Застосування явної різницевоі схеми до розв'язку крайовоі задачі для рівняння переносу задач механіки суцільного середовища

1.

ТЕМА ДИПЛОМНОЇ
РАБОТИ:
ЗАСТОСУВАННЯ ЯВНОЇ РІЗНИЦЕВОІ
СХЕМИ ДО РОЗВ'ЯЗКУ КРАЙОВОІ
ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ
ЗАДАЧ МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНОГО
СЕРЕДОВИЩА
ВИКОН
АВ :
МИКИТА
ПЕТРЕНКО

2.

НЕЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ В
ОБЛАСТЯХ ЗІ СКЛАДНОЮ
НАЙПОШИРЕНІ
ФОРМОЮ
РІДКО ВДАЄТЬСЯ
ШИМ
РОЗВ’ЯЗУВАТИ
АНАЛІТИЧНИМИ
МЕТОДОМ
МЕТОДАМИ
ВИРІШЕННЯ ЦИХ
ЗАВДАНЬ Є
ЧИСЕЛЬНІ
МЕТОДИ.

3.

ТРИКУТНА СІТКА
СІТКА З ТРИГРАННИМИ
ПРИЗМАМИ
СІТКА З ПРЯМОКУТНИМИ
ПАРАЛЕЛЕПІПЕДАМИ
ПРЯМОКУТНА СІТКА
ЯКІ ІСНУЮТЬ
СІТКИ ?

4.

ЯВНІ ТА НЕЯВНІ
СХЕМИ
ШАБЛОН
ЯВНОЇ
СХЕМИ
ШАБЛОН
НЕЯВНОЇ
СХЕМИ

5.

ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧІ
u
1
x t
u
t x x t x , x 1,0 , t 0,1 ,
e
e
u( x,0) 0, 1 x 0,
u( 0, t ) t , 0 t 1.
ЕТАПИ РОЗВ'ЯЗКУ:
1) РОЗГЛЯНУТИ ЯВНУ ДВОШАРОВУ РІЗНИЦЕВУ СХЕМУ ДЛЯ
ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ, ДОСЛІДЖУВАТИ ЇЇ
ВЛАСТИВОСТІ (ПОРЯДОК АПРОКСИМАЦІЇ, СТІЙКІСТЬ);
2) ЗАСТОСУВАТИ РОЗГЛЯНУТУ ЯВНУ СХЕМУ ДЛЯ
ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
3) ОТРИМАНИЙ ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ПОРІВНЯТИ З
ТОЧНИМ, ВИЗНАЧИТИ ПОХИБКУ.

6.

ТОЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ ІЗ
ЗАСТОСУВАННЯМ СИСТЕМИ
АВТОМАТИЗОВАНИХ МАТЕМАТИЧНИХ
РОЗРАХУНКІВ MAPLE
u( x, t )
ПОЧАТКО
ВА
УМОВА
ГРАНИЧН
А УМОВА
x
e
x t
( x t ) * F( x, t )
u x,0 = 0
u 0, t = t
РОЗВ'ЯЗОК ВІД СИСТЕМИ MAPLE
ВИД НЕВІДОМОЇ
ФУНКЦІЇ
F( x , t )
1
ex

7.

ТОЧНИЙ АНАЛІТИЧНИЙ
РОЗВ'ЯЗОК ПОСТАВЛЕНОЇ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
u( x, t )
x
ex t
ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ
ОТРИМАНОГО ТОЧНОГО
РОЗВ'ЯЗКУ
(x t )
ex

8.

ТОЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ ІЗ
ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДУ
ХАРАКТЕРИСТИК
dt dx
U
C
C
e
,
C
e
U C C, C 0,
U
0 0 , C 0,
РІВНЯННЯ
ХАРАКТЕРИСТИК
ЗАВДАННЯ В
НОВИХ
ЗМІННИХ
C
C
U ( , C ) e C C d A ( C ) C C A ( C )
e
e
e
РОЗВ'ЯЗ
ОК
РІВНЯНН
Я

9.

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧІ
МЕТОДОМ
ХАРАКТЕРИСТИК
x t x t
t
e x t e x e x t , t x,
u( x , t )
t
x t
x t
2( x t ) x t , t x.
e x t e x
e

10.

НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧІ ІЗ
ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДУ
СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ
ШАБЛОН ЯВНОЇ ДВУШАРОВОЇ
РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ РАХУНКУ ,
ЩО БІЖИТЬ
y nj 1 y nj y nj 1 y nj
xn t j
1
x t x , n 1, 2, 3,... N 1, j 1,... J ,
h
en
en j
0
y n 0, n 1,..., N,
j
y 0 t j , j 0, 1, .... J .
КРАЙОВА ЗАДАЧА У
РІЗНИЦЕВОМУ ВИГЛЯДІ

11.

