4
17
16
14
1
4 4 3 6.914 2.175 0

37.

17
1 0.362; 2 0.14 1.305 j; 3 0.14 1.305 j;
4 4.39
max 4.39
1
1-4,39
5
6
7
1/5
1-4.39
4
6
1/6
1/4
1-4.39
4
2
3
1/7
1/6
1/4
1-4.39
4
=0
-3.39 w1 + 5 w2 +6w3 + 7 w4 =0
1/5 w1 - 3.39 w2 + 4 w3 +6 w4 =0
1/6 w1 + 1/4 w2 - 3.39 w 3 + 4 w 4 =0
1/7 w 1 + 1/6 w 2 + 1/4 w 3 - 3.39 w 4 =0
w1 +w 2 +w3 +w4 =1,
w1 =0.619, w2 =0.235, w3 =0.101, w4 =0.0405.

38.

Для второго эксперта
9
15
21
28
1
4
6
7
M= 15
1/4
1
3
4
21
1/6
1/3
1
2
28
1/7
1/4
1/2
1
9
1
4
6
7
14
1
3
4
16
13
1
2
17
14
12
1
4 4 3 1.687 0.133 0

39.

19
1 0.782; 2 0.12 0.645 j; 3 0.14 0.645 j;
4 4.102
max 4.102
w1 =0.617, w2 =0.224, w3= 0.097, w4 =0.062.
Для первого эксперта n
max 0.39
для второго — 0.102

40.

Предложенный А.П. Ротштейном метод тоже использует матрицу парных
сравнений, но в отличие от метода парных сравнений Т.Саати [10] он не
требует нахождения собственных векторов. Этот метод базируется на идее
распределения степеней принадлежности элементов универсального
множества согласно их рангам. Эта идея раньше использовалась в теории
структурного анализа систем, где рассмотрены разные способы определения
рангов элементов.
Будем
понимать под рангом элемента xi X число
, которое rS ( x i ) )
,
характеризует значимость этого элемента в формировании свойства , которое
описывается нечетким термом . Допускаем, что выполняется правило: чем
больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.
i 1, n
Обозначим ri r ( xi ) , S ( xi ) i
Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать
в виде соотношения: 1 2
n
r1
r2
...
rn
.
к которому добавляется условие нормирования
n
i 1
i
1

41.

• Используя понятие опорного элемента легко определить степени
принадлежности всех элементов универсального множества через
степени принадлежности опорного элемента.
• Если опорным элементом является x1 X с принадлежностью
1т:
2
r2
1
r1
,
r
3 3 1
r1
,
…,
n
rn
1
r1
.
В общем случае для i-го опорного элемента:
ri 1
r1
ri 1
i 1
i
1 i , …, i 1
i ,
r
r
ri
i
, …,
i
Учитывая условие нормировки, находим:
r
r
r
1 1 2 3 ... n
r1 r1
r1
1
r
r
r
2 1 1 3 ... n
r2
r2
r2
……………………..
r r
r
n 1 3 ... n 1 1
rn
rn rn
1
1
n
rn
i
ri
,

42.

• Полученные формулы позволяют вычислить степени принадлежности
• ( значения функции принадлежности) элементов по абсолютным
значениям рангов. Вычисления значительно упрощаются, если
выражения, записанные в скобках, представить в матричной форме:
r2 r3 rn
1, r r ... r
1
1 1
r1 r3 rn
1 ...
M r2 r2 r2
.................
r1 r2 ... rn 1 1
r r
rn
n n
Нетрудно видеть, что это матрица парных сравнений
Саати, поэтому для экспертных оценок
элементов этой матрицы можно использовать 9-ти
балльную шкалу Саати:
ri над r j
1- при отсутствии преимущества
;
3- при слабом преимуществе r над
r ;
i
j
5- при существенном преимуществе
7- при явном преимуществе
ri
ri
над
9- при абсолютном преимуществе
2,4,6,8 – промежуточные оценки.
ri
над
rj
rj
;
над r j ;
;

43.

• Для реализации описанного метода необходимо:
• задать лингвистическую переменную Х;
• определить универсальное множество, на котором задается
переменная Х;
• задать совокупность нечетких термов S1 , S 2 ,..., S m , которые
используются для оценки переменной Х;
• для каждого терма S j , j 1, m сформировать матрицу парных
сравнений;
• используя соотношения вычислить значения функций
принадлежности. Нормирование найденных функций осуществляется
делением на наибольшее значение степени принадлежности.
• Описанный метод построения функций принадлежности достаточно
прост, но согласованность экспертных оценок в данном случае
оценить не возможно.

44. Операции над нечеткими множествами

• Прежде чем рассматривать операции над нечеткими множествами
необходимо сделать ряд замечаний, которые будут способствовать
как пониманию сути этих операций, так и корректному их
применению.
В первую очередь необходимо иметь в виду, что нечеткие
множества- это обобщение классических множеств. Поскольку можно
допустить самые различные варианты подобного обобщения, то
отсюда следует принципиальная возможность неоднозначности
различных определений . имеющих аналогии в классической теории
множеств и представляющих практический интерес. Применительно к
операциям над нечеткими множествами это означает, что любое
определение той или иной операции должно быть справедливо в том
частном случае, когда вместо нечетких множеств используются
классические множества. Иначе говоря, эти определения должны
превращаться в известные определения теоретикомножественных операций, если используемые в них функции
принадлежности заменить на характеристические функции.

45.

• Во-вторых, следует иметь в виду, что сравнение нечетких множеств и
выполнение над ним различных операций будет возможно, только
тогда когда соответствующие нечеткие множества определены на
одном и том же универсуме.
• В третьих, говоря о соответствии нечетких множеств и функций
принадлежности, следует понимать это соответствие в форме
математического изоморфизма, т.к. одна и та же функция
принадлежности может описывать различные качественные понятия.
При этом, хотя одно и то же нечеткое множество, точнее то или иное
свойство в форме нечеткого множества, может быть представлено
различными функциями, отражающими субъективные предпочтения,
с формальной точки зрения мы должны будем говорить о различных
нечетких множествах.

46.

~
A и
~
~ ~
B из U равны ( A B ) тогда и только тогда,
• Множества
когда A~ ( x) B~ ( x) для всех x U .
~ ~
~
~ ~ ~
• Для A, B U множество A является подмножеством B ( A B )
тогда и только тогда, когда A~ ( x) B~ ( x) для всех
.
x U
• Например, если A~ A~ ( x) 1 ( x 2) 2 , (1,3) ,B~ B~ ( x) 1 1 ( x 2) 2 , (0,4) , то
4
~ ~
A
B
(рис.1)

47. Операции над нечеткими множествами.

Объединение нечетких множеств А и В
A B A x B x x A x B x max A x , B x ,x U
U
1 при A x B x 1
A B X
A x B x в противном случае
A B ( x) A ( x) B ( x) A ( x) B ( x)

48.

Пересечение нечетких множеств А и В
A B A x B x x
U
A x B x min A x , B x ,x U
А̃
В̃
X
A B x A x B x , x U

49.

Однако здесь мы сталкиваемся со следующей трудностью. Для
четких множеств обе формулы дают одинаковые результаты, но
для нечетких множеств результат их использования будет
отличаться.
Пример . Пусть два эксперта оценили некоторую величину
нечеткими множествами A и B . На основе их различающихся
оценок необходимо построить совокупную оценку, которая
учитывала бы мнения обоих экспертов. В качестве такой
совокупной оценки зачастую логично брать пересечение
нечетких множеств оценок экспертов.
Сравнение определений
пересечения нечетких
множеств
На рисунке слева изображены исходные оценки, совокупная оценка С1 если для определения
пересечения берется минимум функций принадлежности и совокупная оценка С2, если берется их
произведение. В данном примере определение пересечения через произведение функций
принадлежности может оказаться более удобным, так как такое произведение более
чувствительно к оценкам экспертов.

50.

Действительно, пусть исходные оценки изменились, как показано на рисунке
справа, что может соответствовать общему уменьшению уверенности экспертов. Из
рисунка видно, что, несмотря на это, совокупная оценка для первого определения С1
не изменилось. Для второго же определения достоверность совокупной оценки С2'
уменьшилась, то есть С2' < С2, что адекватно отражает уменьшение уверенности
экспертов. Рассмотренный пример показывает, что необходимо принимать то
определение пересечения нечетких множеств, которое лучше соответствует
содержательной интерпретации конкретной задачи. Тем не менее, есть еще одно
соображение, которое может склонить нас к первому определению пересечения
(через минимум функций принадлежности).
Для пересечения обыкновенных множеств выполняется свойство поглощения: из того, что
A B
следует, что A∩B = A . Это свойство остается верным для нечетких множеств, если
пересечение определять через минимум функций принадлежности, но нарушается,
если пересечение определяется через произведение. Ниже мы будем использовать
только первое определение пересечения нечетких множеств

51.

Дополнение или отрицание нечеткого множества А
A
1 A x x,x U
U
Концентрированием нечеткого множества А
CON A
A x
U
Размытие нечеткого множества
DIL A
0.5
x
A
U
x, x U
2
x,x U

52.

Множество уровня α нечеткого множества ( α-срезом ) А, называют
нечеткое множество , составленное из элементов
x , Uстепень
принадлежности которых нечеткому множеству А не меньше α
0,1 ,A x x U, A x
Строгое множество уровня определяется как
0,1 ,A x x U, A x
Тогда функцию принадлежности можно определить для произвольного нечеткого
множества А с помощью его - сечения в виде
A x sup min , A x
0,1
1, если x A α
A x
0, если x A α

53.

Нечеткие
подмножества
некоторого
универсального
множества
относительно операций объединения, пересечения и дополнения,
определенных соотношениями
(4 - 6)
удовлетворяют следующим
свойствам:
A A A A 0
1. Идемпотентность
2. Коммутативность :
3. Ассоциативность :
при
A 0
A B B A, A B B A
A B C A B C , A B C A B C
4.Дистрибутивность:
.
.
.
A B C A B A C ,
A B C . A B A C
5.Поглощаемость : A B A A . Это свойство можно записать в
другой форме , а именно max , min ,
A
A
B
A
6. Единственность обратного :
1.7.Правила Моргана:
A A
A B A B
A B A B

54.

Пусть А1 и А2 - нечеткие подмножества универсальных множеств U1 и U2
соответственно, Тогда декартово произведение нечетких подмножеств А1 и
А2 обозначается А1 А2 и определяется как нечеткое подмножество
множества U. Последнее определяется декартовым произведением
U U1 U 2
При этом функция степеней принадлежности декартова произведения
определяется выражением
А1 А2
A1 A2 x 1 , x 2 min A1 x 1 A2 x 2 , x 1 U1 , x 2 U 2
Например, пусть имеем универсальные множества U1=U2=(3,5,7) и нечеткие
подмножества
А1=(0.5/3, 1/5, 0.6/7) и А2=(1/3, 0.6/5).
В этом случае декартово произведение нечетких подмножеств А1 и А2
будет равно А1 А2 ={0.5/(3,3), 1/(5,3), 0.6/(7,3), 0.5/(3,5), 0.6/(5,5),
0.6/(7,5)}.
Декартово произведение нечетких множеств тесно связано с понятием
нечеткого отношения, которое будет рассмотрено ниже.

55.

