Определенный интеграл. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Длина дуги кривой в полярных координатах. (Семинар 19)

1. Приложения определенного интеграла. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Длина дуги кривой в полярных координатах.

Семинар 19

2.

Длина дуги кривой для функции, заданной в прямоугольных декартовых
координатах вычисляется по формуле:
Поэтому
или
, где y’=f’(x)
Дифференциал дуги в прямоугольных координатах
- дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как
, то
. Это теорема Пифагора для бесконечно малого
треугольника.
Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями
Пусть L – длина дуги кривой
,
,
- непрерывно
дифференцируемые функции на заданном отрезке.
Формула для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt;
dy=y’dt. Имеем
Интегрируя последнее выражение в пределах от до t=T получим длину
дуги

3.

Длина дуги в полярных координатах
Выведем сначала формулу для дифференциала dL дуги в полярных
координатах на основании формулы
, где x,y – прямоугольные
декартовы координаты точки дуги.
Формулы перехода:
x cos , y sin dx cos d sin d , dy sin d cos d
(dx) 2 cos 2 (d ) 2 2 cos sin d d 2 sin 2 (d ) 2
(dy) 2 sin 2 (d ) 2 2 cos sin d d 2 cos 2 (d ) 2
Отсюда
, следовательно,
или
(1),
где
Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой
между точками
и
, где
- полярные координаты.
Решение.
Интегрируя равенство (1) в пределах от
до
получаем длину дуги в
полярных координатах
, где
и
- производная

4.

Примеры с решениями.
1.Вычислить длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму
которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках. Уравнение
линии
(1), где а – параметр цепной линии, а>0. Или проще
(1’) – гиперболический косинус.
Решение.
b – абсцисса точки В; h – ордината точки В.
Дифференцируя уравнение (1’) получаем
. Далее
. Тогда
. Далее, имеем
2. Найти длину дуги окружности, заданной параметрическими уравнениями
от t=0 до t=T
Решение
Здесь dx=-asintdt; dy=acostdt. Поэтому
и, следовательно
3. Найти длину дуги астроиды
Решение.
Запишем уравнение астроиды в следующем виде
. Замена
. Получаем параметрические уравнения астроиды
(1).

5.

Кривая (1) симметрична, поэтому находим
при изменении t от 0 до .
Получаем
.
Отсюда
.
Интегрирую в пределах от t=0 до
получим
4. Вычислить полную длину дуги кардиоиды
Решение
Имеем
, тогда
, отсюда
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить длины дуг кривых:
6. Найти длину дуги:
7. Найти длину дуги:
8. Найти длину дуги: