Визначений інтеграл

1. Визначений інтеграл

План
1) Означення визначеного інтеграла та його
властивості
2) Метод заміни змінної та інтегрування частинами у
визначеному інтегралі
3) Невласні інтеграли
4) Геометричні застосування визначеного інтегралу

2.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a < b), і
якщо:
1) Розбити цей відрізок на n частинних відрізків довжиною
x1, x2, ..., xn;
2) Вибрати на кожному частинному відрізку по одній
довільній точці 1, 2, ..., n;
3) Обчислити значення функції f(x) у вибраних точках;
4) Скласти суму
n
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn f ( i ) xi ,
i 1
то вона називається інтегральною сумою f(x) на відрізку [a;b].

3. Означення

Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних
відрізків і по-різному вибирати на них по одній точці i, то
можна для будь-якої неперервної функції f(x) і будь-якого
заданого відрізка [a;b] скласти нескінченну множину
різних інтегральних сум.
При цьому виявляється, що всі ці інтегральні суми при
необмеженому зростанні n при прямуванні до нуля
найбільшої із довжин частинного відрізка, мають одну і ту
ж границю.
Ця границя всіх інтегральних сум функції f(x) на відрізку
[a;b] називається визначеним інтегралом від f(x) в
межах від a до b та позначається: b
f ( x)dx
a

4. Властивості визначеного інтеграла

1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу
b
a
змінюється на протилежний:
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
2) Інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю:
a
f ( x)dx 0
a
3) Відрізок інтегрування можна розбити на частини:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
4) Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі
інтегралів від кожного доданку:
b
b
b
( f ( x) f ( x) f ( x))dx f ( x)dx f
1
a
2
3
1
a
a
b
2
( x )dx f 3 ( x )dx
a

5.

5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла:
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
Для обчислення визначеного інтеграла використовується
формула Ньютона-Лейбніца:
b
b
(1)
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
a
a
тобто, визначений інтеграл дорівнює різниці значень
невизначеного інтеграла при верхній та нижній межах
інтегрування.

6.

Приклад 1.
7
1
2
dx
(3x 4)
1 3x 4 1 (3x 4) dx
1
3
2
2
2 8
2
5 2
3
3 3
3
7
Приклад 2.
7
1
2
2
3x 4
3
7
1
1
x
x2
sin
dx
2
cos
2
cos
2 cos 0
0 2
20
4
2
2
2
2 2 2
2

7.

2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.
b
Якщо визначений інтеграл f ( x)dx перетворюється за
a
допомогою підстановки:
x (t ) в інший інтеграл, з новою змінною t, то задані
межі: x1 a, x2 b змінюються новими межами:
t1 , t2 , які визначаються з вибраної
підстановки, тобто з рівнянь:
a ( ), b ( )
Якщо (t ), f ( (t )) неперервні на відрізку: ;
b
то:
(2)
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
a

8.

Приклад 3.
t ex 1
ln 2
e x e x 1dx
0
dt e x dx
a 0 e 1 0
0
b ln 2 eln 2 1 1
1
0
2
tdt t
3
3 1
2
0
2
3

9.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Якщо підінтегральний вираз у визначеному
інтегралі можна представити у вигляді добутку
двох співмножників: u, dv, то для обчислення
визначеного інтегралу треба скористатися
формулою інтегрування частинами:
b
b
udv u v vdu
b
a
a
a

10. Приклад 4.

u x
1
x
xe
dx
0
dv e x dx
du dx
xe
x 1
0
1
e x dx
0
v e x
1 1
2 e 2
e ( e ) 1 1
0
e e
e
e
1
x
1

11. 3. Невласні інтеграли.

а) Інтеграли з нескінченними межами.
Означення. Якщо існує скінченна границя:
b
lim f ( x)dx
то цю границю називають
невласним інтегралом від функції f ( x),
в інтервалі a, і позначають:
b a
a
f ( x)dx

12.

Тобто:
b
(3)
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
a
У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є
b
збіжним. Якщо
не має
f ( x)dx, b
a
скінченної границі, то кажуть, що
не існує, або він розбіжний.
Аналогічно визначаються:
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
a
f ( x )dx

13.

c
f ( x)dx
f ( x)dx
a
f ( x)dx
c
c
lim
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
b
a
c
Приклад. Обчислити інтеграл: dx 2
1 x
0
Розв’язок:
b
dx
dx
b
lim
lim
arctgx
0 1 x 2 b 0 1 x 2 b
0
lim (arctgb arctg 0)
b
2

14.

б) Інтеграли від розривних функцій.
Якщо функція y f ( x) визначена та неперервна у
відкритому інтервалі: a x b ,а у точці x=b
невизначена, або має розрив, тоді інтеграл визначають
наступним чином: b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
0
a
a
Якщо границя, що стоїть у правій частині рівності, існує, то
інтеграл називають невласний збіжний інтеграл, у
протилежному випадку – розбіжний.
У випадку, коли функція має розрив у точці x = a відрізка [a,
b], то за означенням b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0
a

15.

Якщо функція f(x) має розрив у точці x = c
всередині відрізка [a, b], то вважаємо, що
c 1
b
f ( x)dx lim
1 0
a
b
f ( x)dx lim
2 0
a
c
f ( x)dx,
2
коли обидва невласних інтеграли у правій
частині рівності існують.
1
dx
Приклад:
Обчислити
0
1
0
dx
lim
1 x 0
lim 2
0
1
0
1 x
dx
lim 2 1 x
0
1 x
1 1 1 2
1
0

16. 4. Обчислення площ плоских фігур.

Площу криволінійної трапеції, що обмежена
неперервною кривою y f ( x), ( f ( x) 0) , віссю Ох,
та двома прямими: x a, x b, a b , знаходиться
за формулою: b
S f ( x)dx
a
Якщо
f ( x) 0, x a; b , то площа відповідної
фігури обчислюється як інтеграл від абсолютного
значення функції:
b
S f ( x)dx
a

17.

Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними
кривими, рівняння яких: y f1 ( x), y f2 ( x) ,причому
скрізь на відрізку a; b f 2 ( x) f1 ( x) , та двома
прямими: x a, x b, a b , то площа визначається
за формулою:
b
S ( f 2 ( x) f1 ( x))dx
a

18. Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів

Якщо
f (t ) -продуктивність праці в момент часу t,
T
то
u
f (t ) dt -обсяг продукції, що
0
випускається за проміжок часу
u
0;T .
t2
f (t )dt -обсяг продукції, що
t1
випускається за проміжок часу
t1; t2 .

19.

Задача 1. Знайти обсяг продукції, виробленої за
чотири роки, якщо продуктивність праці
характеризується формулою: f (t ) (1 t )e3t .
Розв’язання.
Обсяг виробленої продукції дорівнює:
u 1 t
du dt
3t 4
3t
(
t
1)
e
e
U (1 t )e3t dt dv e3t dt
dt
3
3
0
0
0
3t
e
v
3
5e12 1 e12 1 14e12 2
2,53 105 ( ум.од.)
3
3 9 9
9
4
4

20. Знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу

Нехай відома функція t t ( x ) ,що описує зміни
витрат часу t на виготовлення виробу в залежності
від ступеня освоєння виробництва, де х-порядковий
номер виробу в партії. Тоді середній час t сер ,
витрачений на виготовлення одного виробу в період
освоєння від x1 до x2 виробів обчислюється за
формулою:
x2
tсер
1
t ( x)dx
x2 x1 x1

21. Задача 2.

Знайти середній час, витрачений на виготовлення
одного виробу в період освоєння від 100 до 121
виробів, якщо функція
витрат часу на виготовлення
1
виробів: t 600 x 2 .
Розв’язання.
121
1
tсер = 1 121
600
400
2
600 x
121 100
100
dx
21
2
100
7
57, 2( хв)