• Расстояния Хэмминга
n
d A, B A x i B x i
i 1
A x i B x i max A x i , B x i min A x i , B x i
0 d A, B n
e A, B
n
A x i B x i
i 1
2
,
0 e A, B n

56. Нечеткие отображения

• Приведем определения отображения и отношения
множеств из классической теории.
• Пусть X {xi : i и1, I} Y { y j : j 1, J } некоторые множества и
соответствие X Y , определенное на прямом
произведении множеств X и Y, т.е. для каждого xi X
существует такое y j Y
, что ( xi , y j ) . Такое всюду
определенное соответствие называется отображением X в
Y и может быть записано как
. : X Y

57.

• Важным частным случаем отображения является отображение
множества самого на себя : X X , которое получило
• название отношения. Для того чтобы различить отображение и
отношение, для последнего используют символ R (relation)
• R : X X или R : X . В классической теории множеств термин
«отношение» используется для обозначения различных видов
отображения множества самого на себя.
Следует отметить, что понятия нечеткого отображения и нечеткого
отношения наряду с понятием нечеткого множества следует отнести к
фундаментальным основам всей теории нечетких множеств.

58.

• Нечеткое отображение и способы его задания. В общем
случае нечетким отображением, заданным на
универсальных множествах U1 ,U 2 ,...,U n , называется
некоторое фиксированное нечеткое подмножество
декартова произведенияU1 U 2 ... U n . Так же как и в случае
обычных множеств с целью охарактеризовать количество
универсальных множеств, на основе которых строится то
или иное нечеткое отображение, принято называть
нечеткое отображение между элементами двух
универсальных множеств – бинарным, между элементами
трех множеств- тернарным, в общем случае –n-арным .
При этом на вид и форму функций принадлежности
нечеткого отображения предварительно не накладывается
никаких ограничений.
Для простоты дальнейшего изложения ограничимся бинарными отображениями.
Это не ограничивает общности рассмотрения т.к. приводимые соотношения
легко обобщаются на любое число универсальных множеств.

59.

• Пусть U1 и U2 универсальные множества. Если U является
~
декартовым произведением U=U1 U2, то нечеткое отображение
определяется как нечеткое подмножество универсального множества
U
.
~ : u1 u 2 0,1
• Значение ~ ui , u j для конкретной пары
u i , u j u1 u 2
• характеризует субъективную степень выполнения соответствия
~
ui u j
• Существует несколько форм задания отображений. Задание
отображения Г на множестве U может быть выполнено
перечислением всех пар , для которых выполняется отношение Г.
Кроме того, отображения могут задаваться в виде матриц и графов.

60. Формализованное представление отношений

Параметры различных систем могут быть связаны между собой различного
рода отношениями. Выделение отношений осуществляется по заранее
выбранному признаку. Если нас интересует влияние параметра системы на ее
производительность или качество выпускаемой продукции, то данная связь
может быть описана различного вида отношениями, “влияет”, “ не влияет”,
“сильно влияет”, “ слабо” и т.д.
Отношением R на множестве U называется подмножество R множества,
определяемого декартовым произведением.
Существует несколько форм задания отношений. Задание отношения R на
множестве U может быть выполнено перечислением всех пар
u i , u j U i, j 1, n
,
для которых выполняется отношение R. Кроме того, отношения задаются в
виде матриц и графов.

61.

Рассмотрим типичную ситуацию, связанную с консалтингом в области выбора
профессии для последующего обучения и получения соответ-ствующей
специальности. С этой целью построим нечеткую модель, осно-ванную на двух
бинарных нечетких отображениях и . Первое из этих не-четких отношений строится
на двух базисных множествах Х и Y, а второе— на двух базисных множествах Y и Z.
Здесь X описывает множество специаль-ностей, по которым проводится набор на
обучение, Y— множество психо - физиологических характеристик, a Z— множество
кандидатов на обучение. В интересуемом нас контексте нечеткое отображение
содержательно описыописывает психо-физиологическое профилирование
специальностей, а — психо-физиологическое профилирование кандидатов на
обучение. Для конкретности, пусть Х={х1,х2, х3, х4, х5}, Y={y1,y2, y3,y4, y5,y6, y7,y8,
y9,y10} и Z={z1,z2, z3,z4, z5} Элементы универсумов имеют следующий
содержательный смысл: х1 — "менеджер", х2 — "программист", x3 — "водитель", x4 —
"секретарь-референт", x5 — "переводчик"; у1 — "быстрота и гибкость мышления", у2
— "умение быстро принимать решения", у3 — "устойчивость и концентрация
внимания", у4 — "зрительная память", у5 — "быстрота реакции", у6 — "двигательная
память", у7 — "физическая выносливость", у8— "координация движений", у9—
"эмоционально-волевая устойчивость", у10 — "ответственность"; z1— "Петров", z2 —
"Иванов", z3 — "Сидоров", z4 — "Васильева", z5 — "Григорьева". Конкретные
значения функций принадлежности и рассматриваемых нечетких отображений
представлены следующими таблицами (табл. 3.4 и 3.5).

62.

Таблица 3.4 Нечеткое отображение профилирования специальностей обучения
Быстрота и
Умение
Устойчи-
Зрительная
Быстрота реак-
гибкость
быстро при-
вость и кон-
память
ции
мышления
нимать ре-
центрация
шения
внимания
Менеджер
0.9
0.9
0.8
0.4
0.5
Програм-
0.8
0.5
0.9
0.3
0.1
Водитель
0.3
0.9
0.6
0.5
0.9
Секретарь
0.5
0.4
0.5
0.5
0.2
Переводчик
0.7
0.8
0.8
0.2
0.6
Двигатель-
Физическая
Координа-
Эмоциональ-
Ответствен-
ная память
выносли-
ция движе-
но-волевая
ность
вость
ний
устойчивость
мист
Менеджер
0.3
0.6
0.2
0.9
0.8
Програм-
0.2
0.2
0.2
0.5
0.5
Водитель
0.8
0.9
0.8
0.6
0.3
Секретарь
0.2
0.3
0.3
0.9
0.8
Переводчик
0.2
0.2
0.3
0.3
0.2
мист

63.

Таблица 3.5 Нечеткое отображение профилирования кандидатов на обучение
Петров
Иванов Сидоров
Васильева Григорьева
Быстрота и гибкость мышления
0.9
0.8
0.7
0.9
1
Умение быстро принимать решения
0.6
0.4
0.8
0.5
0.6
Устойчивость и концентрация внимания
0.5
0.2
0.3
0.8
0.7
Зрительная память
0.5
0.9
0.5
0.8
0.4
Быстрота реакции
1
0.6
0.5
0.7
0.4
Двигательная память
0.4
0.5
1
0.7
0.8
Физическая выносливость
0.5
0.8
0.9
0.5
0.4
Координация движений
0.5
0.6
0.7
0.6
0.5
Эмоционально-волевая устойчивость
0.8
1
0.2
0.5
0.6
Ответственность
0.3
0.5
0.9
0.6
0.8

64.

Матрицы нечетких отображений
~
S
и
~
T
.
Поскольку рассматриваемые нечеткие отношения удовлетворяют формальным
требованиям, необходимым для выполнения их нечеткой композиции, результат
операции нечеткой композиции этих отношений может быть представлен в виде
матрицы результирующего нечеткого отношения:

65.

Для наглядности преобразуем эту матрицу к
табличной форме .
Рассмотрим, каким образом получается одно из значений функции принадлежности
композиции, например, значение (хг,zx) =0.9
Вначале
найдем минимальные
значения функции принадлежности всех пар элементов первой строки табл. 5.4 и первого
столбца табл. 5.5. А именно: min{0.9, 0.9} = 0.9, min{0.9, 0.8} = 0.8, min{0.8, 0.5} = 0.5,
min{0.4, 0.5} = 0.4, min{0.5, 1} = 0.5, min{0.3, 0.4} = 0.3, min{0.6, 0.5} = 0.5, min{0.2, 0.5} =
0.2, min{0.9, 0.8} = 0.8, min{0.8, 0.3} = 0.3. После этого найдем максимальное из 10 полученных значений, которое и будет являться искомым значением функции принадлежности:( xi, zi
) =max{0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.5, 0.3, 0.5, 0.2, 0.8, 0.3} = 0.9. Остальные значения функции
принадлежности находятся аналогично.

66.

Пусть U1 и U2 универсальные множества. Если U является декартовым
произведением U=U1 U2, то нечеткое отношение R определяется как нечеткое
подмножество универсального множества U.
Значение
R
R : u1 u 2 0,1
u , u для конкретной пары u i , u j u1 u 2
i
j
характеризует субъективную степень выполнения отношения
~
u i Ru j R~
Пример. Пусть U={1,3,5,7,9}. Определим на множестве U нечеткое отношение
“намного больше”. Матрица такого отношения может иметь следующий вид:
1
3
5
7
9
1
0
0
0
0
0
3
0,2
0
0
0
0
5
0,1
0
0
0
0
7
0,8
0,4
0
0
0
9
1
0,8
0,5
0
0

67.

• Наглядностью~обладает задание нечеткого отношения в виде нечеткого графа
~ ~ ~
G • U, V , где U u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 -множество вершин; (рис.22)
~
–
V R (ui , u j ) /(ui , u j ), (ui , u j ) 0
• множество нечетких дуг.
Носителем нечеткого отношения R на множестве U называют подмножество
декартова произведения U U вида
~ (u , u )
Supp R i j
U U , R~ (u i , u j 0
(u i , u j )
Носитель нечеткого отношения следует понимать как отношение на множестве U, связывающее все пары
ui , u j
, для которых степень выполнения данного нечеткого отношения не равна нулю.
Для нашего примера
(u1,u3),(u1,u5),(u1,u7),(u1,u9),(u3,u5),(u3,u7),(u3,u9),(u5,u9
По аналогии с нечеткими множествами определяется и множество —уровня нечеткого
отношения ,т.е.
u , u
R i j
U U, R u i , u j
u i , u j

68.

~
R
Обычным подмножеством α - уровня нечеткого отношения
называется четкое (обычное) отношение
такое, что
R
1, если R~ (u i , u j )
R
0, если R~ (u i , u j )
Очевидно, что из
1 2
Теорема декомпозиции
Любое нечеткое отношение
R R , 0 1 ,
где
R
следует
~
R
R 1 R 2
.
представимо в форме:
означает, что все элементы умножаются на α.

69.

Пересечением нечетких отношений P и Q на U×U называют нечеткое
отношение
, определяемое функцией
принадлежности
Пример. На универсальном числовом множестве U={1,2,3,4,5},
~
~
~
заданы нечеткие отношения P и Q . Содержательный смысл отношения P -«
натуральное число x приближенно равно числу x j » представлен матрицей
1
0.8
0.8 0.5 0.2
1
M P~ 0.5 0.8
0.8 0.5 0.2
1
1
0.2 0.5 0.8
пересечение этих отношений
x значительно
0.8 0.5
0.2 0.5 0.8
0
~
отношения Q -«натуральное число
натуральное число x j »
0
0.8
1
0
0
0
0
0
0.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
M P~ Q~ 0.5 0.2
0.2 0.5 0.2
0
0.2 0.5 0.2 0
Содержательно соответствует одновременному выполнению двух условий
«натуральное число x приближенно равно числу » и «натуральное число
значительно превосходит натуральное число »
превосходит

70.

