Тригонометрия. Примеры на применение формул

1. Итоговое повторение по курсу «Алгебра и начала анализа» 10 класс

Учитель математики
ГБОУ СОШ №1179
Саркисян И.С.

2. Основные тригонометрические формулы

sin 2 cos 2 1
sin 2 1 cos 2
cos 2 1 sin 2
tg ctg 1
tg
1
ctg
1
ctg
tg
sin
cos
1 ctg 2
1
sin 2
cos
ctg
sin
1 tg 2
1
cos 2
tg

3. Упростите выражения

а)
sin 2
cos 1
б)
cos 2
sin 1
2
2
2
в)1 sin ctg sin
1 cos
1 sin
2 cos 2
1 sin 2
tg ctg
г)
2
1 cos
1
sin 2
д)(1 cos 2 )tg 2 1 tg 2
cos 2

4. Вычислите

sin
а)
4
cos tg
3
2 sin sin
6
2
б) cos
6
cos
4
cos
3
2
4
4
cos
2
3
в)sin( ) cos( ) sin(
)
2
2
0
1

5. Формулы сложения

cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg
ctg ctg
ctg ( )
1 ctg ctg
tg tg
tg ( )
1 tg tg
ctg ctg
ctg ( )
1 ctg ctg

6. Вычислите

sin 105
а)
б) cos105
3tg87 3tg 42
в)
1 tg87 tg 42
1
а) sin(
) sin
3
2
б)
sin( ) sin( ) cos( )
6 2
4
2 6
4
3
3
cos
2
cos sin

7. Формулы приведения

8. Упростите выражение

а)
tg ( )tg (
3
) sin( ) cos( )
2
2
б) ctg ( )ctg (
3
) tg (2 )ctg ( )
2
2
3
cos ( )
2
cos
( )
2
в)
2
tg ( 2 ) tg 2 ( 3 )
2
cos 2
1
cos 2
2
5
3 5
4
sin
tg
cos
г) ctg
3
4
6
3
д)
tg 225 cos 330 ctg120 sin 240
1
2
12
0,25

9. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

sin sin 2 sin
sin sin 2 sin
2
cos
cos cos 2 cos
cos cos 2 sin
2
cos
2
2
2
cos
sin
2
2
2

10.

sin( )
tg tg
cos cos
sin( )
tg tg
cos cos
sin( )
ctg ctg
sin sin
sin( )
ctg ctg
sin sin
cos( )
tg ctg
cos sin
cos( )
tg ctg
cos sin

11. Упростите выражение

sin 2 sin 6
cos 2 cos 6
cos 2 cos 4
б)
cos 2 cos 4
а)
tg 4
tg3 tg
2 sin 40 cos 70
в)
cos 20
3
3 cos 5
г)
sin 35 cos 65
3
sin sin 3 sin 5 sin 7
д)
cos cos 3 cos 5 cos 7
tg 4
sin sin 2 sin 3
е)
cos cos 2 cos 3
tg 2

12. Формулы Преобразования произведения в сумму тригонометрических функций.

1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2

13. Упростите выражение

а)
2 sin sin 2 cos 3
б) sin 2 sin 15 cos 15
2
2
в)2 2 sin 83 sin 38
1
sin 31
2
1
6
2
sin
28
sin
17
sin
79
г)
2
д) 2 sin
sin cos 2
е) cos cos
4
4
cos
1
2
1
3
cos 2
1
cos 2
2

14. Формулы двойного угла

sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1
2
2tg
tg 2
2
1 tg
2
2
2
ctg 1
ctg 2
2ctg
2

15. Формулы тройного угла

sin 3 3 sin 4 sin 3
cos 3 4 cos3 3 cos
3tg tg 3
tg3
2
1 3tg
ctg 3 3ctg
ctg3
2
3ctg 1

16. Формулы половинного угла

1 cos
sin
2
2
1 cos
cos
2
2
1 cos
sin
1 cos
tg
2
1 cos 1 cos
sin
1 cos
sin
1 cos
ctg
2
1 cos 1 cos
sin

17. Формулы понижения степени

1 cos 2
cos
2
2
1 cos 2
sin
2
2

18. Упростите выражение

а)
1 cos 4
ctg 2 2 3
1 cos 4
3
б)
1 cos 8
tg 2 4 2
1 cos 8
2
в)
1 cos 2 sin 2
tg
1 cos 2 sin 2 2
1
2
г)
tg ctg
д)
ctg tg sin 2
sin 2 2 sin
е)
cos 1
sin 2
2 cos 2
2 sin

19. Вычислите

а)
cos
2
sin
2
2
2
8
8
cos
б) 2 sin
12
12
1
2
5
4 5
в) cos
sin
12
12
4
г) cos
д)
12
sin
sin
cos
12
12
12
3
2 cos 2 45 sin 2
3
3
2
3 3
8
1

20. Упростите выражение

1 cos 2
sin 2
1 cos 2
б)
1 cos 2
tg
а)
в) ctg
г)
ctg 2
1 cos 2
sin 2
sin cos cos
2(1 cos )
4
4
2
1 cos 2
д)
tg
cos 2
1 cos
2
2
cos
2
sin 2

