Алгебраические структуры, порожденные отношением причинности на пространствах-временах

1.

Алгебраические структуры,
порожденные отношением причинности
на пространствах-временах
В.А. Столбова, ФН1-81
Научный руководитель: А.В. Филиновский
Консультант: А.М. Никифоров

2.

Цели и задачи
организация причинных подмножеств пространственно-временных многообразий в алгебраические структуры (решетки [1]);
изучение свойств полученных классических конструкций
сопоставление с квантовомеханическими аналогами
Мотивировки
Алгебраическая квантовая теория поля (АКТП) [2],[3]
Общая теория относительности [4]
Структура пространства-времени –
структура дифференцируемого многообразия с заданной на нем Лоренцевой метрикой
и ассоциированной с ней аффинной связностью
[1] Grätzer, G. (2002). General lattice theory. Springer Science & Business Media.
[2] Baumgärtel H., Wollenberg M. Causal nets of operator algebras: Mathematical aspects of algebraic quantum field theory. – 1992.
[3] Haag R., Kastler D. An algebraic approach to quantum field theory //Journal of Mathematical Physics. – 1964. – Т. 5. – №. 7. – С. 848-861.
[4] Hawking S. W., Ellis G. F. R. The large scale structure of space-time. – Cambridge university press, 1973. – Т. 1

3.

Решетки (алгебраические системы). Определение
Решеткой называется множество с двумя введенными на нем операциями
такими, что выполняются следующие свойства:
идемпотентность
◈
◈
коммутативность
a a a
◈
a a a
◈
``a `a `a ``a
``a `a `a ``a
ассоциативность
A a , ,
: A 2 A
: A 2
``a, `a ``a `a
``a, `a
``a `a
тождества поглощения
```a ``a `a ```a ``a `a
◈
`a ``a `a `a
◈ ```a ``a `a ```a ``a `a
◈
`a ``a `a `a
◈
A
a, `a, ``a, ```a A
Виды решеток
Модулярная решетка
◈
`a ``a ```a `a
`a ``a ```a `a
`a, ``a, ```a A
Дистрибутивная решетка
◈
```a ``a `a ```a ``a ```a `a
◈
```a ``a `a ```a ``a ```a `a
Дополнением элемента a A
Ограниченная решетка
◈ a 1A
◈ OA a
Ортодополнением
называется морфизм
:A A
a
a
a
a a OA
◈
a a 1A
◈ a a 1A
a
N
◈
◈ a a OA
◈
N
называется элемент a A :
◈ a `a `a ``a
такой, что:
a A
a A
a
Решетка
c ортодополнениями
a A
N
N
a
Решетка
c дополнениями
Булева алгебра B oo −
дистрибутивная решетка
c ортодополнениями

4.

Причинное дополнение. Отношение причинной несвязанности
CS-дополнением,
или причинным дополнением,
: 2X 2X
такое, что
s BH
cs
s
s
Семейство
причинно замкнутых
подмножеств множества X
CS-замыкание, или
причинное замыкание,
подмножества s X
s s
cs
cs
s j s j
j
j
cs
s s
подмножества s X
называется отображение
cs
2
cs
2
cs
cs
cs
s s
cm
cs
Cm X
cm
X
s 2
s
2
cs
: 2
X
2
cs
s
На глобально-гиперболическом
пространстве-времени R
X
cs
s s X \s
s cm s
cs
cm
BH
задания причинного дополнения
Примеры
На множестве X
s
cs
cs
s ss s ss
На множестве подпространств h
бесконечномерного
сепарабельного гильбертова пространства
: 2R 2R
cs
Отношение
CS-несвязанности,
или причинной
cs
несвязанности
H , dim H
sprb
csl
s s
R \ D
csl
H ,
j 0
h h
j h
cs
s
Булева алгебра причинно замкнутых подмножеств некоторого множества
cm cm
B oo csCm X A csCm X csCm X , , , O A cs Cm X , 1A cs Cm X ,
cs
cm
cm
s
cm
s
cm
cm
s
cm
s
cm
cs
s
cm
cm
s
O
s
cm
s
A cs Cm X
X
1
A cs Cm X

5.

Классические решетки
1. Решетки конусов на M1D
ACon M1D Con M1D ,
,
2. Решетки диамантов на M 1D
A Dmd M1D
l
V
l
Dmd M1D
l
l
, ,
V
V
V
ACon M1D Con M1D ,
l
A Dmd M1D
V
, , O
l
Dmd M1D
3. Решетка времениподобновыпуклых подмножеств M 1D
A Con M1D
V
V
l
l
V , , , O
A Dmd
tl
Квантовомеханические решетки
1. Гильбертова решетка
2. Проекторная решетка
A Cm H Cm H , , , O A
AP H
3. Решетка алгебр фон Нойманна
, 1A
Cm H
,
Cm H
P P
P H , , , O AP H , 1AP H , P
H
H
AB H N , , , O A B H , 1A B H
l
ACnv M1D Cnv M1D ,
tl
D
A Con M1
, 1
V
M1D
, 1
l
V
A Dmd M1D
,
Решетка
причинно замкнутых
подмножеств
A csCm X
cs
Cm X , , ,
cs
O A cs Cm X , 1A cs Cm X , ,
cm cm

6.

Алгебраическая квантовая теория поля. Аксиомы Хаага-Кастлера
2. Микропричинность
1. Изотония
3. Ковариантность
,a A O A O a
, a ,
,a Aut A .
O1 Н O2 Ю$ a 12 : A(O1 )® A(O2 ).
``U , `U : ``U `U
U
in```U
: A ``U A `U
йA(O1 ),A(O2 )щ= 0
л
ы
Трансляционная ковариантность
1,a A O A O a
U
U
U
```U ``U `U in`````U in```U in````
U
in```U
``U
1,a Aut A
A O
in``U in```U
`U
`U
y
A O a
y+a
a
A ```U
A
``U
A `U
O
x
O a
a
x+a
M14