Объединением нечетких отношений P и Q на Х Х называют нечеткое бинарное
отношение P Q , определяемое функцией принадлежности
P Q x i , x j P x i , x j Q x i , x j max P x i , x j , Q x i , x j
Дополнением нечеткого отношения R
называют
R xi , x j 1 R xi , x j
R
X
X
с
функцией
принадлежности
отношение
~
~
x i , x j X X
Разностью нечетких отношений P и Q на U U называют нечеткое
~
бинарное отношение , определяемое функцией принадлежности
~ u i , u j max P~ u i , u j Q~ u i , u j ,0 .
(3.3)
( ui ,u j ) U U
В соотношении (3.3) под знаком max применяется обычная операция
арифметической разности. Операция разности двух нечетких множеств,
определенная соотношением (3.3) по аналогии с обычными множествами
~
~ ~
может также обозначаться знаком «\» P \ Q .
Для приведенного выше примера
Обратным отношением к отношению R называют отношение R-1 с функцией
принадлежности
R 1 x i , x j R x i , x j
x i , x j X X

71.

1
0.6
M ~ 0
0.8 0.5 0.2
1
0
0.8 0.5 0.2
0.6
1
0.8 0.5
0
0
0.6
1
0.8
0
0
0
0.6
1
которая содержательно соответствует выполнению двух условий:
««натуральное число x приближенно равно числу » и «натуральное
число не превосходит значительно натуральное число ».
~
~
Отношение R1 включено в отношение R , если множество пар, для которых
~
выполняется отношение R1 находится в множестве пар, для которых
~
выполняется отношение R . Так, например, отношение между параметрами
Z1 и Z2, характеризуемое термином “много меньше”, включено в
отношение, характеризуемое понятием “меньше”. Отметим, что обратное
~
утверждение может не выполняться. Тот факт, что отношение R1 включено
~
~
~
в отношение R обозначают следующим образом: R1 R .

72.

На этапе формализации качественной информации важную роль играют
отношения эквивалентности, порядка и доминирования.
Отношение эквивалентности обладает свойствами рефлективности,
симметричности и транзитивности. Рефлективность отношения R обозначает
выполнение условия U R U-диагональное отношение.
Отношение эквивалентности используется для формализации понятий типа
“похоже на”, “подобен” и т.п. На главной диагонали матрицы рефлексивного
отношения стоят единицы. В понятиях типа “похоже на”, “подобен” выделяют
свойства симметричности.
Отношение R симметрично, если выполняется
R R 1
т.е. если выполняется связь z1 Rz2 , то должно выполняться z2 Rz1 .
Транзитивность подразумевает то, что если параметры z1 и z2 связаны
отношением R, а также этим же отношением связаны z2 и z3 , то параметры
z1 и z3
связаны этим же отношением. Формально данное свойство
записывается следующим образом: если z1 Rz2 и z2 Rz3 , то z1 Rz3 .

73.

Наряду с рассмотренными свойствами отношений выполняются свойства
антирефлексивности и асимметричности. Первое выполняется, если
пересечение
а второе - при
R U 0
R R 1 0
Отношение доминирования характеризуется свойствами антирефлексивности
и асимметричности.
Частным случаем отношения доминирования является отношение порядка, для
которого дополнительно выполняется свойство транзитивности. Примером
отношения порядка является понятие “ больше”.

74.

МАКСИМИННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ R1 и R2 , которые
определены на множестве U, обозначается
R R
1
2
R1 R 2 u 1 , u 2 Sup min R1 u 1 , z , R1 z, u 2
1 0.8 0.4
0 0.3 0.7
R 1 0.8 1 0.8 ;R 2 0.3 0 0.3
0.4 0.8 1
0.7 0.3 0
0.4 0.3 0.7
R 1 R 2 0.7 0.3 0.7
0.7 0.3 0.4
cik aij b jk
j

75.

МИНИМАКСНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ R1 и R2 на
множестве U определяется функцией принадлежности, вычисляемой по
соотношению
R1 R 2 u 1 , u 2 inf max R1 u 1 , z , R1 z, u 2
0.7 0.4 1
R 1 R 2 0.8 0.8 0.8
0.4 0.4 0.7
МАКСИМУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ R1 и R2
заданных на множестве U, определяется функцией принадлежности
R1 R 2 u 1 , u 2 sup R1 u 1 , z R1 z, u 2
0.28 0.3 0.7
0
.
56
0
.
24
0
.
56
0.7 0.3 0.28

76. Нечеткая арифметика

Нечеткие числа могут применяться при моделировании систем, для которых зависимость
между входными и выходными сиrналами известна и представима в виде традиционной
математической модели у == f(X), однако входные сиrналы не поддаются точному измерению,
а доступны лишь приближенной оценке, например:
Хl == «примерно 9»,
Х2 == «примерно 10»,
у == Хl + Х2.
В этом случае значение выхода системы у может быть получено в фор ме нечеткоrо числа (рис.
3.1).
Если модель у == f(X) задана в виде математического выражения, содержащего операции
сложения, вычитания, умножения или деления, то должны быть определены методы
выполнения этих операций над нечеткими числами. Данные методы играют важную роль,
поскольку позволяют вводить в традиционную математическую модель системы нечеткие
оценки входных значений, которые человек формулирует на основе cвoeгo восприятия или
интуиции.

77.

Кроме тoгo, на основе таких методов можно создавать гибридные модели, состоящие из
четких и нечетких блоков, при этом четкие элементы модели могут использоваться в том
числе и для обработки нечеткой информации, выдаваемой соответствующими
нечеткими элементами. Классическая арифметика предоставляет методы выполнения
операций сложения, вычитания, умножения и деления над четкими числами, такими как 4, 5,
6. В свою очередь, нечеткая арифметика определяет методы выполнения указанных операций
над нечеткими числами, такими как:
примерно 4,
плюс/минус 5,
приблизительно 6.
В нечеткой арифметике базовые математические операции над нечеткими числами
представляют собой обобщение соответствующих операций над обычными числами

78. Определение и характеристики нечетких чисел

В основе нечеткой арифметики лежат понятия нечетких чисел и операций над ними. Под
нечеткими числами понимают специальный класс нечетких множеств, на которые
наложены определенные ограничения. Как и для обычных нечетких множеств, для
нечетких чисел вводятся понятия носителя, множества (интервала) α-уровня, декомпозиции
и показатели неточности.
1.1. Определение нечеткого числа
Нечетким числом А называется нечеткое множество, которое удовлетворяет следующим
условиям:
1)
носитель нечеткого множества — замкнутое и ограниченное(компактное) множество
действительных чисел:
2)
функция принадлежности нечеткого множества µА(X) выпукла;
3)
функция принадлежности нечеткого множества нормальна:
4) функция принадлежности нечеткого множества µА(X) полунепрерывна сверху.
Функция принадлежности нечеткого числа часто интерпретируется как распределение
возможностей значений интервала действительных чисел.
Рассмотрим более подробно приведенные в определении нечеткого числа условия.
Определение (носитель нечеткого числа). Подмножество
называется носителем нечеткого числа А, если

79.

Носитель нечеткого числа содержит все значения
действительной оси, на которых функция принадлежности не
равна нулю. Пример его носителя показан на рис. 1.
Компактность носителя не всегда рассматривается как
обязательное условие для того, чтобы нечеткое множество
считалось нечетким числом. В некоторых источниках
допускается неограниченность носителя. Мы полагаем, что
условие компактности важно, так как оно позволяет
рассматривать нечеткое число в виде нечеткого
расширения замкнутого ограниченного интервала
действительных чисел и использовать аппарат
интервальной арифметики в нечеткой арифметике.
Нечеткое число А нормально, если
В некоторых
определениях нечеткого числа полагают, что функция принадлежности должна достигать
единичного значения только в одной точке. Некоторые авторы считают, что это слишком
жесткое ограничение.
Нечеткое число А выпукло, если для любых г ≤ t ≤s выполняется соотношение

80.

Вещественнозначная функция f(x)называется полунепрерывной сверху в точке X0 € R, если
Рис. 2. Полунепрерывная сверху функция Рис. 3. Пример нечеткого числа «около а2»
Пример полунепрерывной в точке хо функции показан на рис. 2. Функция f называется
полунепрерывной сверху на компакте М € R. если она полунепрерывна сверху для всех хо € R.
На рис. 3 показан пример нечеткого числа, определенного на интервале [а1,аз]. Оно
семантически может быть интерпретировано как «около а2» или «примерно a2».

81.

Декомпозиция нечеткого числа
Определение (интервал a-уровня нечеткого числа). Интервал α-уровня нечеткого числа А
определяется как
Обозначая нижнюю границу интервала в виде a1, а верхнюю — аз, для α-уровня нечеткого числа А
можно ввести следующее обозначение:
ИЛИ
Все α-уровни нечеткого числа — замкнутые и
ограниченные интервалы действительной оси.
Используя понятие интервала α-уровня нечеткого числа
условие выпуклости нечеткого числа можно записать
в виде (рис. 4)
или
Рис. 4. Иллюстрация условия выпуклости нечеткого
числа

82.

Определение (декомпозиция нечеткого числа). Декомпозиция нечеткого числа А —
представление этого числа с использованием множеств α-уровня в следующем виде:
где значения функции принадлежности четкого множества α-уровня Аα определяются
следующим образом:
Выражение для декомпозиции позволяет «собирать» функцию принадлежности нечеткого числа
из отдельных интервалов α-уровня с помощью операции объединения.
Пример. На рис. 5 показан пример декомпозиции нечеткого числа А и, соответственно,
объединения α-уровней этого нечеткого числа для следующего множества значений α
(уровневого множества) Аα = {0,3; 0,5; 0,7; 1,0}.
Рис. 5. Иллюстрация декомпозиции
нечеткого числа
Следует отметить, что носитель нечеткого числа
может быть определен в виде Supp(A) = lim Аα.
Для обозначения носителя («нуα—>()
левого» α-уровня) будем использовать
обозначение Supp(A) = A+0.
Определение (интервал модальных значений
нечеткого числа). Подмножество М(А) € Supp(A)
называется множеством (интервалом) модальных
значений нечеткого числа А, если

83.

Множество модальных значений нечеткого числа часто называют ядром.
Определение (унимодальное нечеткое число). Нечеткое число А унимодально, если условие
µА(Х) =1 справедливо только для одного значения х €Х.
Далее, для простоты, единственный элемент носителя, представляющий множество модальных
значений унимодального нечеткого числа, будем называть модой.
Определение (толерантное нечеткое число). Нечеткое число А толерантно, если имеется
интервал значений х € R (отрезок толерантности), на котором µА(Х) принимает значения, равные
единице. Границы этого интервала называются границами толерантности нечеткого числа.
Определение.(нечеткий нуль) Нечеткое число А называется нечетким нулем, если µА (0)=1
Определение (нечеткое положительное и отрицательное число). Нечеткое число А
положительно, еслиотрицательно, если

84.

В другом варианте среднее значение нечеткого числа с учетом интервалов α-уровней нечетких
чисел определяется как
1.4.
Показатели неточности нечетких чисел
Показатели неточности нечетких чисел используют подход, основанный на определении
степени отклонения функции принадлежности от модального значения. Этот подход
используется в следующих интегральных показателях нечетких чисел.
1. Ширина нечеткого числа
2. Взвешенная дисперсия нечеткого числа
где р(α) — некоторая весовая функция: [0,1] —> [0,1], удовлетворяющая условию
нормализации

85.

