Теория возраста. энергия нейтрона до и после рассеяния

1. Теория возраста

2.

3.

E1 – энергия нейтрона до рассеяния
E2 – энергия после рассеяния
E2 V22 A2 2 A cos Θ 1
E1 V12
( A 1) 2
E
1
A 1
или 2 ( 1 ) ( 1 ) cos Θ , где
E1 2
A 1
2
Отсюда следует, что:
Водород!!!
E макс
1
E1
при cos Θ 1,
E мин
E1
при cos Θ 1,
Θ 0
Θ
E макс E1 E мин
1
E1
E1
или E1 E2 E1

4. Средний логарифм потери энергии при одном столкновении

E1
E
ln 1
E2
E1
E
ln 1 p( E2 )dE2
E2
E1
p( E )dE
2
2
E1
E1
E1
dE2
ln
E2 E1 (1 )
E1
Интегрируя получим:
Поскольку это равно 1 , а это равно
α
1
α
ξ
ln (x)dx 1
ln α
1 α 1
1 α
dE2
E1 (1 )
E2
(замена переменной x )
E1
( A 1) 2 A 1
или 1
ln
, при A 10
2A
A 1
Летаргия
E
U ln 0
E
Обычно E0 2 Мэв
2
A 2/3

5.

ln E
t

6. Среднее число столкновений с 2 Мэв до тепловой энергии

ln 2 106 / 0.0253
N
Массовое
число
N
Водород
1
1.000
18
Дейтерий
2
0.725
25
Гелий
4
0.425
43
Литий
7
0.268
67
Берилий
9
0.209
86
Углерод
12
0.158
114
Кислород
16
0.120
150
Уран
238
0.00838
2172

7.

s - средняя длина свободного пробега по отношению к рассеянию; s =1/ s
v – скорость нейтрона между столкновениями
dt
v
s
- количество столкновений за время dt
При одном столкновении уменьшение lnE равно - ,
d ln E
v
dt
s
или
v
du
dt
s
поэтому:

8.

Если источник и поглощение нейтронов отсутствуют, то:
n(r , t )
D (r , t ) или
t
n(r , t )
D v n(r , t )
t
n(r,t)dt – число нейтронов в 1см3, которые диффундировали в течение dt
n(r,u)du – число нейтронов в 1см3, с летаргией U в интервале от U до U+du
Поэтому:
n(r , u )du n(r , t )dt
n ( r , t ) n( r , u )
откуда :
u ξ v
n( r , u )
t
s
Вспомним, что:
y y u
x u x
(см. основы мат.анализа)

9.

Поэтому:
n(r , t ) u n(r , t )
t
t
u
n(r , t ) v n ( rv, t )
s
t
s
u
Следовательно:
n(r , t ) v v
n(r , u )
t
s u s
Теперь подставим всё это в уравнение:
n(r , t )
D v n(r , t )
t

10.

Получим:
v
v v
n( r , u ) D v
n( r , u )
s u s
s
или
s
s (r , u ) D s (r , u )
u
q s (r , u ) - плотность замедления
Поэтому:
q
s q
D u
Введя новую переменную :
u
D
du
s
0
(u )
q
q
- уравнение возраста

11.

Время диффузии и время замедления
du
t
dE v
dt
E
s
t dt
0
t
E0
s dE
E v E ,
T
v 2E / m ,
1
s
1
2m
E0
ET
s, см
Время замедления,
сек
Время диффузии,
сек
Вода
1.1
10-5
2.1 10-4
Тяжёлая вода
2.6
4.6 10-5
0.15
Берилий
1.6
6.7 10-5
4.4 10-3
Графит
2.6
1.5 10-4
1.2 10-2

12.

Диффузионно-возрастное приближение
n(r , t )
D (r , t ) a (r , t ) Q
t
или
1 (r , t )
D (r , t ) a (r , t ) Q
v t
-уравнение баланса
тепловых нейтронов
Q источник тепловых нейтронов ?q(r , T , t )
q ( r , , t )
q (r ,0, t )
q (r , , t )
k
a (r , t ) S (r )
q( Rгр , , t ) 0
( Rгр , t ) 0

13.

q (r , , t )
q (r , , t )
(1)
Пусть,
q (r , , t ) R(r ) ( ) T (t )
(2)
Подставляя в (1) получим,
R( r ) ( ) T (t ) R (r )
( )
T (t )
или
R (r )
1 ( )
R (r ) ( )
Исходя из этого,
R ( r )
B2
или
R(r )
1 ( )
B 2 , решение имеет вид :
( )
R ( r ) B 2 R ( r ) 0
( ) A e B
2
(3)
(4)

14.

Критическое условие
Пусть имеем плоский реактор с источником быстрых нейтронов на плоскости симметрии
Плоский
источник
½a
x
a
Тогда (для понятности) заменив R(r) на X(x) имеем,
d 2 X ( x)
2
B
X ( x) 0
2
dx
С граничными условиями X(a/2)=0

15.

Решение с учётом условия симметрии:
X n An cos Bn x
(5)
Используя граничное условие получаем, что:
2
n
2
Bn
,
a
n 1,3,5,...
(6)
Подставляя (6) в (5), а его и выражение (4) в формулу (2), получим:
n
Bn2
q (r , , t ) An cos
x e
Tn (t ),
a
n 1
n 1,3,5,...
(7)
Внешний источник представим рядом Фурье:
n
S (r ) S ( x) S n cos
x,
a
n 1
Подставляя (7) и (8) в уравнение связи q (r ,0, t )
(r , t )
k a
k
a (r , t ) S (r ) получим:
n
A
T
(
t
)
S
cos
n n
n
n 1
n 1,3,5,...
(8)
a
x,
n 1,3,5,..
(9)

16.

Подставим (9) и (7) в уравнение диффузии тепловых нейтронов,
1 ( r , t )
D ( r , t ) a (r , t ) q ( r , T , t )
v
t
и учитывая, что члены рядов Фурье линейно независимы, имеем:
2
Tn
1
D Bn2
An
1 An Tn (t ) S n An e Bn T Tn (t )
v k a
t
k a
D
квадрат длины диффузии тепловых нейтронов
a
время жизни теплового нейтрона в бесконечной среде
Помня, что L2
а,
1
l0
v a
(10)
перепишем (10) в виде,
Tn k e Bn T 1 L2 Bn2
1 L2 Bn2
Sn
Tn (t )
t
l
l
A
0
0
n
2
Введём важные обозначения:
2
k e Bn T
kn
1 L2 Bn2
и ln
l0
1 L2 Bn2

17.

Перепишем в виде:
Tn k n 1
S
Tn (t ) n
t ln
ln An
(10)
Решение этого уравнения имеет вид:
Tn (t ) e
( k n 1)
t
ln
Sn
An (1 k n )
(11)
а поток тепловых нейтронов согласно (9),
( k n 1)
Bn2 T
t
S n k e
n
ln
(r , t )
A
e
cos
x,
n
2
2
k a n 1
(1 L Bn ) (1 k n )
a
n 1,3,5,.. (12)