Теория кривых. Кривизна плоской кривой

1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Кривизна плоской кривой

2. Кривизна плоской кривой

Воспользуемся формулой (26) для вычисления кривизны кривой:
| [ r ; r ] |
k
| r |3
1) Кривая задана параметрически:
x x(t )
y y (t )
r {x , y ,0}
r { x , y ,0}
[r ; r ] {0,0, x y x y }
| [r ; r ] | | x y x y |
Подставим в (26) найденные нами значения:
(26)

3. Кривизна плоской кривой

k
| x y x y |
3
(39)
x y
(39) – формула для вычисления кривизны плоской кривой, если она
задана параметрически.
2
2) Кривая задана в виде графика:
y f (x)
Тогда параметризуем так:
x t
y f (t )
x 1
y f
x 0
y f
2

4. Кривизна плоской кривой

Подставим в (39) найденные нами значения:
k
| f |
1 f 2
3
(40)
(40) – формула для вычисления кривизны плоской кривой, если она
задана в виде графика.
3) Кривая задана в неявном виде:
F ( x, y ) 0
F ( x(t )t , y (t )) 0
Fx x Fy y 0
F
y x x
Fy

5. Кривизна плоской кривой

Fxx x 2 2 Fxy x y Fyy y 2 Fx x Fy y 0
y
Fxx x 2 2Fxy x y Fyy y 2 Fx x
Fy
Подставим y , y в (39):
x
k
Fxx x 2 2 Fxy x y Fyy y 2 Fx x
Fy
F
x 2 x
Fy
x
2
3
F
x ( x x )
Fy
Fxx x 3 2 Fxy x 2 y Fyy y 2 x
Fy
x F 2 F 2
y
x
Fy
3

6. Кривизна плоской кривой

k
Fxx Fy2 2 Fxy Fx Fy Fyy Fx
Fy2 Fx2
2
(41)
3
(41) – формула вычисления кривизны плоской кривой, если она
задана параметрически.
выход

7.

| [r ; r ] |
k
3
|r |
(26)

8.

k
| x y x y |
x 2 y 2
3
(39)
(39) – формула для вычисления кривизны
плоской кривой, если она
задана параметрически.