Различия между нечеткими числами и линrвистическими
значениями
С математической точки зрения, для представления как нечетких чисел (например
«приблизительно 1»), так и линrвистических значений (например «низкое напряжение»)
используются нечеткие множества. Однако если линrвистическое значение может быть
задано множеством, coдep жащим числовые (1,2,3...) либо нечисловые элементы, то нечеткое
число должно определяться только на множестве
вещественных чисел R.
Нечеткие числа представляют собой выпуклые, нормальные нечеткие множества
с ядром, состоящим из единственноrо элемента Хо , и orpaниченным носителем, в то время
как линrвистические значения могут задаваться с использованием как выпуклых, так и
невыпуклых функций принадлежности, иметь неоrраниченный носитель и одно либо
мноrоэлементное или даже пустое ядро. Однако в практических при ложениях используются
нечеткие множества, являющиеся, не нечеткими числами, а нечеткими интервалами
Трапециевидное множество Трапециевидное множество «приблизительно 7» называется
трапециевидным «нечетким числом»

86.

Множе ство «Ha мнoro больше 10» не удовлетворяет требованиям,
накладываемым определением нечеткоrо числа, поскольку имеет мнoro
элементное ядро и носитель, неоrраниченный с одной стороны, однако в имени данноrо
множества имеется опорное числовое значение. Числовые выражения можно использовать
при задании целоrо ряда различных инrвистических значений. Так, значение «очень
высокий» можно выразить в виде «на много больше 175 см». Точно так же нечеткое
число «приблизительно 7» , при ero использовании в каче стве значения, например,
линrвистической переменной «возраст собаки»,
можно заменить линrвистическим значением «средний» (возраст).
В соответствии с отмеченным выше, в практике нечеткоrо моделиро вания зачастую
пользуются смешанными областями определения, содержащими как линrвистические
значения, так и нечеткие числа.

87.

Математические операции, вводимые для нечетких чисел
должны решать по крайней мере две задачи:
- первая - это находить результат применения некоторой комбинации
математических операций к заранее известной совокупности чисел, т. е.
Находить значение соотношения
y x , x ,..., x ,
1
2
3
вторая - это находить значение некоторой переменной по известным
значениям других,
X AB
A X B X A B (1) A X / B
A ( A B) B AA ( AB) / B A
A - противоположное число A A 0 A 0 A
A
*
- обратное число
A A * 1,
A*
1
A
(2)
(3)
(4)

88.

2X=8 x=8/2
2x+4=8
x=(8-4)/2
2
4
8

89.

Нечеткое число не имеет противоположного и обратного чисел, а
арифметические операции умножения и сложение для нечетких чисел
~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~
коммутативны.
A B B A,
ассоциативны
A B B A
~ ~ ~
~ ~ ~
A ( B C) A B C
~
~
~ ~ ~
~ ~ ~
A B C A B C
~
~
~
~
~
в общем виде не дистрибутивны A B C A B A C
~ ~ ~ ~
( A B) B А
.
~~ ~ ~
( АВ ) / В А

90.

Алгоритмы выполнения арифметических операций над нечеткими
числами.
~
A
g(a, b)
~
B
S A (a 2 , a 1 ),S b ( b 2 , b1 ),a 2 a 1 ,b 2 b1
“+”, “-”, “:”, “ ”
D x sup min A~ a , B~ b ,
g(a, b) x
a SA , b Sb

91. Алгоритм выполнения арифметических операций над нечеткими числами с (L-R)- аппроксимацией

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел
специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с
целью снижения объема вычислений при операциях над ними. Для
нечетких чисел (L-R)-типа левые ветви функций принадлежности
операндови аппроксимируются одной монотонно возрастающей
функцией L, зависящей от двух параметров, подбираемых для каждого
операнда в отдельности L(a , a *и)
L(b , b * )
L
L
Аналогично для правых ветвей и монотонно убывающей функции R имеем
R( a * , a R )
R(b * , bR )
Полученные аппроксимации называются L-R нечеткими числами и обозначаются
(a L , a * , a R )
(bL , b* , bR )

92.

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых
имеют следующий вид:
Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть
L(x) =
R(x)=
,
p≥0;
, p≥ 0 и т.д.
Доказано, что результат сложения и вычитания L-R нечетких чисел есть также L-R нечеткое число.
Результат умножения и деления L-R нечетких чисел будет L-R нечетким числом лишь приблизительно.
L-R аппроксимация полезна тем, что сами функции L и R в промежуточных вычислениях не участвуют, а
используются лишь при получении окончательного результата.

93.

• При решении практических задач наибольшее применение
нашли простейшие частные случаи нечетких чисел и нечетких
интервалов, получившие свое название по виду их функций
принадлежности. Эти нечеткие числа и интервалы можно
рассматривать как частный случай нечетких чисел и интервалов
(L-R)-типа, если в качестве соответствующих функций L-типа и
R- типа использовать их предельные случаи, а именно –
линейные функции ( треугольные или трапецеидальные). При
этом важным обстоятельством является то, что треугольные
нечеткие числа однозначно задаются тройкой (a L , a * , a R )
,а
трапецеидальные четверкой - (aL , 1 , 2 , aR )
, где- 1 , 2
• координаты верхнего основания трапеции, т.е. отпадает
необходимость вычисления промежуточных значений
результатов арифметических операций.

94. Арифметические операции над нечеткими числами при L-R аппроксимации

x x
~
x
x
x x L
x
~
x 1
x x L1
x L1
~
x 2
x
x x L2
x R1 x
x
~
x 3
x x
3
x L3
x
(6)
x
xR2
x R 2 x
x 2
x L2
x 3
x x
x R1
x1
x 2
x R
x
xL
x1
xR
x L3 x L1 x L 2
xR3
x x
x 3
3
x
x,
(7)
x R 3 x R1 x R 2
x3
x1
x2
(8)

95.

Для операции вычитания
~
x 3
x 3
x x L3
x 3
x L3
x L3
x L3 x L1 x R 2 x R 3 x R1 x L 2
Для операций умножения и деления
x 3
x x L3
~
x3
x L3
x 3 x L 3
x L 3 x L1 x L 2
L3
x L3
x
x
xR3
x 3
xR3
x 3
x R3 x
x
x R3 x 3
x 3
x 1
x 3
x R 3 x R1x R 2
x
x
x
L3
3
~
x 3
x 3 x L3 x
x
x 3
x
xR3
x R3 x
x R3 x 3
x 3 x 1 x 2
x R 3 x x 3
x
R3
x L1
x R1
x
, xR3
, x3 1
xR2
x L2
x2
x 2
x 3 x
x
(9)
(10)
x
(12)
(13)
(14)
(11)

96. Операции над нечеткими числами с использованием уровневых множеств

Бинарная операция * называется возрастающей, если для
x 1 y1
u
x 2 y2
и убывающей, если для
x 1 * x 2 y1 * y 2
x 1 y1 u x 2 y 2
(15)
x1 * x 2
y1 * y 2
(16)
x j i , j 1, n
~
~
X X ,Y Y (17)
X i x i 1 , x i 2 ,...x i n
i
i
i

97.

Операции выполняются над абсциссами точек, находящихся на одинаковых
-уровнях и имеющих одинаковые участки монотонности функций
принадлежности.
~
X x i 1 ,...x i ni
~
Y y j 1 ,... y j m j
i 1, I
j 1, J
(18)
x k i i 1, J k 1, ni
i
y
ji q
j
i 1, J q 1, m j
x
x
~
x
X i i 1 i 1
, i 2 i 2
, i 3 i 3
x
x
x
1
2
3
i
i
i
y
y
~
y
Y i i 1 i 1
, i 2 i 2
, i 3 i 3
y i 1
y i 2
y i 3
(19)
(20)

98.

99. Операции над нечеткими числами на основе принципа нечеткого обобщения Л. Заде

Пусть А, В и С — нечеткие числа, заданные своими функциями принадлежности
µA(x),µB(y),µC(z),∀x,y,z∈R. Тогда результат произвольной бинарной операции над нечеткими
числами на основе принципа обобщения JI. Заде запишется следующим образом:
с функцией принадлежности
где «*» — обозначение нечеткой операции, соответствующей операции «***» над обычными
числами, «∩» — операция минимум.
Операции над нечеткими числами на основе принципа нечеткого обобщения Л. Заде
вычисляются в соответствии со следующими выражениями.
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление

100. Алгоритм использования принципа обобщения при выполнении арифметических операций над нечеткими числами.

Арифметические операции над нечеткими числами можно рассматривать как
функциональное преобразование возможных значений вектора
X x i i 1, n
y x 1 ,...x n
y x1 x 2 , y x1 x 2 , y
x1
x2
(21)
, y x1 x 2 ,
D x sup min A a , B b ,
g(a, b) x
А̃={μА̃(̃ x)/x}; B̃={μB̃(y)/y}
С помощью генератора случайных чисел строятся несколько пар
zij xi y j
( x k , yl )
μ(zij)=min{μА̃(xi), μB̃(yj)
z kl xk yl zij
( xi , y j
).

101.

• μ=max{μ(z ), μ(z )}
ij
kl
μ(z)
μ(z)
μ(zij)
μ(zij)
z
zij
z
zij
g1
μ(z)
μ(zij)
z
zij
g1
g2
g3
gk
g2
g3
gk

102. Основы нечеткой логики

• Нечеткая логика была разработана для формализации
способности человека оперировать неточными или
приближенными суждениями, которые позволяют более
адекватно описывать реальные ситуации. Классическая,
булевская логика, оперирующая только понятиями «Истина»
или «Ложь» по существу игнорируют проблему
неопределенности в человеческих суждениях.
Для того чтобы получить возможность отражать эту
неопределенность, необходима логическая система, в которой
кроме понятий «Истина» или «Ложь» можно было бы
использовать и некоторые дополнительные значения
истинности. Одним из первых такую систему предложил
польский математик Ян Лукасевич. В логике Лукасевича
использовались три значения истинности: «0-ложь», «1-истина»,
« 0.5-возможно». В качестве высказываний с истинностным
значением «возможно» могут выступать и такие, которые
относятся к будущим моментам времени.

103.

Наряду с понятием нечеткого множества Л.Заде предложил
обобщение классической логики на основе бесконечного множества
значений истинности. В предложенном Л.Заде варианте нечеткой
логики множество истинностных значений расширяется до интервала
[0,1], что позволяет присваивать высказыванию любое значение
истинности. Соответствующее численное значение будет
количественной оценкой степени истинности высказывания,
относительно которого нельзя с полной уверенностью делать
заключение о его истинности или ложности.
Для задания нечеткой истинности Заде предложил следующие
функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":
где
- параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Д
нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал
,
а для нечеткого множества ложно" -
;

104.

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены
на рис. 5.1. Они построены при значении параметра а=0.4. Как видно, графики
функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой
зеркальные отображения.

105.

Модификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими
множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень
ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно",
"очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности
новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения
нечетких множеств "истинно" и "ложно». Тогда функции принадлежности
термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "болееменее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно"
задаются следующим образом:

106.

107. Основные операции над нечеткими логическими переменными

Обозначим нечеткие логические переменные через A ̃ и B ̃, а функции
принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных через μA ̃ (u) и
μB ̃(u), uϵ[0,1]. Для нечетких логических переменных, также, как и для булевских,
определены операции конъюнкции (И), дизъюнкции (ИЛИ), отрицания или
дополнения (НЕ). Отличие заключается в том, что для операций для нечетких
логических переменных не используются таблицы истинности, т.к. значения
истинности логических переменных и операций над ними только в предельных
случаях принимают значения 0 или 1. В общем случае это может быть любое
значение из отрезка [0,1]. Нечеткие логические операции конъюнкция (И,˄ ),
дизъюнкция ( ИЛИ ,˅ ), логическое отрицание (НЕ ¬̅ или ̅ ) выполняются по
следующим правилам:
(4.1)
(4.2)
(4.3)

108.

