Операторы в импульсном представлении. Сведения из теории операторов. Ядро оператора

1.

Операторы в импульсном представлении
Сведения из теории операторов. Ядро оператора
Определение
x fˆ x dx F x, x ( x )
F x, x - ядро оператора fˆ
Найти ядра
Оператора чётности Iˆ x x
ˆ x c cx ,
Оператора изменения масштаба аргумента M
c
Оператора сдвига аргумента Tˆa x x a
Оператора импульса pˆ
d
i dx
Оператора координаты x̂ x
c c* 0

2.

Оператор чётности
Iˆ x x dx x x ( x ) I x, x x x

3.

Оператор изменения масштаба аргумента
Mˆ c x c cx c dx x cx ( x ) M c x, x c x cx

4.

Оператор сдвига аргумента
Tˆa x x a dx x ( x a ) ( x ) Ta x, x x ( x a )

5.

Оператора импульса
pˆ x
d x
i
dx
d
d
dx x x ( x ) P x, x
x x
i
i dx
dx

6.

Оператора координаты
xˆ x x x dx x x x ( x )
X x, x x x x

7.

Сведения из теории операторов. Ядро произведения операторов
Пусть
ˆˆ
dˆ fg
Тогда
dˆ x dx D x, x ( x )
В то же время
dˆ x fˆ gˆ x fˆ x dx F x, x ( x )
x dx G x, x ( x )
Или
dˆ x dx F x, x dx G x , x ( x ) D x, x ?

8.

Ядро произведения операторов
D x, x dx F x, x G x , x
Задача. Какой вид имеет ядро оператора, если он коммутирует с операторами
а) координаты; б) импульса
a) Lˆ , xˆ 0; b) Lˆ , pˆ 0
в) с обоими операторами одновременно
Указание: воспользоваться правилом произведения ядер операторов.

9.

Пункт а)
Lˆ, xˆ x, x dx L x, x X x , x X x, x L x , x ?

10.

Пункт а) (продолжение)
Lˆ, xˆ x, x dx L x, x x x x x x x L x , x x x L x, x 0
Указание: воспользоваться результатами задачи о собственных функциях
оператора координаты.

11.

Пункт а) (ответ)
L x, x f x x x f x x x

12.

Пункт б)
Lˆ, pˆ x, x dx L x, x P x , x P x, x L x , x ?

13.

Пункт б) (продолжение)
d
d
Lˆ , pˆ x, x dx L x, x
x
x
x
x
L
x
,
x
dx
dx
Указание: проинтегрировать первое слагаемое справа по частям.

14.

Пункт б) (продолжение)
dL x, x
x
d
dx L x, x dx x x L x, x x x x dx dx x x
Или
dL x, x
d
dx
L
x
,
x
x
x
dx
dx
Таким образом
d
d
Lˆ , pˆ x, x
L x, x 0
dx dx
Как должны быть связаны аргументы?

15.

Пункт б) (ответ)
L x, x L x x
Пункт в)
Lˆ , xˆ Lˆ , pˆ 0
L x, x ?
Следствие коммутационных соотношений
L x, x f x x x L x x

16.

Пункт в) (ответ)
L x, x const x x
Как действует оператор на произвольную функцию
Lˆ x ?

17.

Действие оператора на произвольную функцию сводится к умножению на константу
L̂ x const x