Скалярное произведение векторов

1.

Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное сумме
произведений соответствующих
компонент этих векторов:
X ( x1 ,...xn )
Y ( y1 ,... yn )
n
X , Y x1 y1 x2 y2 ... xn yn xi yi
i 1

2.

Экономический смысл:
Если X ( x1 ,...xn )
есть вектор объемов различных товаров,
Y ( y1 ,... yn )
есть вектор цен этих товаров,
то их
скалярное произведение
X ,Y
есть суммарная стоимость этих товаров.

3.

1
( X , Y ) (Y , X )
2
( X ,Y Z ) ( X ,Y ) ( X , Z )

4.

3
( X , Y ) ( X , Y )
4
(X , X ) 0
(равенство нулю для нулевого вектора)

5.

Два вектора будут ортогональными,
если их скалярное произведение
равно нулю.
n
X , Y xi yi 0
i 1

6.

Длина или норма n-мерного вектора
определяется по формуле:
X
2
2
2
X , X x1 x2 ... xn
n
x
i 1
2
i

7.

Угол между двумя векторами определяется
по формуле:
( X ,Y )
cos X ; Y
X Y

8.

cos X ; Y 1
Это неравенство выполняется благодаря
неравенству Коши-Буняковского:
2
X , Y ( X , X ) (Y , Y )
которое справедливо
векторов.
для
любых
двух