Легко проверить, что для крайних случаев, когда значения п-ременных исключительно 1
или 0, приведенные выше функции дают таблицы истинности операций классической
логики.
Для нечетких логических операций по аналогии с операциями над нечеткими
множествами справедливы и альтернативные формулы. Нечеткие подмножества
некоторого универсального множества относительно операций объединения,
пересечения и дополнения, определенных соотношениями (4.1-4.3) удовлетворяют
следующим свойствам:
Необходимо отметить, что для нечетких логических операций не
выполняется имеющий место в булевской логике принцип исключения
~
~
~
~ ~
третьего, т.е A ( A) при A
,A ( A) U
U- универсальное
множество.

109.

В классической логике большое значение имеет операция «Логическое
следование (импликация)», которая связывает два логич-ских выражения с
помощью условного высказывания « если..., то…».Кроме того, при
построении высказывания могут использоваться выражения «из... следует»,
«... влечет». Импликацию принято обозначать A → B. В классической логике
справедливо соотношение
А В А В
и соответствующая таблица истинности
A
B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1

110.

Большое значение в нечеткой логике имеет нечеткая импликация.
~
~
~
~
Нечеткой импликацией A B (читается «из A следует B » или
~
~
«если A
, то B »)
называется бинарная логическая операция, результатом которой является
нечеткое высказывание, значение истинности которого определятся одной из
следующих формул.
~
~
A
B
max{min[ A~ (u ), B~ (u )],1 A~ (u )}
■ Классическая импликация Л.Заде:
■Классическая
нечеткая импликация для случая A~ (u ) B~ (u )
~
~
A B max{ A~ (u), B~ (u)} max{1 A~ (u), : B~ (u)}
■
Нечеткая импликация
. И.Мамдани:
~
~
A B min{ A~ (u ), B~ (u )}
■ Нечеткая импликация Я. Лукасевича:
~
~
A B min{ 1,1 A~ (u) B~ (u)}
Нечеткая импликация играет важную роль в процессе обработки нечетких логических
рассуждений. Так же, как и в классической логике, первый ее операнд называют посылкой
или антецедентом, а второй – заключением или консеквентом . Хотя классическая
нечеткая импликация находит наибольшее применение при решении прикладных задач и
остается справедливой в случае обычных высказываний классической логики, однако,
остальные способы вычисления нечеткой импликации в отдельных случаях оказываются
более эффективными с вычислительной точки зрения.

111. Нечеткие выводы.

46
Нечеткие выводы.
В системах нечеткого вывода условия и заключения формулируются в виде нечетких высказываний
относительно тех или иных лингвистических переменных. Поскольку понятие нечеткого
лингвистического высказывания имеет фундаментальное значение для систем нечеткого вывода,
необходимо определить это понятие.
Нечеткими высказываниями назовем высказывания следующего вида:
1 – высказывание <β есть α>, где β- наименование лингвистической переменной,
представляющей некоторый объект или параметр реальной действительности, относительно
которой высказывается утверждение α, являющееся ее нечеткой оценкой (например, риск
большой);
2- высказывания вида <β есть mα>, <β есть Qα>, <Qβ естьm α>, <mβ естьQ α>,
при этом m называется модификатором (ему соответствуют такие слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ
МЕНЕЕ, НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ, СРЕДНИЙ и др.), Q- квантификатором (ему соответствуют слова типа
БОЛЬШИНСТВО,МНОГО, НЕСКОЛЬКО ОЧЕНЬ МАЛО и др.);
3- высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов и союзов И, ИЛИ,
ЕСЛИ…,ТО…, ЕСЛИ…,ТО…, ИНАЧЕ….
Необходимо отметить, что отождествление данных союзов с логическими операциями
конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации в строгом смысле возможно только при
предварительном рассмотрении вопроса коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности
высказываний, образующих предложения.
Нечеткое высказывание вида 3. представляющее частный случай нечеткой продукции
назовем нечетким условным высказыванием. Некоторое согласованное
множество
отдельных нечетких условных высказываний можно рассматривать как систему нечетких
правил вывода.

112.

Основная задача нечеткого вывода заключается в том, чтобы на основе
некоторых нечетких высказываний с известной степенью истинности, которые
находятся в условной части правил вывода, оценить степень истинности
других нечетких высказываний, являющихся заключением (следствием)
данного правила.
Нетрудно заметить, что взаимосвязь между условием и заключением в
нечетком условном высказывании в общем случае представляет собой
некоторое бинарное соответствие на декартовом произведении универсальных
множеств соответствующих высказываний.
~
Пусть нечеткое множество A { A~ ( x)} , x X интерпретируется как
условие некоторого нечеткого условного высказывания, а нечеткое
~
множество B { B~ ( y)}, y Y - как заключение этого же высказывания. При
этом универсальные множества X и Y будем рассматривать как подмножества
универсального множества U. Для подавляющего большинства
практических задач с достаточной степенью строгости нечеткое условное
высказывание можно рассматривать как нечеткую импликацию. Тогда
задача обработки нечеткого условного высказывания сводится к задаче
обработки нечеткой импликации по одной из известных формул
(импликация Мамдани),~например,
~
A B min{ A~ ( x), B~ ( y)}
Преобразование (5.1) удобно тем, что оно сохраняет вид функции принадлежности и
позволяет выделить каждое преобразование и процесс его построения даже из информации
в табличной форме. Среди недостатков этого правила можно отметить коммутативность,
отсутствие разницы между выражениями типа ( А В) С и, А ( В С )
невозможность использовать связку “ИЛИ” вместо “И” при интерпретации связки
“ИНАЧЕ” для получения протокола применения правил: Правило 1, иначе Правило 2,
иначе ...

113.

Другие правила лишены этого недостатка за счет того, что каждому правилу
нельзя сопоставить его область влияния. Например, арифметические связки в
~
~
A B min{ 1,1 A~ (u) B~ (u)}
приводят к получению новых значений функции принадлежности, что требует
выполнения аппроксимации.
Правило
~
~
A B max{ A~ (u), B~ (u)} max{1 A~ (u), B~ (u)}
лишено всех указанных недостатков и является наиболее “человеческим”[5]
по природе, так как, если предпосылка А дает следствие Б, то предпосылка А,
близкая к А, дает следствие Б, близкое к Б. Это свойство особенно важно для
систем с участием “человеческого фактора”, где все ситуации не могут быть
заданы с помощью набора правил. Однако, несмотря на отмеченные
недостатки преобразование~
~
A B min{ A~ ( x), B~ ( y)}
является наиболее часто используемым.

114.

μZ
Формула Заде-Мамдани
1
μ
μZ
импликация
Импликация
ЛукасевичаМамдани

115. Процесс нечеткого условного вывода

Системы нечеткого вывода предназначены для преобразования
значений входных переменных процесса управления в выходные
переменные на основе использования правил нечеткого условного
вывода.
Информация, которая поступает на вход системы нечеткого вывода,
может поступать в различной форме. В системах управления – это
измеренные некоторым образом входные переменные,
соответствующие реальным переменным процесса управления. На
выходе системы нечеткого вывода должны быть сформированы
выходные переменные, соответствующие управляющим переменным
процесса управления.
Получение заключений в системах нечеткого вывода базируется на
разделении процесса вывода на ряд последовательных этапов,
реализация которых выполняется на основе рассмотренных ранее
основных положений нечеткой логики .

116.

• Процесс нечеткого вывода
Формирование базы знаний
Фаззификация
Поиск правил(а) в базе знаний
Свертка простых высказываний в условной части
правил и оценка ее истинности
Формирование заключений
Дефаззификация
Основной компонентой, которая во многом определяет получаемое качество управления
(принятия решения), будет база знаний системы нечеткого условного вывода, которая
представляет собой множество согласованных правил нечеткого условного вывода. Процесс
построения базы знаний должен рассматриваться отдельно. Здесь же отметим только основные
условия, которые должны быть выполнены при ее построении:
1-правила, образующие базу знаний системы, не должны быть противоречивыми;
2-система правил должна быть полной и неизбыточной.

117.

Фаззификация
Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным
(обычно числовым) значением конкретной входной переменной системы нечеткого
вывода и ее соответствующим лингвистическим значением, представленным функцией
принадлежности.
До начала этапа фаззификации определяются области определения всех входных
переменных D( xi ) , где xi D( xi ) - входная переменная системы,
которые являются по сути универсальными множествами, на которых будут определяться
лингвистические значения и соответствующие им нечеткие множества.
В общем случае входной переменной
xi D( xi )
может быть поставлено в соответствие терм-множество лингвистических значений
Tx { j : j 1, J x } , множество имен лингвистической переменной
i
Lxi {l j ; j 1, J xi }
и соответствующие нечеткие множества
~
A { l j ( xi ) \ xi D( xi ) : j 1, J x }
i
, где
J xi - число лингвистических значений входной переменной
xi

118.

Формально процедура фаззификации состоит в проверке выполнения условий
«α есть β», содержащихся в правилах условного нечеткого вывода,
находящихся в базе знаний системы. Более просто и наглядно ее можно
представить в графической форме
μ(xi)
lJ+1(xi)
l j(xi)
μlj(αt)
▪
μlj+1(αt)
▪
Xi=αt
X
Значение функции принадлежности можно интерпретировать как оценку истинности
выполнения нечеткого высказывания, поэтому в данном случае (рис.5.4)истинность
высказывания<< x i есть l j » больше, чем истинность высказывания
xi есть l j 1
l ( t ) l
j
j 1
Таким образом при фаззификации возможно получение двух результатов, что определяет
возможность использования нескольких правил нечеткого условного вывода при получении
окончательного заключения. Поэтому при построении системы должно быть принято решение,
как будут применяться результаты фаззификации: будет использоваться один результат или оба.
Процесс фаззификации для конкретной входной переменной считается законченным, когда
будут проверены все соответствующие ей возможные лингвистические значения. Однако в этом
нет необходимости, т.к. если соблюдаются правила построения исходных функций
принадлежности, то текущее значение входной переменной может идентифицироваться только с
двумя соседними лингвистическими значениями (рис.5.4).

119. Определение подходящего правила

Для выработки заключения в базе знаний системы необходимо выбрать те правила условного
.нечеткого вывода, у которых в условной части содержатся высказывания, в которых присутствует
входная переменная с установленным в процессе фаззификации лингвистическим значением.
В зависимости от того, какое соглашение принято относительно использования результатов
фаззификации, будет выбрано различное число правил вывода, которые потенциально могут
рассматриваться как подходящие дл получения заключения. Необходимо отметить, что задача поиска
правил имеет самостоятельное значение, т.к. эффективность алгоритма поиска непосредственно
скажется на эффективности всей системы в целом. Особенно важно время поиска правил для нечетких
систем управления техническими объектами, когда задача управления решается в реальном масштабе
времени и время, отводимое на выработку управляющего воздействия, ограничено условиями динамики
управляемого процесса.
Свертка высказываний в условной части и обработка правил
В общем случае в условной части правил нечеткого вывода содержится составное нечеткое
высказывание, составленное из простых, которые связываются логическими связками. Кроме того, внутри
простых высказываний возможно использование логических связок, модификаторов и квантификаторов.
В соответствии со структурой условной части выбранных правил нечеткого условного вывода по правилам
нечеткой логики должна быть выполнена свертка высказываний с целью получения интегрального
условия, соответствующего всей совокупности высказываний в условной части правила.
На этапе фаззификации для простого высказывания получается оценка его истинности в виде значения
некоторой функции принадлежности
lj
t
( )
If <V=M or B> &<W=S>,then <y=M>
If <X>,then <y=M>.
1 max{ М ( w), B ( w)},
2 min{ 1 , S (v)}.

