Выпуклый анализ. Пространство подмножеств. Лекция 2

1. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 2
1. ПРОСРАНСТВО ПОДМНОЖЕСТВ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
R
n

2.

1. ПРОСРАНСТВО ПОДМНОЖЕСТВ
Rn .
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств
n
R .

3.

1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств
A1 , , Am R n
Определение 15.
и
Rn .
Пусть
l1 ,L , lm Î R1.
Множество
m
ì
ü
a
=
l
a
a
Î
A
,
i
=
1,
L
,
m
A = li Ai = í å i i i i
ý
i =1
î
þ
i =1
m
å
будем называть алгебраической линейной комбинацией множеств
с коэффициентами
l1 ,L , lm Î R1.
В частности, если
A R n , B = { b} R n ,
A + B = { u = a + b a Î A}
называется сдвигом множества
на вектор
b.
A1 , , Am
A
A
то множество
A + { b}
b

4.

Теорема 1.
Имеет место равенство
O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) = O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .
Доказательство.
Пусть u Î O ( u1 , R1 ) + O ( u 2 , R2 ) .
ÎO ( u1 , R1 )
( 1)
R1
u1
O
u= u
R1 + R2
u1 - u (
u1 + u2
1
2
u( ) +u( )
}
u
u2
R2
(
) (
= u ( ) - u1 + u ( ) - u2
1
2
)
1)
- ( u1 + u2 )
£ R1
( 1)
Тогда
ÎO ( u2 , R2 )
( 2)
+ u
£ R1 , u2 - u (
2)
,
£ R2 Þ
( 1)
( 2)
u
+
u
- ( u1 + u2 ) =
=
£ R2
64 7 48 64 7 48
£ u ( 1) - u + u ( 2) - u
1
2
£ R1 + R2 Þ
u Î O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .
Доказано, что
O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .

5.

Докажем обратное вложение.
Если
l = 0,
Пусть
u Î O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .
6 44 7l 4 48
0 £ u - ( u1 + u2 ) = l £ R1 + R2 .
то
u - ( u1 + u2 ) = 0 Þ u =
Пусть теперь
l > 0.
ÎO ( u1 , R1 )
u1 +
ÎO ( u2 , R2 )
u2
Тогда
Î O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) .
Тогда возможно представление
l = l 1+ l 2 ( £ R1 + R2 ) , 0 < l i £ Ri , i = 1, 2.
Обозначим
l1
u = u1 + ( u - u1 - u2 ) ,
l
( 1)
Тогда
u
( 2)
l2
= u2 + ( u - u1 - u2 ) .
l
l1
l2
é
ù é
ù
u
+
u
u
u
+
u
+
u
u
u
(
(
u +u = ê 1
1
2)ú
2
1
2)ú =
ê
l
l
ë
û ë
û
6 7=1 8
l1 + l2
= u1 + u2 +
( u - u1 - u2 ) = u1 + u2 + u - u1 - u2 = u Þ
l
( 1)
( 2)

6.

( 1)
( 2)
u =u +u
Заметим, что
li
( i)
u = ui + ( u - u1 - u2 ) Þ
=l l
6
4
7
48
li
li
( i)
u - ui =
l = l i £ Ri , i = 1, 2.
× u - u1 - u2 =
l
l
i
u ( ) - ui £ Ri Þ u ( i ) Î O ( ui , Ri ) , i = 1, 2
Таким образом,
ÎO ( u1 , R1 )
( 1)
u= u
ÎO ( u2 , R2 )
( 2)
+ u
Î O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) Þ
O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) ,
и равенство (1)
Теорема 2.
O ( u1 , R1 ) + O ( u2 , R2 ) = O ( u1 + u2 , R1 + R2 ) .
Имеет место равенство
k × O ( 0, R ) = O ( 0, k R ) .
( 1)
доказано.

7.

