Потенциальная яма в импульсном представлении

1. 1.5. Потенциальная яма в импульсном представлении

Импульсное представление.
Распределение по импульсам.
Возврат в координатное представление

2. Импульсное представление

Спектр квантовой задачи является инвариантом, не зависящим от выбора
базиса
Импульсное представление – фурье-преобразование координатного
пространства
Базис в импульсном представлении
L – ширина ямы или ширина области, в которой локализован потенциал
или волновые функции частицы
Формально базис при построении гамильтоновой матрицы можно
представить в виде
Единица означает, что соответствующая базисная функция описывает
состояние частицы
с импульсом k

3. Точное решение задачи

Известно аналитическое решение этой задачи:
0
-2
-4
U(x)
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4

4. Решение в координатном представлении

Решение задачи в координатном представлении (случай конечной ямы):
1.2
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
| (x)| 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4

5. Решение в импульсном представлении

Для решения задачи в импульсном представлении следует записать
гамильтониан в терминах импульсного базиса
Кинетическая энергия диагональна в импульсном представлении:
Слагаемое, отвечающее потенциальной энергии частицы, недиагонально:
Результат расчета практически не изменится, если последнее выражение
рассчитать аналитически:

6. Решение в импульсном представлении

Гамильтонова матрица в импульсном представлении:
Матрица является плотной
Результатом диагонализации будут собственные значения, являющиеся
спектром системы, и собственные функции, отвечающие этим
собственным значениям, которые теперь будут зависеть не от координаты,
а от импульса частицы
Значения импульса меняются от – π/h до π/h с шагом π/a

7. Распределение по импульсам

Спектр системы не зависит от представления, в котором построена гамильтонова матрица. Решение задачи в импульсном
представлении:
Собственные функции зависят от представления, в котором построена гамильтонова матрица. После диагонализации матрицы будут
получены собственные функции в импульсном представлении.

8. Распределение по импульсам

n=1
n=2
n=3
n=4
0.25
| (p)| 2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
p
2
4
6

9. Возврат в координатное представление

Чтобы получить из собственных функций в импульсном представлении
собственные функции в координатном представлении, необходимо
выполнить обратное фурье-преобразование:
Для четных собственных функций:
Для нечетных собственных функций:

10. Возврат в координатное представление

1.2
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
| (x)|2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4