Тригонометрические уравнения 2

1.

Тригонометрические
уравнения 2
Иррациональные уравнения
Уравнения с модулем
Системы уравнений
Неравенства

2.

3.

Начнем с… систем (nm)
x k
y n

4.

Ясно видно
sin( x) cos(y) 1
cos(2 x) cos(2 y) 1
sin( x) cos(y) 1
2
2
1
2sin
(
x
)
2
cos
(y) 1 1
sin( x) cos(y) 1
2
2
2sin
(
x
)
2
cos
(y) 1
sin( x) a, cos( y ) b
a b 1
2a 2b 1
sin( x) cos(y) cos(2 x) cos(2 y) 2sin(x y) *sin(y x)
cos( x) *cos( y ) 3 / 4
sin( x) *sin( y ) 1/ 4
cos( x) *cos( y ) sin( x) *sin( y) 1
cos( x) *cos( y ) sin( x) *sin( y) 1/ 2
cos( x y ) 1
cos( x y ) 1/ 2
x y 2 n
x
y
2 k
3
x
(n k)
6
y (n k)
6
x
p
6
y q
6

5.

Сведение к тригонометрической единице
11
sin( y ) 5sin( x)
2
2
(5*sin(x))
(2
3cos(x))
2
25*(1 t 2 ) (2 3t ) 2 2
25 25 t 2 4 12t 9 t 2 2
16 t 2 12t 27 0

6.

Неравенства и круг

7.

2 cos( x ) 0
7 cos(4 x) (2 cos(x)) 4
2
2 cos( x ) 0
7 cos(4 x)
0
2
2 cos( x ) 0
7 cos(4 x) (2 cos(x)) 4
2
2 cos( x ) 0
7 (2 cos 2 (2 x) 1)
(2 cos(x)) 4
2
7 (2(2 cos 2 (x) 1) 2 1)
(2 cos(x)) 4
2
cos x t
7 (2(2t 2 1) 2 1)
(2t ) 4
2
7 (8 t 4 8t 2 1) 32 t 4
0 40 t 4 8t 2 6
1 t 1
2t 0
4
2
0 40 t 8t 6
2t 0

8.

Проверка почему? За что?
cos(x) чз tgx
3x
sin(arccos(8 x))
8x
1 64 x 2
8x
3x
sin() 1 cos 2 () ?
24 x
2 2
1 64 x 2
9(8 x 2 ) 2 8*8 x 2 1 0
9t 2 8t 1 0
t 1 не подходит
1
t
9
1
8 x2
9
1
x 6 2
1
x 6 2

9.

На счет ОДЗ…
x a 0
arccos(x 3) 0
x a
x 2
1сл
a 2, одно решение
2сл
a 2
4 a 2
2 корня
x 2
x a
a неуд ОДЗ
x 2 корень
ОДЗ
1 x 3 1
4 x 2

10.

КВ12
sin(x) cos(x) cos(2 x) *(1 2*sin(2 x))
sin(x) cos(x) (cos 2 x sin 2 x) *(1 4*sin(x) *cos(x))
(sin(x) cos(x)) *{(cos(x) sin(x)) *[1 4*sin(x) *cos(x)] 1} 0
sin(x) cos(x) 0
(cos(x) sin(x)) *(1 4*sin(x) *cos(x)) 1 0

11.

Формула универсальной подстановки
t tg (x/ 2)
1 t2
2t
cos(x)
,sin(x)
2
1 t
1 t2
1 t2
2t
1 t2
2t
1 2t t 2 (1 t 2 ) 8 t(1 t 2 ) (1 t 2 )3
(
) *(1 4*
*
) 1
*
2
2
2
2
2
2 2
2 3
1 t 1 t
1 t 1 t
1 t
(1 t )
(1 t )
2 t (1 + t) (5 + t (-12 + t (6 + t (4 + t)))
(1 t 2 )3
(вообщерешения можно заметить выше, остаток показать, что решений не имеет)