Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (Ахметов С.К.)
Нормальное распределение
Интегральная функция нормального распределения
Нормирование случайной величины
Переход от нормированных значений СВ к исходным
Закон равномерной плотности
Интегральная функция распределения закона равномерной плотности
Логарифмически нормальное распределение
Интегральная и дифференциальная функции логнормального распределении СВ
Характеристики логнормального распределения
Характеристики логнормального распределения (2)
Последовательность расчетов среднегодовых расходов воды n% обеспеченности – P(n%) при логнормальном распределении
Последовательность расчетов (1 вариант)
Последовательность расчетов (2 вариант)
Трехпараметрическое логнормальное распределение
Закон распределения крайних членов выборки (распределение Гумбеля)
Распределение Гумбеля (продолжение)
Распределение Гумбеля (продолжение)
Распределение Гумбеля (жалғасы)
НАЗАРЛАРЫҢЫЗҒА РАХМЕТ!
416.00K
Category: mathematicsmathematics

Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии

1. Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (Ахметов С.К.)

2. Нормальное распределение

Функция плотности
вероятности
Нормальное распределение зависит
от двух параметров:
mx - математического ожидания
σx.
График нормальной
функции распределения
среднеквадратического
отклонения (СКО)
Оно является симметричным, т.е.
для него коэффициент асимметрии
равен нулю (Cs = 0). При таком
распределении СВ ее мода, медиана и
мат. ожидание совпадают. Интервал
изменения СВ от - ∞ до + ∞.

3. Интегральная функция нормального распределения

где z – переменная интегрирования
Ординаты функции выражаются в виде таблицы.
Рассматривается нормированная случайная величина – СВt ,
чтобы не публиковать различные значения для различных
значений mx и σx.

4. Нормирование случайной величины

Нормирование СВ осуществляется по формуле
ti = (xi – mx)/σx
Квантили нормированной нормально распределенной СВ

5. Переход от нормированных значений СВ к исходным

Перевод от нормированных значений СВ к исходным
осуществляется по формуле
xp = tp σx + mx
Для расчета модульных коэффициентов
формула
используется
kp = tpCv + 1
Нормальный закона
и гидрологические процессы
Расходы воды всегда положительны, а область значений
СВ при нормальном распределении изменяется от - ∞ до + ∞
Для нормального распределения Cs = 0, а для многих
гидрологических характеристик Cs >0.

6. Закон равномерной плотности

СВ Х подчиняется закону равномерной плотности, когда ни
одному значению СВ Х не отдается предпочтение
Закон
равномерной
плотности
определяется
двумя
параметрами:
началом – а и концом –
изменения СВ Х.
b
интервала
Плотность вероятности равна:
Дифференциальная функция
распределения закона
равномерной плотности

7. Интегральная функция распределения закона равномерной плотности

Характерные особенности закона равномерной плотности
распределения СВ:
- Медиана равна МО.
- Закон равномерной плотности не имеет Моды
Этот закон используется в гидрологии при
моделировании искусственных гидрологических рядов.

8. Логарифмически нормальное распределение

Для многих гидрологических характеристик нельзя использовать
закон нормального распределения, так как:
многие из них больше нуля или какой-то величины
верхний предел не ограничен
Поэтому многие гидрологические характеристики имеют
положительную асимметрию, которую можно привести к виду
нормального распределения путем замены СВ на ее логарифм
СВ Х называется распределенной логарифмически нормально,
если ее логарифм Z = ln (X) распределен по нормальному закону.
Дифференциальная (а) и
интегральная (b)
функции распределения
логнормального закона
при mz=1 и σz = 0.5

9. Интегральная и дифференциальная функции логнормального распределении СВ

Интегральная функция логнормального распределения
где u = (z- mz)/σz
z = ln(x) s – переменная интегрирования
Дифференциальная функция логнормального распределения