ВИЗНАЧЕННЯ ПОРЯДКУ
АПРОКСИМАЦІЇ
xn t j
u u 1 x t u nj 1 u nj u nj 1 u nj
1
n x t x
x t x
h
e n
e n
t x e
en j
ВИРАЗ ДЛЯ
НЕВ’ЯЗКИ
h h
n u t u x n u t u tt u x u xx ... u xx u tt O( h)
2
2 2 2

12.

ДОСЛІДЖЕННЯ
СТІЙКОСТІ
m iqxn
ym
n
qe
1 iqxn
m iqxn
m
e
q
qe
1
m 1 iqxn
ym
n
q e
iq( xn h )
m iqxn
m
e
q
qe
h
q 1
ОЗНАКА СТІЙКОСТІ ЗА
ПОЧАТКОВИМИ ДАНИМИ
0
m iq( xn h )
ym
n 1
qe
q 1
e iqh 1
0
h
q 1 1 e iqh
h

13.

ПОБУДОВА АЛГОРИТМУ ЧИСЕЛЬНОГО
РОЗВ'ЯЗКУ ВИХІДНОЇ ЗАДАЧІ
ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ЯВНОЇ
СКІНЧЕННО-РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ
( x n t j )
j 1
j
j
j
, n 1, 2, 3,... N 1, j 1,... J ,
y n y n y n 1 y n xn t j
xn
h
e
e
0
y n 0, n 1,..., N,
j
y 0 t j , j 0, 1, .... J .
ЗАДАЧА У
РІЗНЕЦЕВОМУ
ВІГЛЯДІ

14.

= -1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
,05265
,08616
,10366
,10783
,10102
,08522
,06217
,03334
(ГУ)
=1
,92460
,9
,76024
,84127
,9
,93991
,96402
,97491
,97485
,96578
,94935
,92702
,9
,8
,60799
,69246
,75535
,8
,82929
,84570
,85137
,84815
,83763
,82119
,8
,7
,46908
,55455
,61951
,66709
,7
,72058
,73085
,73253
,72712
,71591
,7
,6
,34483
,42863
,49336
,54188
,57671
,6
,61361
,61914
,61796
,61123
,6
,5
,23670
,31587
,37783
,42514
,46002
,48441
,5
,50821
,51027
,50723
,5
,4
,14629
,21758
,27398
,31767
,35056
,37432
,39038
,4
,40423
,40397
,4
,3
,07538
,13520
,18295
,22038
,24904
,27024
,28515
,29478
,3
,30153
,3
,2
,02591
,07029
,106
,13427
,15620
,17274
,18472
,19285
,19776
,2
,2
0
,02459
,04451
,06041
,07288
,08243
,08950
,09449
,09771
,09946
,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,1
(НУ)
0
ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ВИХІДНОЇ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ

15.

ПОРІВНЯННЯ РОЗВ’ЯЗІВ
ДВОХ МЕТОДІВ ТА
ОЦІНКА ПОХИБКИ
u(x,t)
0,25
1,15
0,2
1,1
0,15
1,05
FiniteDiff
0,1
FiniteDiff
1
Analite
0,05
u(x,t)
Analite
0,95
0,9
0
-1
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
x
ПОРІВНЯННЯ РОЗВ'ЯЗКІВ
СКІНЧЕННО-РІЗНИЦЕВОГО
І АНАЛІТИЧНОГО МЕТОДІВ ПРИ
t = 0.2
-1
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
x
ПРИ
t=1
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0

16.

ВИСНО
1) ОТРИМАН АНАЛІТИЧНИЙ
РОЗВ'ЯЗОКВКИ
ВИХІДНОЇ КРАЙОВОЇ
ЗАДАЧІ З ВИКОРИСТАННЯМ
MAPLE
2) МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
РОЗВ’ЯЗАНО КРАЙОВУ ЗАДАЧУ
ДЛЯ ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ
ПЕРЕНОСУ
3) РОЗВ’ЯЗАНО ВИХІДНУ КРАЙОВУ
ЗАДАЧУ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ
РІЗНИЦЬ З ЗАСТОСУ-ВАННЯМ
ЯВНОЇ СХЕМИ РАХУНКУ , ЩО
БІЖИТЬ
4) ПРОВЕДЕНО ПОРІВНЯННЯ
РОЗВ'ЯЗКІВ ВІД ТРЬОХ МЕТОДІВ