7.

Алгебраическая квантовая теория поля.
4. Аксиома временного слоя
y
Аксиомы Хаага-Кастлера
Loc
A(O )= A(S0 )
C
O
C
SO O
x
O
O
A O
5. Спектральное условие
spec P V
O O
: A O B H
in
A O
: A O B H
in A O
Локально ковариантная
квантовая теория поля [5]
B H
F A,
Obs
Ob Loc R, g
Ob Obs A
‒ глобальногиперболическое
пространствовремя
‒ C † алгебры с
единицей
Mor Loc ι
: `R14 , `g ``R14 , ``g
‒ изометрия,
сохраняющая
ориентации и
причинную
структуру
Mor Obs
‒ точные
гомоморфизмы,
сохраняющие
единицу
†
[5] Brunetti R., Fredenhagen K., Verch R. The generally covariant
locality principle–a new paradigm for local quantum field theory //
Communications in Mathematical Physics. – 2003. – Т. 237. –
№. 1-2. – С. 31-68.

8.

Классические решетки
ACon M1D Con M1D ,
,
Операция пересечения
tl0
Решетки конусов на M
-дистрибутивная
ACon M1D Con M1D ,
, , O
O
A Con M1D
, 1
A Con M1D
A Con M1D
`x 0
``x 0
`x 0
A Con M1D
, 1
M 1D
Времениподобные
Операция объединения
tl0
M
D
1
+
Con
(
M1D
)
+
м+ п
ь
п
п tl0 п tl0
п
п
= нconэ , con є
п
x0 п
x0
п
п
п ю
п
п
п
о
- ь
м
п
п tltl0
п
п tl0 п
п 0
Con M1D = нconэ , con є
п
п x0
x
0
п
п п
п
п
п
о
ю
(
sgn ,
Причинные
Нижние
tl0
sgn l
sgn l
T con con
x0
x0
M1D
Верхние
con con T T con T con
``x 0
`x 0
``x 0
`x 0
Биекция T
-ограниченная
Семейства конусов на
con con con con
``x 0
tl0 , tl0 , csl , csl
D
1
)
+
+ ь
+
м
п csl
п csl
csl
п
п
п , con є
Con M1D = п
con
н э
п
п x0 п
п x0
п п
о
ю
(
)
-
csl
Con
(
M1D
)
м- п
ь п
п csl п csl
п
п
= нconэ , con є
п
п x0 п
п x0
п
о п
ю
{x О M
{x О M
D
1
{x О M
{x О M
D
1
D
1
D
1
}
0
qh (x - x0 )> 0, (x - x0 ) > 0
}
0
qh (x - x0 )> 0, (x - x0 ) > 0
}
0
qh (x - x0 ) і 0, (x - x0 ) > 0
0
}
qh (x - x0 ) і 0, (x - x0 ) < 0

9.

Решетки диамантов на M
Классические решетки
A Dmd M1D V
l
l
Dmd M 1D
l
, ,
V
V
V
l
l
A Dmd M1D V
-дистрибутивная
O
Семейства диамантов на M 1
ј
: l:
: l:
dmd
-
+
ј
+
: l:
: l:
x
-
+
: l:
: l:
``z
`z
y
:
l:
l:
:
con, con О Con
``z
``z
(
M 1D
); :
, 1
Операция пересечения
-
+
A Con M1D
V
V
l
l
, , ,O
l
V
, 1
A Dmd M1D
l
V
A Dmd M1D
: l:
x
l : О {tl0 , csl }
V
: l:
: l:
dmd ``y, ``x
V
: l:
Щ dmd `y, `x
жј
зз : -l : - : -l : - ј
: l:
- : l:
ззcon Ъ con Щcon Ъ con
зз ``y
``x
`y
`x
ззи
V
+
tl0
tl0
dmd ``y , ``x
V
V
є
Операция объединения
V
tl0
ц
ц жј
+
+
ч
зз : +l : + : +l : + ј
: l:
+ : l: ч
ч
ч
ч
ч
ч
З зззcon Ъ con Щcon Ъ con ч
ч
ч
ч
``x
`y
`x ч
ч
ч
ч
ззз ``y
ч
ч
ч
ш и
ш
: l:
M1D
dmd ``y , ``x
tl0
V
: l:
V
tl0
Ъ dmd `y, `x є
V
V
ц
жј
ц жј
+
+
+
+
ј
зз : -l : - : -l : - ј
: l:
- : l: ч
ч
ч зз : l : + : l : + : l : + : l : ч
ч
з
ззcon Ъ con Ъ con Ъ con ч
ч
ч
чЗ ззcon Ъ con Ъ con Ъ con ч
зз ``y
y
``x
`y
`x ч
``x
`y
`x ч
ч
ч
ч
ч ззз ``
зи
ч
ч
з
ш
и
ш
dmd ``y, ``x
V
+
tl0
tl0
Щ dmd `y , `x
-ограниченная
M 1D
: l:
+
:
V
V
є con З con
-
l
Dmd M 1D
D
y, x V є con Ъ con З con Ъ con
y
A Con M1D
D
1
V
tl0
Ъ dmd `y , `x
V

