Решение уравнения cosx = a. Понятие арккосинуса числа

1.

Решение уравнения cosx = a.
Понятие арккосинуса числа.
Преподаватель математики С-Пб СВУ
Лошак В.С.

2.

Уравнение cosx=a
y 1
cos x a; a 1.
x 2 k ;
0
а
1
x
x 2 k ;
k Z.
arccosa

3. АРККОСИНУС ЧИСЛА

Определение. Арккосинусом числа
называется такое число
a 1;1
0; , косинус которого
равен
а
.
cos arccosa a,
0 arccosa ,
1 a 1

4. АРККОСИНУС ЧИСЛА

• Например
2
arccos
;
2
4
arccos0
2
3
arccos
;
6
2
т.к.
т.к.
т.к.
2
0 ; cos
.
4
4
2
0
2
; cos
2
0.
3
0 ; cos
.
6
6
2

5. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

arccos a arccosa
arccosa
-а
y 1
0
arccosa
а
1
x

6. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
1
2 arccos
2
2
2
1
3 arccos
2( arccos ) 3 2 ( )
2
2
4
3
7
3 4
12
4
3
1
3
1
2. arccos
2 arccos( 1) arccos0
2
2
3
1 5
17
1
3
1
2
( arccos ) 2
2
2
3 2 2 6
6
12
1. 3 arccos

7. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

sin 1 cos
2
arccos а
arccosa 0;
sin arccos a 1 cos arccos a 1 a
2
sin(arccos a )
1 a
tg (arccos a )
cos(arccos a )
a
2
2

8.

АРККОСИНУС ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
cos arccosa a, arccosa 0; , a 1;1
arccos a arccosa
arccos cos , 0;
2
sin arccosa 1 a
1 a
tg(arccos a)
a
2

9. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
1. cos arccos
2
cos(arccos a) = a
5 5
2. cos arccos
9 9
2
2
3
sin
3. sin arccos
2
6
4.
3
sin arccos
7
40
49
2 10
7
1
2
2
3
1
7
9
1
49
sin arccosa 1 a 2

10. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
21
5. ctg 7 arccos(
) ctg (7 ( )) ctg
2
4
4
1
ctg 5 ctg 1
4
4
1
sin arccos
1
4
6. tg arccos
4 cos arccos 1
4
1
1
4
1
16
15
4
16
15

11. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

arccos cos , 0;
• Например
7.
8.
2 2
arccos cos
5
5
8
3
arccos cos arccos cos
5
5
3
3
3
arccos cos arccos cos
5
5
5
2
5

12. Уравнение cosx=a

y1
cos x a, a 1
arccosa
x arccosa 2 n, n Z
1
0
a
x
arccosa
cos x 0
x k , k Z
2
cos x 1
cos x 1
x 2 k , k Z
x 2 k , k Z

13. Уравнение cosx=a

• Пример 1.
1
cos3x ;
2
1
3x arccos 2 k ;
2
3x
3
2 k ;
2 k
x
, k Z.
9
3

14. Уравнение cosx=a

Пример 2.
x
3
сos ;
4
2
x
3
2 k ;
arccos
4
2
x
3
arccos 2 k ;
4
2
x
2 k ;
4
6
x
5
2 k ;
4
6
10
x 8 k , k Z .
3

15. Уравнение cosx=a

• Пример 3.
1
cos x
4
2
1
x arccos
2 k ;
4
2
1
x arccos 2 k ;
4
2
x 2 k ;
4 4
x 2 k
3
x 2 k ;
, k Z.
x 2 k
4
4
2

16. Уравнение cosx=a

• Пример 4.
3sin 2 x 3 2 cos x 1 0
3sin 2x 3 0;
sin 2 x 1;
2x
x
2
4
2 k ;
k , k Z .
2
2 cos x 1 0;
1
cos x ;
2
1
x arccos 2 n;
2
x 2 n;
3
2
x 2 n, n Z .
3

17. Уравнение cosx=a

• Пример 5.
cos5x cos7 x cos 6 x
cos5x cos7 x cos6 x
2 cos6 x cos x cos6 x 0
cos6 x 2 cos x 1 0
2 cos x 1 0
cos6 x 0
1
cos x
2

18. Уравнение cosx=a

• Пример 4.
cos5x cos7 x cos 6 x
cos6 x 0
6x
x
12
2
k
k
6
, k Z.
2
1
cos x
2
1
x arccos 2 n
2
2
x 2 n, n Z .
3