Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення
Первісна і невизначений інтеграл
Первісна і невизначений інтеграл
Властивості невизначеного інтегралу
Властивості невизначеного інтегралу
Властивості невизначеного інтегралу
Таблиця невизначених інтегралів
Таблиця невизначених інтегралів
Методи інтегрування
1. Метод безпосереднього інтегрування
2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).
Приклади
Приклади
Приклади
3. Метод інтегрування частинами
Приклади
962.50K
Category: mathematicsmathematics

Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

1. Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

1. Первісна і невизначений
інтеграл.
2. Властивості невизначеного
інтеграла.
Таблиця невизначених інтегралів.
3.Основні методи знаходження
невизначеного інтеграла.

2. Первісна і невизначений інтеграл

F (x )
Функція
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
dF ( x) f ( x)dx .
Визначення.

3. Первісна і невизначений інтеграл

Якщо
F (x)
кожна функція виду
є первісною для
f (x) ,
то і
F ( x) С також є первісною для
f (x) .
F ( x) C
F ( x) f ( x)
Для кожної неперервної на проміжку функції
існують первісні на цьому проміжку. Знаходження цих
первісних називається інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
f (x) називається невизначеним інтегралом від
функції
f (x) :
f ( x)dx F ( x) C .

4. Властивості невизначеного інтегралу

Похідна невизначеного інтегралу
дорівнює підінтегральній функції, а його
диференціал - підінтегральному виразу.
Дійсно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

5. Властивості невизначеного інтегралу

Невизначений інтеграл від диференціала
неперервно диференційовної функції
дорівнює самій цій функції
3.
d ( x) ( x)dx ( x) C,
так як
(x )
є первісною для
(x).

6. Властивості невизначеного інтегралу

Сформулюємо далі наступні
властивості невизначеного інтегралу:
4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні, то
функція f1 x f 2 x також має первісну, при
цьому: f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

7. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
x n 1
.
x
dx
C
n 1
dx
x ln x C .
n
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

8. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
15.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
2
dx
1
x
arctg
C
a2 x2 a
a
dx
a2 x2
arcsin
x
C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

9. Методи інтегрування

10. 1. Метод безпосереднього інтегрування

Приклад.
Обчислити
x
2
3x x 1 dx
3
Так як під знаком інтегралу знаходиться сума
чотирьох доданків, то розкладуємо інтеграл на
суму чотирьох інтегралів:
2
3
2
3
x 3 x x 1 dx x dx 3 x dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

11. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

12. Приклади

Приклад 1 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
cos2 xdx 2dx dt
1
dx dt
2
1
1
1
costdt sin t C sin 2 x C
2
2
2

13. Приклади

Приклад 2 . Обчислити :
dx
x 4x 5
Рішення. Преобразімо x 2 4 x 5 ,
2
.
виділяючи повний квадрат по формулі a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримаємо :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x
t
2
x 2 2 1 dx dt
x2 4x 5
t 2 1
arctgt C arctg x 2 C.

14. Приклади

Приклад 3 . Обчислити :
1 x
x t, x t 2 ,
1 t
2tdt
2
1 x dx dx 2tdt
1 t
1 t 2 z,
tdt
t2
dz
1 t 2 1
2
2
dt
2
dt
1
2
2
2
z
1 t
1 t
1 t
2tdt dz, tdt dz
2
dt
dt
2
ln z 2 dt 2
ln( t 1) 2 dt 2
2
2
1 t
1 t
ln( t 2 1) 2t 2arctgt C ln( x 1) 2 x 2arctg x C.

15. 3. Метод інтегрування частинами

Цей метод засновано на формулі udv uv vdu (3)
Методом інтегрування частинами беруть такі
інтеграли:
а) x n sin xdx , де n 1,2...k ;
б) x n e x dx , де n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , де n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
При обчисленні інтегралів а) і б) вводять
позначення: x n u , тоді du nx n 1dx , наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають за u
функцію arctgx , ln x , а за dv беруть x n dx .

16. Приклади

Приклад 1. Обчислити x cos xdx .
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

17.

Приклади
Приклад 2. Обчислити
dx
u ln x, du
x
x2
x 2 dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2
English     Русский Rules