10.

Решетка времениподобно выпуклых подмножеств
Классические решетки
ACnv
tl
M 1D
tl
tl
cnv cnv
tl
Cnv M 1D , ,
tl
tl
tl
tl
tl
cnv cnv
tl
tl
tl
y cnv
tl
cnv , такое, что
tl
x cnv
tl
tl
cnv Cnv : dnd ``x, `x cnv
tl 2
``x, `x cnv ;
x x timelike
Примеры
то есть, такое подмножество пространства-времени,
которое вместе со всякой парой времениподобно
отстоящих точек содержит и их
времениподобное замыкание
tl
tl
dmd y, x
y , x cnv cnv
пространства-времени cnv Cnv
называется подмножество пространства-времени
tl
1
tl tl
tl
span dmd cnv cnv
Времениподобно выпуклым подмножеством
D
M
tl
``x, `x dnd ``x, `x
tl
t , q Cnv M 1D
tl
s Cnv M 1D
dmd y, x

11.

Квантовомеханические решетки
1. Ограниченная решетка с ортодополнениями
замкнутых по норме подпространств
гильбертова пространства
h h
h h
A
1
h h
A Cm H
O
h h
A Cm H
Cm H Cm H , , , O
A
H
:
A
P
P
P
h P
h P
h P
h h
h P h h
0
h
1AP H P 1
A
Cm H
O AP H P O
A
H
N N N N
C2
O AB H Ј
1B H
Cm H
P
N
C
A Cm H
Cm H
P
,
-ортогональное дополнение
P P
P H , , , O AP H , 1AP H , P
: AP H AP H
h
P
P
H
H
h
P
h
AB H N , , , O A B H , 1A B H
N
N
1A B H B H
N N N N
A
h
h
AP H
3. Ограниченная решетка с дополнениями алгебр фон Нойманна
H
2. Ограниченная решетка с ортодополнениями
операторов проектирования на гильбертовом пространстве
P
Cm H
Cm H
,1

12.

Заключение
Построение алгебраических структур, индуцированных отношением причинности, в данной
работе ограничивается решетками
Как семейства подлежащих подмножеств, так и операции, заданные на них, отражают
причинные свойства
Полученные классические конструкции сопоставлены с квантовомеханическими
интерпретациями булевой алгебры подмножеств
Перспективы исследования
Руководствуясь аксиоматикой АКТП, подмножества пространства-времени можно рассматривать
в качестве отправной точки для построения сетей алгебр наблюдаемых
Задача систематизации подмножеств пространства-времени получает перспективы дальнейшей
интерпретации на алгебраическом этаже и, возможно, разработке процедуры квантования
путем построения соответствий между классическими и квантовыми решетками
Полученный в работе ряд пространственно-временных решёток на пространстве-времени
Минковского имеет целью дальнейшее применение в релятивистских локальных квантовых
теориях на искривлённых пространствах-временах
Таким образом, возникает необходимость в разработке форм организации подмножеств
пространства-времени, которые естественны с точки зрения процедур манипулирования (в
контексте АКТП) информацией о причинной структуре

13.

Апробация работы
1. Выступления на «Семинаре по алгебре, геометрии в математической физике»
(руководитель: Никифоров А.М.)
2. Выступление на международной конференции «Mathematical Spring-2019», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
Тема доклада: Monoidal Categories in Mathematical Physics
3. Выступление на международной конференции
«Математическая физика, динамические системы и бесконечномерный анализ», МФТИ, 2019 г.
Тема доклада: Моноидальные категории в теориях поля
4. Выступление на международной конференции
«Topological methods in dynamics and related topics II», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
Тема доклада: Algebraic constructions generated by causal structure of space-times
5. Публикация «Monoidal Categories in Mathematical Physics»
в сборнике тезисов международной конференции «Mathematical Spring-2019», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
6. Публикация «Algebraic constructions generated by causal structure of space-times»
в сборнике тезисов международной конференции «Topological methods in dynamics and related topics II»,
НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.

14.

Спасибо за
внимание!
→ Казимир Малевич. Супрематическая композиция, 1916