(5.4) 6_Pulse_presentation_Operators (2)

1.

Операторы в импульсном представлении
Преобразование ядра оператора от координатного представления к импульсному
Пусть известен вид оператора fˆ в координатном представлении
fˆ x dx F x, x ( x )
Разложим волновую функцию x по собственным функциям оператора импульса
x dp a p p ( x)
a p - волновая функция того же состояния частицы в импульсном представлении
Действие оператора fˆ в импульсном представлении можно записать в виде
fˆ a p dp F p, p a p
Надо найти связь
F x, x and F p, p ?

2.

Введём обозначение
x fˆ x dp bp p ( x)
Тогда можем написать
dp b ( x) dx F x, x dp a ( x )
p
p
p
p
Сделаем следующую операцию
*
*
dx
(
x
)
dp
b
(
x
)
dx
p
p
p
p ( x ) dx F x, x dp a p p ( x )
Используя условие ортогональности, преобразовать левую часть?

3.

Результат
*
dp bp p p bp dp dx dx p ( x)F x, x p ( x ) a p
Какая величина стоит в квадратных скобках в правой части?

4.

Ядро оператора в разных представлениях
*
F p, p dx dx p ( x) F x, x p ( x )
Найти ядра
Оператора чётности Iˆ x x
ˆ x c cx ,
Оператора изменения масштаба аргумента M
c
Оператора сдвига аргумента Tˆa x x a
Оператора импульса pˆ
d
i dx
Оператора координаты x̂ x
в импульсном представлении?
c c* 0

5.

Оператор чётности
Iˆ x x
Собственные функции оператора импульса
eipx /
p x
2
Вычислить
I p, p dx dx *p ( x) x x p ( x )
И найти
Iˆ a p ?

6.

Оператор чётности
I p, p
1
2
ipx /
ip x /
dx
dx
e
x
x
e
1
2
i ( p p ) x /
dx
e
Или
I p, p p p
Действие на волновую функцию в импульсном представлении
Iˆ a p dp I p, p a p dp p p a p a p

7.

Оператор изменения масштаба аргумента
Mˆ c x c cx
Вычислить
M c p, p c dx dx *p ( x) x cx p ( x )
И найти
Mˆ c a p ?

8.

Оператор изменения масштаба аргумента
M c p, p
c
2
ipx /
ip x /
dx
dx
e
x
cx
e
c
2
i ( p cp ) x /
dx
e
Или
M c p, p c p cp
Действие на волновую функцию в импульсном представлении
ap /c
ˆ
M c a p dp M c p, p a p c dp p cp a p
c

9.

Оператор сдвига аргумента
Tˆa x x a
Вычислить
Ta p, p dx dx *p ( x) x ( x a) p ( x )
И найти
Tˆa a p ?

10.

Оператор сдвига аргумента
Ta p, p
1
ipx /
ip x /
dx
dx
e
x
(
x
a
)
e
2
eip a /
i ( p p ) x /
dx
e
2
Или
Ta p, p eipa / p p
Действие на волновую функцию в импульсном представлении
Tˆa a p dp Ta p, p a p eipa /
ipa /
dp
p
p
a
e
ap
p

11.

Оператор импульса
pˆ x
d x
i
dx
Собственные функции оператора импульса
eipx /
p x
2
Вычислить
P p, p
d
*
dx
dx
(
x
)
x
x
p ( x )
p
i
dx
И найти
pˆ a p ?

12.

Оператор импульса
P p, p
ip x /
ipx / d
dx dx e
x x e
i 2
dx
1
Или
d
ipx /
ip x /
P p, p
dx
e
dx
x
x
e
2
i dx
1
P p, p p p p
Действие на волновую функцию в импульсном представлении
ˆ p dp P p, p a p dp p p p a p pa p
pa

13.

Оператор координаты
x̂ x x x
Собственные функции оператора импульса
eipx /
p x
2
Вычислить
X p, p
i
*
dx
dx
p ( x)
x x x p ( x )
И найти
xˆ a p ?

14.

Оператор координаты
X p, p
1
2
1
2
ip x /
ipx /
e
x
x
x
e
dx
dx
ip x /
ipx /
e
x
x
e
x
dx
dx
Или
d ipx /
ip x /
X p, p
i dx dx e
x
x
e
2
dp
1
X p, p i
d
p p
dp
Действие на волновую функцию в импульсном представлении
da p
d
ˆ p dp X p, p a p i
xa
dp p p a p i
dp
dp