21. простейшие тригонометрические уравнения.

sin x a
x arcsin a 2 n, п Z
x arcsin a 2 n, n Z .
Частные
sin x 0
x n, n Z
случаи:
sin x 1
x
2
2 n, n Z
sin x 1
x
2
2 n, n Z

22. Решите уравнение

а) sin x
1
2
x
2 n, n
6
x 7 2 n, n
6
2
б) sin x
2
x
2 n, n
4
x 3 2 n, n
4
в)
sin x 3
г)
sin x 1
нет решения
x
2
2 n, n

23. простейшие тригонометрические уравнения.

cos x a
x arccos a 2 n, n Z
Частные
cos x 0
x
2
n, n Z
случаи:
cos x 1
cos x 1
x 2 n, n Z
x 2 n, n Z

24. Решите уравнение

2
а) cos x
2
1
б) cos x
2
x 0
в) cos
г)
cos x 2
x
4
2 n, n
2
x
2 n, n
3
x
2
n, n
нет решения

25. простейшие тригонометрические уравнения.

tgx a
x arctga n, n Z
Частные
tgx 1
tgx 0
x n, n Z
случаи:
x
4
n, n Z
tgx 1
x
4
n, n Z

26. Решите уравнение

а)
tgx 3
x
3
n, n
3
б)tgx
3
x
1
в) tg 4 x
3
x
x
г) tg 1
4 2
x 2 n, n
6
n, n
24
n
4
,n

27. простейшие тригонометрические уравнения.

ctgx a
x arcctga n, n Z
Частные
ctgx 0
x
2
n, n Z
случаи:
ctgx 1
x
4
n, n Z
ctgx 1
3
x
n, n Z
4

28. Решите уравнение

а)
ctgx 3
3
б) ctgx
3
x
в) ctg 1
2
г) ctg3 x
0
x
6
n, n
3
x
n, n
4
x
x
3
2 n, n
2
6
n
3
,n

29. Тригонометрические уравнения

Решите
уравнения преобразовав их к
квадратным
а)
3 cos x 10 cos x 3 0
2
б) 2 cos
в) 5 sin
2
2
x 2 sin x
x 4 sin x 4
2
г) tgx 3ctgx 4
д) ctg
2
x
3 1 ctgx 3 0
1
x arccos 2 n, n
3
x
2
2 n, n
x 2 n, n
x arccos 1 2 n, n
5
x
n, n
4
x arctg 3 n, n
x
n, n
4
x n, n
6

30.

Решите
уравнения методом
разложения на множители
а) 3 cos x sin 2 x cos x
б)sin 2x 2 sin x
в) cos 7 x cos x 0
г) sin
д)
2
x sin 2 x 1
cos 3x 1 cos 6x
x
2
n, n
x n, n
x 2 n, n
4
n
x
,n
8 4
x n , n
6 3
x
n, n
2
x arctg 1 n, n
2
n
x
,n
6 3
x 2 n , n
9
3

31.

Решите
уравнения, преобразовав их к
однородным
а) sin
x 3 cos x 0
x
б)3 sin x 4 sin x 0
2
x arctg
в) 6 sin x cos x 5 cos 2x
x
г) sin
2
x 14 sin x cos x 15 cos x
2
2
д)7 sin x 4 sin 2 x 7 cos x
2
3
n, n
4
n, n
3
1
5 n
arctg , n
2
3 2
x
n, n
4
x arctg15 n, n
x
1
7 n
arctg , n
2
4 2

32. Подготовка к егэ

Задание:
а)Решить уравнение
б)Указать корни уравнения,
удовлетворяющие условию.
x
x
x
x
;
1.а) 3 sin cos cos sin sin 2 x , б)
2
2
2
2
2
x
2.а) 4 cos
1 sin x sin 2 x,
2
3
,
2
3.а) 3 sin x cos
x
2
2
13
12 0 ,
4.а) 6tg x
cos x
2
5.а)
3
cos
2 x cos x 0,
2
б)
3
2 ; 2
;
2
б) 2
б)
3 7
2 ; 2
б)
2
;
2

33.

6.а)
3sin 2x 13sin x 9 0 ,
б)
5
2 ; 2
cos
x
2
sin
2
x
1
4
cos
x
7.а)
,
2
б)
5
2 ; 2
8.а) 6 cos 2 x 13 sin
б)
5 9
2 ; 2
9.а) 6 sin
x 2 0,
x cos 2x 4 8sin x 3cos 2x , б) 2 ;0
3
x 0 ,
10.а) 2 cos x 1 sin
2
б) 2 ;5

34. Литература

1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://images.yandex.ru
С.М.Саакян А.М.Гольдман Д.В.Денисов Задачи по
алгебре и началам анализа для 10-11 классов.
А.Г.Мордкович Е.Е.Тульчинская
Тригонометрия.
А.Н.Рурукин Алгебра и начала
анализа.
Контрольно-измерительные
материалы
А.П.Ершова В.В.Голобородько
Разноуровневый дидактический
материал.
http://www.alexlarin.net/