120.

В результате выполнения свертки простых высказываний с
соответствующими оценками истинности будет получена
m1 , m2 ,..., m p
интегральная оценка истинности
выполнения условной части правил , где p- число выбранных для
построения заключения правил. В зависимости от установленного
соглашения по использованию правил для формирования заключения
может быть использовано одно правило с максимальным значением
истинности выполнения условной части, или же несколько правил, на
основе которых будет выработано интегральное заключение.
Количество правил может быть уменьшено, если установить
некоторый порог истинности. В любом случае последним этапом
будет вычисление нечеткой импликации по одной приведенных п.5.1
формул. В результате будет получено некоторое множество нечетких
заключений, вытекающих из конкретных правил вывода. Варианты
построения интегральных заключений будут рассмотрены далее на
примерах конкретных алгоритмов нечеткого вывода. Интегральное
заключение будет также представлено в форме нечеткого множества,
на котором нужно будет выбрать единственное заключение. Эта
задача решается на этапе дефаззификации.

121. Дефаззификация

,
В общем случае после вычисления импликаций будет получен некоторый набор нечетких множеств
~
W {w1 , w2 ,..., w p } M { w~ ( z), w~ ( z),..., w~ ( z)}
1
2
p
, где р – число обработанных нечетких правил,
который для каждой из выходных переменных представляет множество допустимых значений вывода
(управления).
В современных системах управления исполнительные устройства способны воспринимать команды
управления в традиционной количественной форме, поэтому на полученном нечетком множестве
допустимых управлений нужно выбрать единственное значение, представленное в количественной форме.
Дефаззификация в системах нечеткого вывода - это процедура нахождения обычного (не нечеткого)
значения, которое может быть использовано внешними по отношению к системе нечеткого вывода
элементами. Для реализации дефаззификации используются несколько методов.
Наиболее простым и часто используемым является метод максимума функции принадлежности
μ(z)
а)
z*
μ(z)
z
б)
z*
z

122.

Z*→
←Z*
µ(z)
µ(z)
а)
б)
z
z*
( z1 ) z2 ( z2 ) z2
( z1 ) ( z2 )
z
z*
z1*
z2*
Рис. 2.37
•Метод центра площади. Искомое значение z* определяется из уравнения
z
min Z
( z )dz
max Z
( z)dz
z
. Иными словами, определяется абсцисса прямой, делящей площадь по кривой функции принадлежности
на две равные части. Метод центра площадей достаточно неудобен при реализации, не может быть
использован, если функция принадлежности задана дискретными значениями и является неоднозначным,
т.к. возможно построение нескольких прямых (биссектрис площади), делящих площадь на равные части.

123.

•Метод центра тяжести. Идея этого метода состоит в том, что функцию принадлежности рассматривают
• как систему материальных точек, массы которых равны значениям функции принадлежности.
•Известно, что координата центра тяжести является обобщенной характеристикой системы
• материальных точек[20].
Для непрерывных функций принадлежности координата центра тяжести определяется
соотношением
CG z
max Z
z ( z )dz
min Z
max Z
( z )dz
min Z
N
Для дискретных функций
CG z
z (z )
i 1
N
i
i
(CG-Centre of Gravity).
(z )
i 1
i
Поскольку значения функции принадлежности интерпретируются как оценки истинности при выполнении
дефаззификации следует обращать внимание на то, какое максимальное значение имеет функция
принадлежности, представляющая нечеткое заключение. Очевидно, что если это значение мало ,
о от принятия решения лучше воздержаться
μ(z)
1.0
0.5
z

124.

Нечеткая модель управления контейнерным краном
Рассматрим пример разработки модели системы нечеткого управления контейнерным
краном, который предназначен для транспортировки моноблочных контейнеров при
выполнении разгрузочных работ морских судов.
Содержательная постановка задачи
Контейнерные краны используются при выполнении погрузочно-разгрузочных работ в
портах. Они соединяются с моноблочным контейнером гибким тросом и поднимают
контейнер к кабине крана. Кабина крана вместе с контейнеров может перемещается в
горизонтальном направлении по направляющим типа рельсов. Когда контейнер
поднимается к кабине, а кран приходит в движение и контейнер начинает раскачиваться
и отклоняться от строго вертикального положения под кабиной крана. Эта ситуация
иллюстрируется на рис. 7.23.

125.

Проблема заключается в том, что пока контейнер раскачивается в ходе своей
транспортировки и отклоняется от вертикали, он не может быть опущен на основание
цели перемещения, в качестве которой используются железнодорожные платформы или
другие транспортные средства.
Анализ действий крановщиков-операторов, выполняющих управление краном,
показывает, что они в своей работе применяют следующие эвристические правила:
1. Начинать движение следует со средней мощностью.
2. Если движение уже началось и кабина находится далеко от цели, отрегулировать
мощность двигателя таким образом, чтобы контейнер оказался несколько впереди
кабины крана.
3.Если кабина находится близко над целью, уменьшить скорость таким образом, чтобы
контейнер находился несколько впереди кабины крана.
4, Когда контейнер находится очень близко от позиции цели, следует выключить
мощность двигателя.
5. Когда контейнер находится прямо над позицией цели, следует остановить двигатель

126.

Формирование базы правил систем нечеткого вывода
Следующим этапом построения модели является построение базы правил. С
этой целью преобразуем рассмотренные выше 5 эвристических правил в 6
правил нечетких продукций:
ПРАВИЛО 1: ЕСЛИ "расстояние далекое" и "угол равен нулю"
ТО "мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "угол отрицательный малый" ТО
"мощность положительная большая"
ПРАВИЛО_3: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "угол отрицательный большой"
ТО"мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО_4: ЕСЛИ "расстояние среднее" И "угол отрицательный малый" ТО
"мощность отрицательная средняя"
ПРАВИЛО_5: ЕСЛИ "расстояние близкое" И "угол положительный малый" ТО
"мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО_6: ЕСЛИ "расстояние ноль" И "угол равен нулю"
ТО "мощность равна нулю"
^ Примечание
Следует заметить, что правило 2 разделено на два отдельных правила,
чтобы использовать простой формат ЕСЛИ-TO. При этом расстояние
становится отрицательным в том случае, когда кабина крана находится
справа от положения цели.

127.

Алгоритм Мамдани
В1975 г. Ибрагим Мамдани (Ebrahim Mamdani) из лондонского колледжа королевы
Марии (Queen Mary College) спроектировал первый функционирующий на основе
алгебры Заде контроллер, управляющий паровой турбиной (стоит заметить, что
принципы построения его алгоритмики стали каноническими и увековечены
общепринятым среди специалистов названием Mamdani-type controller).
Здесь необходимо отметить, что в последствии для развития
нечетких систем большую роль сыграла, так называемая, FATтеорема (Fuzzy Approximation Theorem), доказанная Б. Коско
(B. Kosko) в 1993 г., согласно которой любая математическая
система может быть аппроксимирована системой, основанной
на нечеткой логике.

128.

В общем случае база правил алгоритма Мамдани содержит правила вида
Pk :« если <y1=A1k> and <y2=A2k> and …<ynk=Ank>, то < z=Bk>. Для упрощения
изложения рассмотрим базу правил вида
П1: если х=А1 и у=В1, то z=C1;
П2: если х=А2 и у=В2, то z=C2.
1 min( А1 ( х1), В1 ( у1))
r1 ( z ) min( 1, С1 ( z ))
2 min( А2 ( х1), В 2 ( у1))
r 2 ( z ) min( 2, С 2 ( z ))
max r1 ( z), r 2 ( z)

129.

В качестве объекта управления для проведения исследования была выбрана
установка для нагрева жидкостей, так как это объект данного типа является
классическим примером САУ в теории управления, а также идеологически
соответствует принципам нечеткого управления (сложная природа
процессов и в то же время простая и понятная логика управления
объектом). Упрощенная схема которой представлена на рис. 3.
Бак с тёплой водой разделяется на несколько отсеков, переменный поток
холодной воды F2 проходит последовательно отсеки и покидает бак в
последнем отсеке. Холодная вода нагревается в теплообменнике, в котором
течет по трубам переменный поток горячей воды F1 с температурой 90
градусов Цельсия. Задача состоит в поддержании постоянной температуры
воды в одном из отсеков и, по возможности, в сохранении постоянства потока
F2, посредством регулирования динамических значений F1 и F2.

130.

Температура воды, покидающей нагревающий отсек, должна регулироваться
так, чтобы минимизировать время задержки потока воды. Для такого
процесса обычно требуется постоянное количество воды, так что поток F2 во
время устойчивого периода должен поддерживаться постоянным. Поток F2
может быть изменён только во время изменения желаемой температуры.
Следовательно, основной переменной при управлении процессом, будет
поток горячей воды F1.
Qз - заданное значение температуры,
Q - температура объекта,
X - отклонение температуры (ошибка регулирования),
dx=Δx=xi – xi-1 - скорость отклонения,
F1 - поток горячей воды,
F2 - поток холодной воды.
Нечеткий контроллер реализует ПД — алгоритм, так как использует
информацию об ошибке системы и скорости ошибки.

131.

132.

1.
Если отклонение минимальное и скорость изменения низкая, то
интенсивность F1 средняя.
2.
Если отклонение среднее положительное и скорость изменения
средняя, то интенсивность F1 значительная.
3.
Если отклонение большое положительное и скорость изменения
большая, то интенсивность F1 большая.

133.

134.

1.
Если отклонение минимальное и скорость изменения низкая, то
интенсивность F1 очень близкое к устойчивому состоянию, а интенсивность
F2 в устойчивом состоянии.
2.
Если отклонение среднее положительное и скорость изменения
средняя, то интенсивность F1 очень маленькая, а интенсивность F2 в
устойчивом состоянии.
3.
Если отклонение большое положительное и скорость изменения
большая, то интенсивность F1 очень большая, а интенсивность F1 очень
маленькая.
4.
Если отклонение среднее отрицательное и скорость изменения
средняя, то интенсивность F1 очень близкая к устойчивому состоянию, а
интенсивность F2 очень большая.

135.

136. Алгоритм Сукамото(Tsukamoto)

1z1 2 z 2
Z
1 2
μв1
μА1
μ
α1
х
x1
μА2
y1
у
z
μВ2
μ
α2
x
y
z

137.

• Алгоритм Ларсена (Larsen)
μв1
μА1
μ
α1
х
x1
μА2
y1
у
z
μВ2
μ
α2
x
1 min( А1 ( х1), В1 ( у1))
r1 ( z ) 1 С1 ( z ))
y
z
2 min( А2 ( х1), В 2 ( у1))
r 2 ( z ) 2 С 2 ( z ))
max r1 ( z), r 2 ( z)

138.