Доказательство. При
Пусть
k 0
и
k =0
справедливость доказываемого равенства очевидна.
u Î k × O ( 0, R ) .
u = ku , u Î O ( 0, R ) Þ
( 0)
( 0)
Тогда
}£ R
}
u = ku ( 0) = k u ( 0) £ k R Þ
0
ku ( )
u Î O ( 0, k R ) Þ k × O ( 0, R ) O ( 0, k R ) .
Обратно, если
1
u
k
u Î O ( 0, k R ) Þ u £ k R,
то полагаем
v=
1
uÞ
k
£k R
ÎO ( 0, R )
}
}
}
1
k R
1
v = u =
= R Þ v Î O ( 0, R ) Þ u = k v Þ
u £
k
k
k
u Î k × O ( 0, R ) Þ O ( 0, k R ) k × O ( 0, R ) .
Из теорем 1,2 следует, что любой шар
Теорема доказана.
O ( u 0 , R ) можно представить в виде
64 {7u0 } 48
O ( u0 , R ) = O ( u0 , 0 ) + O ( 0, R ) = { u0 } + O ( 0, R ) .

8.

Упражнение 1. Пусть
ìïæ x ö
üï
2
P ( x1 , y1 , a1 , b1 ) = íç ÷ Î R x - x1 £ a1 , y - y1 £ b1 ý
ïîè y ø
ïþ
ì
ü
ïæ x ö
ï
( 2)
2
P ( x2 , y2 , a2 , b2 ) = íç ÷ Î R x - x2 £ a2 , y - y2 £ b2 ý
ï
ï
îè y ø
þ
y
( 1)
Доказать, что
P(
1)
+P
( x1 , y1 , a1 , b1 ) +
( 2)
a1
( x2 , y2 , a2 , b2 ) =
b1
a1 + a2
( x1 , y1 )
ì
ïæ x ö
= íç ÷ Î R 2 x - ( x1 + x2 ) £ a1 + a2 , O
ï
îè y ø
}
y - ( y1 + y2 ) £ b1 + b2 =
( x1 + x2 , y1 + y2 )
x
b2 ( x , y )
2
= P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) .
Решение.
b1 + b2
a2
2

9.

Докажем вложение
P(
1)
( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) .
Пусть
u Î P ( 1) ( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) .
Тогда
( 1)
( 2)
( 1) ö æ ( 2 ) ö
æ
x
=
x
+
x
,
x
x
æ xu ö
u
u = ç ÷ = ç 1 ÷+ç 2 ÷Þ
( 1)
( 2)
( )÷ ç ( )÷
ç
y
yu = y + y
è uø èy ø èy ø
æ x ( 1) ö
ìïæ x ö
üï
( 1)
2
ç ( 1) ÷ Î P ( x1 , y1 , a1 , b1 ) = íç ÷ Î R x - x1 £ a1 , y - y1 £ b1 ý ,
çy ÷
ïîè y ø
ïþ
è
ø
æ x( 2) ö
ìïæ x ö
üï
( 2)
2
ç ( 2) ÷ Î P ( x2 , y2 , a2 , b2 ) = íç ÷ Î R x - x2 £ a2 , y - y2 £ b2 ý
çy ÷
ïîè y ø
ïþ
è
ø
Имеет место неравенство
xu - ( x1 + x2 ) = x + x
( 1)
( 1)
( 2)
£ x - x1 + x
( 1)
- x1 - x2 = x - x1 + x
( 2)
- x2 £ a1 + a2 Þ
( 2)
- x2 £

10.

xu - ( x1 + x2 ) £ a1 + a2 .
Аналогично устанавливается, что
yu - ( y1 + y2 ) £ b1 + b2 .
Тогда
æ xu ö
ç ÷Î
è yu ø
ì
ü
ïæ x ö
ï
2
íç ÷ Î R x - ( x1 + x2 ) £ a1 + a2 , y - ( y1 + y2 ) £ b1 + b2 ý
ï
ï
îè y ø
þ
и вложение
( 1)
P
( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) .
доказано.
Установим обратное вложение.
1
2
P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) P ( ) ( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( ) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) .
Пусть
ü
æ xu ö ìïæ x ö 2
ï
Î
R
x
x
+
x
£
a
+
a
,
y
y
+
y
£
b
+
b
Î
( 1 2) 1 2
( 1 2 ) 1 2 ý.
ç ÷ íç y ÷
ï
þ
è yu ø ïîè ø

11.