10. Характеристики логнормального распределения

Распределение определяется двумя параметрами: mz и σz
Величина mz – это МО, а σz – это СКО
Дисперсия, СКО и МО связаны соотношениями

11. Характеристики логнормального распределения (2)

Коэффициент
асимметрии
определяется по формуле
Cs = 3•Cv + Cv3
логнормального
распределения
где Cv = σ/mx
Наибольшее
соответствие
эмпирических
данных
с
логнормальным распределением случается при Cs/Cv = 3 – 3,5
Мода и медиана для СВ Х, имеющего логнормальное
распределение, определяются равенствами:
Ординаты
кривой
обеспеченности
логнормального
распределения определяются по таблице стандартного
нормального закона распределения, с учетом того, что Z = ln (X)

12. Последовательность расчетов среднегодовых расходов воды n% обеспеченности – P(n%) при логнормальном распределении

Так как на практике мы не знаем истинное распределение СВ Х,
то допускается два варианта расчета:
оценка mz и σz производится по ряду значений СВ Z
по ряду значений СВ Х производится оценка mx и σx, а затем
по формулам
определяется mz и σz

13. Последовательность расчетов (1 вариант)

Проводим преобразование исходного ряда наблюдений по
формуле zi = lnQi
По ряду значений СВ Z приближенно определяем mz и σz
(методика расчета будет изложена в последующих лекциях)
Вычисляем вероятность непревышения F(n%)=100 – P(n
%)
По таблице квантилей для нормированной нормально
распределенной СВt определяем F(n%) квантиль
по формуле xp=tpσp + mx определяем zp(n%) = tp(n%)σz + mz
Так как zp(n%) = ln Qp(n%), то Qp(n%) = exp (zp(n%)

14. Последовательность расчетов (2 вариант)

По исходному ряду определяем приближенно
m x и σx
Вычисляем mz и σz по формулам
Дальнейший расчет проводится аналогично первому варианту

15. Трехпараметрическое логнормальное распределение

В этом распределении вместо преобразования Z = ln(X)
используется преобразование Z = ln (X-a), где a – дополнительный
третий параметр
Параметр a
связан с коэффициентом асимметрии
соотношением
где k0 – минимальный модульный коэффициент, k0
k0 = 0, это выражение превращается в выражение
Этот тип распределения
рекомендуется использовать при
= a/mx. При

16. Закон распределения крайних членов выборки (распределение Гумбеля)

Закон разработан для расчетов СВ, связанных с
экстремальными случаями (максимальные суточные расходы ….)
Функция обеспеченностей закона Гумбеля выглядит так
где
у – безразмерная величина, связанная с х выражением
y = α(x – q)
где q - мода СВ Х, которая определяется в зависимости от
среднего значения и СКО исходного ряда по формуле
а величину
α можно выразить как

17. Распределение Гумбеля (продолжение)

На практике вместо уравнения
используется уравнение, полученное
при его решении относительно х
Значение ур можно получить из выражения
после двух- кратного логарифмирования
где р - расчетная обеспеченность в процентах. Для основных
опорных обеспеченностей значения ур приводятся в таблице

18.

19. Распределение Гумбеля (продолжение)

және
Теңдеуі:
q және α
-пен байланыстырады
параметрлерін
σx при
→∞
Для конечных выборок Гумбельnпредложил
формулы
и
Параметры
и
анализируемого ряда
σy определяются в зависимости от длины

20.

21. Распределение Гумбеля (жалғасы)

Формуласын ескерсек,
выражение плотности вероятности распределения Гумбеля имеет вид
Из выражения видно, что для распределения Гумбуля область
возможных значений СВ Х находится в интервале (-∞, +∞).
Распределение двухпараметрическру т.е. определяется параметрами
и σx .
распределение Гумбеля используется, в основном, при расчете
дождевых паводков.

22. НАЗАРЛАРЫҢЫЗҒА РАХМЕТ!

English     Русский Rules