Алгоритм Сугено(Sugano)
В этом алгоритме в отличие от других используется набор правил следующего вида:
П1: если х есть A1 и y есть B1 , то z = a1 x b1 y ;
П2: если х есть A2 и y естьB2 , то z = a2 x b2 y.
Введение нечеткости. Выполняется так же, как и в алгоритме Мамдани.
Логический вывод. Находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого правила с
использованием операции min: 1 min{ A1 ( x0 ), B1 ( y 0 )} , 2 min{ A2 ( x0 ), B2 ( y0 )}
z1 a1 x0 b1 y 0
Затем определяются выводы по каждому из правил и z a x b y
;
2
2
0
2
0
µ(x)
C ( z )
µ(y)
1
Итоговый вывод
α1
z z
z
1 2
1 1
2 2
xo
yo
x
µ(x)
y
z1 a1 x0 b1 y0
z
С ( z )
µ(y)
2
α2
x
y
z2 a2 x0 b2 y0
z

139.

• Продукционная система с консеквент-выводимой архитектурой
БД: А,F
Правило1: A&B&C→D;
Правило2:D&F→G;
Правило3:A&J→G;
Правило4:B→C;
Правило5:F→B;
Правило6:L→J;
Правило7:G→H.
Задача- вывести истинность Н.

140.

3
“Если уровень воды высокий, то открыть”.
μ
Уровень воды высокий
μ
Кран открыть
у
х
Уровень воды довольно
высокий
У”

141.

Нечеткая модель управления контейнерным краном
Рассматрим пример разработки модели системы нечеткого управления контейнерным
краном, который предназначен для транспортировки моноблочных контейнеров при
выполнении разгрузочных работ морских судов.
Содержательная постановка задачи
Контейнерные краны используются при выполнении погрузочно-разгрузочных работ в
портах. Они соединяются с моноблочным контейнером гибким тросом и поднимают
контейнер к кабине крана. Кабина крана вместе с контейнеров может перемещается в
горизонтальном направлении по направляющим типа рельсов. Когда контейнер
поднимается к кабине, а кран приходит в движение и контейнер начинает раскачиваться
и отклоняться от строго вертикального положения под кабиной крана. Эта ситуация
иллюстрируется на рис. 7.23.

142.

Проблема заключается в том, что пока контейнер раскачивается в ходе своей
транспортировки и отклоняется от вертикали, он не может быть опущен на основание
цели перемещения, в качестве которой используются железнодорожные платформы или
другие транспортные средства.
Анализ действий крановщиков-операторов, выполняющих управление краном,
показывает, что они в своей работе применяют следующие эвристические правила:
1. Начинать движение следует со средней мощностью.
2. Если движение уже началось и кабина находится далеко от цели, отрегулировать
мощность двигателя таким образом, чтобы контейнер оказался несколько впереди
кабины крана.
3.Если кабина находится близко над целью, уменьшить скорость таким образом, чтобы
контейнер находился несколько впереди кабины крана.
4, Когда контейнер находится очень близко от позиции цели, следует выключить
мощность двигателя.
5. Когда контейнер находится прямо над позицией цели, следует остановить двигатель

143.

Формирование базы правил систем нечеткого вывода
Следующим этапом построения модели является построение базы правил. С
этой целью преобразуем рассмотренные выше 5 эвристических правил в 6
правил нечетких продукций:
ПРАВИЛО 1: ЕСЛИ "расстояние далекое" и "угол равен нулю"
ТО "мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "угол отрицательный малый" ТО
"мощность положительная большая"
ПРАВИЛО_3: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "угол отрицательный большой"
ТО"мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО_4: ЕСЛИ "расстояние среднее" И "угол отрицательный малый" ТО
"мощность отрицательная средняя"
ПРАВИЛО_5: ЕСЛИ "расстояние близкое" И "угол положительный малый" ТО
"мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО_6: ЕСЛИ "расстояние ноль" И "угол равен нулю"
ТО "мощность равна нулю"
^ Примечание
Следует заметить, что правило 2 разделено на два отдельных правила,
чтобы использовать простой формат ЕСЛИ-TO. При этом расстояние
становится отрицательным в том случае, когда кабина крана находится
справа от положения цели.

144.

145. Формула Лукасевича

Пусть имеются входные переменные X=[10, 20], Y=[20, 40] и выходная Z=[20,
40], сответствующие термы
Tz около 20, около 30, около 40 L z1 , L z2 , L z3
Tx около 10, около 20 L x1 , L x2
Ty около 20, около 40 L y1, L y2
Lx1
Lx2
Ly2
Ly1
0.5
0.5
10
20
а)
20
30
б)
Рис 48
40

146.

Определены правила условного логического вывода:
1.если x = < LX1 > и y = < LY1 >, то z = < LZ1 >;
2.если [x = < LX2 > и y = < LY1 >] или [x = < LX1 > и y = < LY2 >], то z = < LZ2 >;
3.если x = < LX2 > и y = < LY2 >, то z = < LZ3 >.
Пусть x=14, y=27.
Правила 1) –
возможности.
(1)
(2)
(3)
3)
выполняются
одновременно
с
различной
1 min 1,1 min Lx1 ( x ), Ly1 ( y) Lz1 (z ) ;
степенью
2 min 1,1 max min Lx 2 ( x ), Ly1 ( y) , min Lx1 ( x ), Ly 2 ( y) Lz 2 (z ) ;
3 min 1,1 min Lx 2 ( x ), Ly 2 ( y) Lz 3 (z ) ;
1 2 3 min 1 , 2 , 3
Подставив в соотношения (1) – (3) соответствующие значения x и y
Lx1 ( x ) 0.7 ;
Lx 2 ( x ) 0.3
;
Ly1 ( y) 0.58
;
Ly 2 ( y) 0.44

147.

1 min 1,1 0.58 Lz1 (z ) min 1,0.42 Lz1 (z ) ;
2 min 1,1 0.44 Lz 2 ( z ) min 1,0.56 Lz 2 (z ) ;
3 min( 1,1 0.3 L ) min( 1.07 L )
z3
Lz2
Lz1
20
3
2
1
z3
Lz3
23
20
26.4
26.4
30
Рис 49
35
40
40

148. Многокритериальная оценка и выбор альтернатив на основе нечетких множеств

где µс(ai)€[0, 1] — оценка альтернативы а, по критерию С, характеризует
степень соответствия альтернативы понятию, определяемому критерием С.
Если имеется п критериев: C1, С2, … ,Сn, то лучшей считается альтернатива,
удовлетворяющая и критерию С1, и С2, и ..., и Сn. Тогда правило для выбора
наилучшей альтернативы может быть записанo в виде пересечения
соответствующих нечетких множеств:
Операции пересечения нечетких множеств соответствует операция min,
выполняемая над их функциями принадлежности:

149.

В качестве лучшей выбирается альтернатива а*, имеющая наибольшее
значение функции принадлежности
В случае, если критерии С, имеют различную важность, каждому них
приписывается число αi ≥0 (чем важнее критерий, тем больше , и правило
выбора принимает вид
Коэффициенты относительной важности определяются на основе
процедуры парного сравнения критериев. Вначале формируется матрица В,
элементы которой находятся из табл. 4.1 и удовлетворяют следующим
условиям:bii =1; bij=1/bji.
Затем находится w — собственный вектор матрицы В, соответствующий
максимальному собственному значению ᴧmax:
Искомые значения коэффициентов αi получаются умножением элементов w
на n для выполнения условия нормирования:

150.

Критерии равной важности. A={ai ,i=1,…,5}, C={cj,j=1,…6}
Тогда правило выбора имеет вид
Видно, что лучшей является альтернатива а1

151.

Критерии различной важности . A={ai ,i=1,…,4}, C={cj,j=1,…3}
Нечеткие множества, характеризующие альтернативные варианты с точки
зрения различных критериев:
Критерии имеют различную важность, результаты их попарного сравнения
представлены матрицей

152.

Собственный вектор матрицы В: w1=0,06; w2 =0,27; w3 = 0,67. Тогда
коэффициенты относительной важности критериев α1= 3*0,06 = 0,18.
α2=3*0,27 = 0,81, α3=3*0,67 = 2,01.
Модифицируем множества Сi
Получим множество
D={0,04/a1 ; 0,01/а2; 0,36/а3; 0,48/а4}.
Максимальное значение принадлежности имеет альтернатива а4 ее и
следует выбрать в качестве решения.

153. ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРАВИЛА НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

Рассматривается метод многокритериального выбора альтернатив на основе
композиционного правила агрегирования описаний алътернатив с
информацией о предпочтениях ЛПР, заданных в виде нечетких суждений .
Краткие сведения о методе. Пусть U — множество элементов, А- его
нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов которого есть
число из «единичного интервала [0,1]. Подмножества А являются значениями
лингвистической переменной X.
Пусть множество решений характеризуется набором критерия Х1, Х2,...,ХР,
т.е. лингвистических переменных на базовых множествах U1, U2,...,UP
соответственно. Например, переменная Х1 «Квартирная плата» может иметь
значение НИЗКАЯ, а переменная Х2 «F положение квартиры» — значение
ХОРОШЕЕ и т. п. Набор из нескольких критериев с соответствующими
значениями характеризует представления ЛПР об удовлетворительности
(приемлемости) решения. Переменная S «Удовлетворительность» также
является лингвистической. Пример высказывания:
D1: «Если Х1 = НИЗКАЯ и Х2= ХОРОШЕЕ, то S-ВЫСОКАЯ».

154.

• В общем случае высказывание di имеет вид
• di «Если Х= А1i и X2=A2i и ... Xp = Api, то S = Bi «
Обозначим пересечение ( X 1
A1i X 2 A2i ...X p Api )
через Х = Аi. Операции пересечения нечетких множеств соответствует
нахождение минимума их функций принадлежности:
A min( A (u1 ), A (u2 ),..., A (u p ))
i
i1
i 2(
где V= U1 X U2 X … X UP ; v=(uu u2,...,up);
Aij (u j )
— значение
принадлежности элемента
,
ip
uj
нечеткому множеству Аij. Тогда условное высказывание можно
записать в виде
di «Если X=Ai, TO S = Вi».
Импликация
образом:
нечетких
множеств
выражается
следующим
Н (w, i) min( 1, (1 A (w) B (i)))

155.

Аналогичным образом высказывания d1, d2
, dр преобразуются в
множества Н1… , Нq. Их объединением является множество D:
D H1 H 2 ... H p
D ( w, i ) min( H ( w, i )), j 1, q.
j
Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для
нечеткого множества A I
определим α-уровневое множество [0,1]
A {x | A ( x) , x I }
Для каждого Аα можно вычислить среднее число элементов
M ( A )

156.

M ( A )
1) для множества из n элементов
3) для
i
/n
xi A
a b
M ( A )
2
A {a x b}
2) для
x
0 a1 b1 a2 b2 ... an bn 1
n
M ( A )
i 1
ai bi
(bi ai )
2
n
(b
i
i 1
ai )
n
A {ai x bi };
i 1
Тогда точечное значение для множества А
F ( A)
1
max
max
M ( A )d .
0
. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

157.