Тогда
0 £ lx = xu - ( x1 + x2 ) .
x
l1x
= x1 +
( xu - x1 - x2 ) ,
lx
Очевидно, что
( 1)
x +x
lx > 0.
Сделаем представление
lx = l1x + l2 x , 0 < lxi £ ai , i = 1, 2.
Обозначим
( 1)
Пусть
( 2)
x ( 2 ) = x2 +
l2 x
( xu - x1 - x2 ) .
lx
l2 x
l1x
= x1 +
( xu - x1 - x2 ) + x2 + l ( xu - x1 - x2 ) =
lx
x
= x1 + x2 + ( xu - x1 - x2 ) = xu ,
С другой стороны
xu - x1 - x2 = lx
l
lix
( i)
ix
x - xi = xi + ( xu - x1 - x2 ) - xi =
× lx = lix £ ai , i = 1, 2,
lx
lx
Таким образом,
( 1)
( 2)
xu = x + x ,
( 1)
x - x1 £ a1 ,
x
( 2)
- x2 £ a2
( 2) .

12.

Если
0 = lx = xu - ( x1 + x2 ) ,
xu = x ( 1) + x ( 2) ,
}= x1
x ( 1) - x1 £ a1 ,
то
}= x2
x ( 2 ) - x2 £ a2
xu = x1 + x2
( 2)
и равенство (2)
снова имеет место.
Аналогично, устанавливаем, что
1
y ( ) - y1 £b1
Из (2) и (3) следует
1
P( ) ( x1 , y1 , a1 ,b1 )
æ xu ö
ç ÷=
è yu ø
}
æ x ( 1) ö
ç ( 1) ÷ +
çy ÷
è
ø
}
( 1)
yu = y
2
y ( ) - y2 £b2
}
( 2)
+ y
( 3) .
2
P( ) ( x2 , y2 , a2 ,b2 )
}
æ x( 2) ö
ç ( 2) ÷
çy ÷
è
ø
Î P ( 1) ( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) .
Вложение P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) P
( 1)
( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) .
доказано, а значит и равенство
P ( 1) ( x1 , y1 , a1 , b1 ) + P ( 2) ( x2 , y2 , a2 , b2 ) = P ( x1 + x2 , y1 + y2 , a1 + a2 , b1 + b2 ) .

13.

Определение 16.
Множество
{
U
U
}
U = v Î R n $u Î U : v - u < , .
называется открытой
Множество
{
U = vÎR
называется замкнутой
Упражнение 2.
где
- окрестностью множества
{
n
v - u £ , u ÎU
U.
}
U
U
- окрестностью множества U .
Доказать равенство
U = U + O ( 0, ) ,
}
U = v Î R n $u Î U : v - u < , .
Решение.
Пусть
v Î U Þ $u Î U : v - u < .
w = v - u < Þ w Î O ( 0, )
Полагаем
ÎO ( 0, )
w = v-u Þ
ÎU
v = w + u Î O ( 0, ) + U Þ
U U + O ( 0, ) .

14.

ÎU
Обратно, пусть
ÎO ( 0, )
v Î U + O ( 0, ) Þ v = u + w Þ
Þ w = v -u Þ v -u = w < Þ
$ u Î U : v = u + w, w £ Þ U + O ( 0, ) U .
Упражнение 3. Пусть
ìïæ x ö
üï
2
K ( O, a ) = íç ÷ Î R x £ a, y £ a ý ,
îïè y ø
þï
ìïæ x ö
üï
2 æ xö
O ( O, r ) = íç ÷ Î R ç ÷ £ r ý
è yø
ïîè y ø
ïþ
Решение.
O ( O, r ) .
O ( O, r ) .
K ( O, a )
Построить множество
K ( O, a ) + O ( O , r ) .
O ( O, r ) .
O ( O, r ) .