Пример использования метода. Пример 4.5. Руководство института рассматривает
кандидатов на замещение вакантной должности на факультете. Задача заключается в
том, чтобы, используя описанный
выше метод, выявить наилучшего из них. Обсуждение среди членов факультета дало
следующий результат:
d1 «Если кандидат — опытный исследователь, имеет некоторый производственный
стаж и опыт преподавания технических дисциплин, т: он — удовлетворяющий
(отвечающий требованиям)»;
d2: «Если он вдобавок к вышеописанным требованиям может преподавать теорию
информационных систем, то он — более чем удовлетворяющий»;
d3: «Если он вдобавок к условиям d2 имеет способность найти заказчика наукоемкой
продукции, то он — безупречный»;
d4: «Если он имеет все, оговоренное в d3, кроме способности преподавать теорию
информационных систем, то он — очень удовлетворяющий»;
d5: «Если кандидат — очень опытный исследователь, имеет способность найти
заказчика и хороший преподаватель, но не имеет производственного стажа, он все же
будет удовлетворяющим»;
d6: «Если он не имеет квалификации исследователя или не имея проверенной
способности к преподаванию, он — неудовлетворяющий;:
Анализ шести информационных фрагментов дает пять критериев используемых в
принятии решения: Х1 — исследовательские способности; Х2 — производственный
стаж; Хз — опыт преподавания техни ческих дисциплин; Х4 ,— опыт преподавания
теории информационн:ых систем; Х5 — способность найти заказчика.
Будем измерять эти переменные на базовом множестве U кандидатов.

158.

• d1: «Если X1 = ОБРАЗОВАННЫЙ и Х2 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ
Х3 = ХОРОШИЙ, то У=УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»;
• d2: «Если X1 = ОБРАЗОВАННЫЙ и Х2 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ
Х3 = ХОРОШИЙ и Х4 = СПОСОБНЫЙ, то У=БОЛЕЕ ЧЕМ
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»;
• d3: «Если X1= ОБРАЗОВАННЫЙ и Х2 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ
Х3=ХОРОШИЙ и Х4 = СПОСОБНЫЙ и Х5 = СПОСОБНЫЙ, то
У = = БЕЗУПРЕЧНЫЙ»;
• d4: «Если X1=ОБРАЗОВАННЫЙ и Х2 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ Х3
= ХОРОШИЙ и Х5 = СПОСОБНЫИ, то У = ОЧЕНЬ УДОВЛЕТБ
РЯЮЩИИ»;
• d5: «Если Х1=ОЧЕНЬ ОБРАЗОВАННЫЙ и Х2=НЕ ИМЕЕ1
ОПЫТА и Хз = ХОРОШИЙ и Xs = СПОСОБНЫЙ, то У =
УДОВЛЕТБ РЯЮЩИЙ»;
• d5: «Если X1 = HE ОБРАЗОВАННЫЙ или Х3 = НЕ
СПОСОБНЫй к ПРЕПОДАВАНИЮ, то У=НЕ
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ».

159.

Переменная У задана на множестве J= {0; 0,1; 0,2;...; 1}.
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ определено как
S ( x) x
БОЛЕЕ ЧЕМ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ
БЕЗУПРЕЧ НЫЙ — как
1, еслиx 1;
p (x)
0,
если
x
1,
ОЧЕНЬ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ
НЕУДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ
MS x 3
vs ( x) x 2
US ( x) 1 x, x J
x J
x J

160.

• Выбор производится из пяти"кандидатов U= {u1,u2,u3,u4,u5}} Имеются
следующие оценки каждого кандидата:
• А = ОБРАЗОВАННЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ = {0,8/u1 0,6/u2; 0,5/u3; 0,1 /u4;
0,3/u5};
• B= НЕКОТОРЫЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ОПЫТ = {0,5/u1; 1/u2; 0/u3;
0,5/u4; 1/u5};
• С= ХОРОШАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРЕПОДАВАНИЯ = {0,6/u1;
• 0,9/u2; 1/u3; 0,7/u4; 1/u5};
• D= ПОСОБНОСТЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ
СИСТЕМ0/u1,3/u2; 1,/u3; 0/u4; 0/u5};
• E = СПОСОБНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ ВНЕШНЕГО ФОНДА = = {0/u1; 0,5/u2;
1/u3; 0,8/u4; 0,1/u5}.
• После этого фрагменты знаний принимают вид
• d1: Если Х = А, и В, и С, то У=S;
• d2: Если Х = A, и В, и С, и D, то У=MS;
• d3: Если X= A и B, и С, и D, и E, то У = Р;
• d4: Если Х=A, и В, и С, и E, то У=VS;
• d5: Если Х = очень A, и не В, и С, и E, то У=S;
• d6: Если Х=не А или не С, то Y= US.

161.

Используя правила для перевода этих операций, получаем для:
d1: μMi(u) = min(μA(и),μ B(и),μc(u)); M1={0,5/u1; 0,6/u2; 0/u3; 0,1/u4;
0,3/u5};
d2: μ2(U) = min (μA(U) ,μB(U),μC(U),μD(U)); M2={0 5/u1; 0,3/u2; 0/u3;
0/u4; 0/u5};
d3: μ3(U)= min (μA(U),μB(U),μC(U),μD(U),μE(U)); M3={0/u1, 0,3/u2; 0/u3;
0/u4; 0/u5};
d4: μ4(U)-= min ((μA(U),μB(U),μC(U) ,μE(u)); M4={0/u1; 0,5/u2; 0/u3;
0,1/u4; 0,1/u5};
d5: μ5(U) = min{μ 2A(и),1-μв{и),μС(и),μЕ(и))\ M5={0/u1; 0/u2; 0/u3;
0,01/u4,; 0/u5};
d6: μ6(U) = max (1 —μA(u),1 —μc(u)); M6={0,4/u1; 0,4/u2; 0,5/u3;
0,9/u4; 0,7/u5}.

162.

• Используя правило (4.18) преобразования
импликации «Если Х = М то Y=Q» в
выражении μiD(u, i) = min (1,1- μM(u) + μQ
(и)), для каждой пары (и, i)єUxJ получаем
следующие нечеткие подмножества из
UXJ:

163.

D1=
D2=
-
D3=
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
U1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
1
1
1
U2
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
1
1
U3
1
1
1
1
1
1
'1
1
1
1
U4
0,9
1
1
1
1
1
s\
1
1
1
U5
0,7
0,8
0,9
1
1
1
1
1
1
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
U1
0,5
0,53
0,59
0,66
0,75
0,85
0,96
1
1
1
U2
0,7
0,73
0,79
0,86
0,95
1
1
1
1
1
U3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U5
1
0
1
0,1
1
0,2
1
0,3
1
0,4
1
0,5
1
0,6
1
0,7
1
0,8
1
0,9
u1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
u2
0,7
0,7
0,7.
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
U3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
u1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
u2
0,5
0,51
0,54
0,59
0,66
0,75
0,86
0,99
1
1
u3
u4
1
0,9
1
0,91
1
0,94
1
0,99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U5
0,9
0,91
0,94
0,99
1
1
1
1
1
1
u5
D4 =

164.

0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
U1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
D5= U4
u5
о
U1
0,1 0,2
1
1
1
1
1
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
1
1
1
1
1
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
1
1
1
1
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
U4
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
u5
1
1
1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
и2
D6= из

165.

В результате получаем общее функциональное решение:
D = D1∩D2∩D3∩D4∩D5∩D6 т.е. μD(u,i) = minj=1,6(μDj(u,i)) :
Каждая строка этой матрицы – это нечеткое множество, определяющее интегральную оценку
соответствия альтернативы совокупности правил условного вывода. Теперь применим процедуру для
сравнения нечетких подмножеств Е1,E2 Е3, E4t, Е5 в единичном интервале для получения наилучшего
решения.
Для первой альтернативы
E1= {0,5/0; 0,53/0,1; 0,59/0,2; 0,66/0,3; 0,75/0,4; 0,85/0,5; 0,96/0,6; 0,9/0,7; 0,8/0,8; 0,7/0,9; 0,6/1}.
Вычисляем уровневые множества Eja. Их мощность M(Eja) находится формуле

166.

где
0≤α≤0.5 dα = 0,5;
E1α={0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(Ela)=0,5
0,5<α≤0,53; dα = 0,03;
E1α={0,l; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(Elα)=0,55:
0,53<α≤0,59; dα = 0,06;
E1a={0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(Elα)=0,6;
0,59<α<0,6; dα = 0,01 и т.д. Аналогичные вычисления проводятся для всех остальных α-уровней, а
также для всех альтернатив.
Найдем точечную оценку E1:
F ( E1 )
1
max
max
M (E
1
)d
0
F(E1)= 1 /0,96 (0,5 • 0,5 + 0,55 • 0,03 + 0,6 • 0,06 + 0,65 • 0,01+ 0,6 • 0,06 + + 0,65 • 0,04 + 0,6 • 0,05 + 0,6 • 0,05 +
0,65 • 0,05 + 0,65 • 0,05 + 0,6 • 0,06) = 0,554.
Точечная оценка удовлетворительности для альтернатив:
U1 равна 0,554, U2 — 0,554, U3 — 0,425, U4, — 0,298, U5 — 0,391.
В качестве наилучшей выбираем альтернативу U2 так как в расчете ее
оценка до округления была больше.

167. СРАВНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

• Задача нетривиальная, т.к. наряду с перечислением элементов, в нечетких
множествах появляется еще один параметр – значение ФП. Если взять
классические множества, перечисляемые множества, т.е. множества, в
которых мы можем перечислить элементы, принадлежащие этому
множеству, а также перечисляемые множества ограничить классом
конечных множеств, где число элементов конечно, то по определению
мощность множества – это число элементов, принадлежащих данному
множеству. Такое определение объясняется тем, что нет различий в
степени принадлежности элементов к данному множеству. У них у всех
степень принадлежности равна единице.
• В теории нечетких множеств такой подход недостаточен, поскольку просто
суммировать элементы множеств с различными степенями
принадлежности некорректно.
Расчет взвешенной мощности основан на
операции α–разбиения нечеткого множества.
Определено на универсальном множестве [0; 1].
Это ограничение не имеет принципиального
значения –
методика
расчета остается
неизменной.

168.

• Выбор α–уровней может производиться либо аналитиком/экспертом,
либо, как правило, эти уровни получаются автоматически. В памяти
компьютера ФП будет храниться как дискретный двумерный массив
{ ( xi ), xi } i = 1,N. ( xi )
Для α–разбиения известно определение α–уровневого множества: если
~
A { A~ ( x) / x} , то подмножеством уровня α нечеткого множества
~
A i {x i , ( x i ) i }, x i A
будет множество элементов
~
A
таких, что значение соответствующей ФП больше или равно αi.
Для каждого уровня αi рассчитывается соответствующая мощность:
W ( i )
x
i
n i
xαi – значение аргумента ФП, принадлежащее множеству Aαi.
nαi – число элементов, принадлежащих αi-разбиению

169.

• При расчете мощности αi-разбиения в данном случае используется
значение аргумента, ее называют еще взвешенной мощностью.
Наличие в знаменателе nαi связано с тем, что выбор α–уровней может
повлиять на конечный результат расчетов, что нежелательно.
• Разбиение может быть иным, соответственно результаты на одном и
том же множестве будут разные.
• Величина относится к конкретному α–уровню, а интегральная
мощность W по всем уровням определяется:
W
max
где
1
min
max
W ( )d
i
W
min
max
1
min
N
W ( )d
i 1
i
d i i i 1
Множитель d i
должен присутствовать при вычислении
интеграла,
дает
эффект:
позволяет
компенсировать влияние выбора α–уровней на
конечный результат расчета.
i

170.

• Если взвешенную мощность мы посчитаем для двух множеств,
которые мы должны сравнивать. Считается, что более
предпочтительным будет множество с большим значением
мощности.
~
~
A2 A1
W ( A2 ) W ( A1 )
К сожалению, этот метод не всегда дает убедительные результаты в том
смысле, что в определенных случаях различия между значениями мощностей
альтернатив приближается к погрешности расчетов.