Четырехполюсники и фильтры

1.

Лекционные презентации по курсу ТОЭ
«4. Четырехполюсники и фильтры»
Лекция № 21
В лекции рассматриваются линейные цепи с
четырехполюсными элементами, первичные
параметры четырехполюсников, способы
определения первичных параметров, способы
соединения четырехполюсников и эквивалентные
схемы, вторичные параметры четырехполюсников,
связь первичных и вторичных параметров
четырехполюсников.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
1

2.

Краткое содержание
4. Четырехполюсники и фильтры
4.1. Четырехполюсники. Основные понятия.
Классификация четырехполюсников.
4.2. Первичные параметры и уравнения
четырехполюсника. Экспериментальное определение
первичных параметров.
4.3. Эквивалентные схемы четырехполюсников.
4.4. Схемы соединения четырехполюсников.
4.5. Вторичные параметры четырехполюсника.
4.6. Связь первичных и вторичных параметров
симметричного четырехполюсника. Уравнения с
гиперболическими функциями.

3.

Электрические цепи с
четырехполюсными элементами
Ранее рассматривались элементы с двумя выводами –
двухполюсники. Любой пассивный двухполюсник может
быть представлен схемой замещения с одним
эквивалентным параметром – входным сопротивлением
(проводимостью), активный двухполюсник – схемой
замещения с двумя параметрами – эквивалентной ЭДС и
входным сопротивлением. Однако рассмотренный ранее
трансформатор – четырехполюсный элемент, имеющий
два входных и два выходных вывода. Широкое
использование элементов четырехполюсников, к классу
которых относится трансформатор, обусловливает
необходимость рассмотрения особенностей анализа
цепей, содержащих четырехполюсные элементы.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
3

4.

Четырехполюсники. Основные понятия
Четырехполюсники – часть электрической цепи,
подключенная к остальным участкам цепи двумя
парами выводов: первичных 1-1′ и вторичных 2-2′.
Если четырехполюсник не содержит зависимых или независимых
источников энергии или эти источники взаимно
компенсируются, то его называют пассивным, в противном
случае – активным четырехполюсником.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
4

5.

Четырехполюсники. Основные понятия
Активные четырехполюсники принято подразделять на
автономные, содержащие независимые источники ЭДС
и тока, и неавтономные, содержащие зависимые
источники. Будем рассматривать пассивные
четырехполюсники с неизменными линейными
параметрами при действии в цепи синусоидальных
источников ЭДС или тока. Активный четырехполюсник
может быть приведен к пассивному с вынесенными за
его выводы эквивалентными источниками ЭДС или тока.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
5

6.

Четырехполюсники. Основные понятия
Выбор первичных и вторичных выводов весьма условен,
обычно полагают, что в качестве первичных выводов
берутся те, от которых идет поток энергии
(подсоединенных к источнику питания), в качестве
вторичных – выводы, к которым движется этот поток
энергии (подсоединенных к приемнику). Будем
обозначать токи и напряжения первичных выводов I1 и
U 1 вторичных выводов I2 и U 2 .
токи и напряжения
вторичных
выводов I2 , U 2
токи и напряжения
первичных
выводов I1 , U 1
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
6

7.

Четырехполюсники. Основные понятия
Выбор направления для тока I2 возможен в двух
вариантах, выбор конкретного направления
оговаривается при использовании того или иного типа
уравнений четырехполюсника.
Уравнения четырехполюсника связывают значения
входных и выходных токов и напряжений с помощью
четырех констант, три из которых являются независимыми.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
7

8.

Уравнения четырехполюсников
Наиболее распространенными являются уравнения, в
которых в качестве известных (заданных)
считаются ток и напряжения вторичных выводов, а
в качестве неизвестных (определяемых) – ток и
напряжение первичных. Такие уравнения называют
«уравнения в А - параметрах», направление
выходного тока выбирают слева направо.
U1 A11U 2 A12 I2
I1 A21U 2 A22 I2
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
8

9.

Уравнения четырехполюсников
Если в качестве известных (заданных) считаются токи
первичных и вторичных выводов, а в качестве
неизвестных (определяемых) – напряжения, то
коэффициенты в записи уравнений имеет
одинаковую размерность сопротивления,
направление выходного тока выбирают справа
налево. Это «уравнения в Z - параметрах».
U1 Z11 I1 Z12 I2
U 2 Z 21 I1 Z 22 I2
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
9

10.

Уравнения четырехполюсников
Если в качестве известных (заданных) считаются
напряжения первичных и вторичных выводов, а в
качестве неизвестных (определяемых) – токи, то
коэффициенты в записи уравнений имеет
одинаковую размерность проводимости,
направление выходного тока выбирают справа
налево. Это «уравнения в Y - параметрах».
I1 Y11U1 Y12U 2
I2 Y21U1 Y22U 2
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
10

11.

Первичные параметры
четырехполюсников
Коэффициенты уравнений четырехполюсника
называются его первичными параметрами.
Для А -параметров справедливо уравнение
A11 A22 A12 A21 1 ,
для Z -параметров Z12 Z 21 ,
для Y -параметров Y12 Y21 .
Таким образом, из четырех только три параметра
являются независимыми.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
11

12.

Уравнения четырехполюсников
Матричная запись уравнений четырехполюсников:
U 1
U 2
I A I
1
2
U 1
I1
U Z I
2
2
U 1
I1
I Y U
2
2
Замечание: Используют также гибридные уравнения
( H и G - параметры), в матричном виде уравнения
имеют вид:
U 1
I1
I H U
2
2
MП
I1
U 1
U G I
2
2
каф. ТОЭ МЭИ 2020
12

13.

Уравнения четырехполюсников
При обратном питании в качестве известных
(заданных) считаются ток и напряжение первичных,
а в качестве неизвестных (определяемых) – ток и
напряжения вторичных выводов. «Уравнения в В параметрах» получаются из уравнений в А параметрах путем замены I2 на I2 , I1 на I1 , с
учетом связи А -параметров.
U 2 A22U1 A12 I1 B11U1 B12 I1
I2 A21U1 A11 I1 B21U1 B22 I1
B11 A22 B12 A12
B21 A21 B22 A11
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
13

14.

Симметричный четырехполюсник
Четырехполюсник называется симметричным, если
при прямом и обратном питании распределение
токов и напряжений в оставшейся части цепи не
изменится. Для симметричного четырехполюсника
A11 A22 , т.е. только два параметра являются
независимыми. Аналогично Z11 Z 22 и Y11 Y22 .
Матрицы А и В для симметричного четырехполюсника
одинаковые.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
14

15.

Определение первичных параметров
четырехполюсника
Первичные параметры четырехполюсника
определяют экспериментальным или расчетным
путем. Наиболее просто определяют А -параметры
по данным опыта холостого хода и короткого
замыкания. Этот способ используют для измерения
параметров мощных устройств, в которых режимы
холостого хода и короткого замыкания не являются
аварийными и мощность в этих режимах меньше
мощности в номинальном режиме.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
15

16.

Определение первичных параметров
четырехполюсника
В режиме холостого хода при прямом питании I2 0 .
Уравнения в А -параметрах принимают вид:
U1х A11U 2х
U1х
I1х
A11
A21
U 2х
U 2х
I1х A21U 2х
В режиме короткого замыкания при прямом питании U 2 0
Уравнения в А -параметрах принимают вид:
U1к A12 I2к
I1к A22 I2к
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
U1к
A12
I2к
I1к
A22
I2к
16

17.

Определение первичных параметров
четырехполюсника
Определение А-параметров через входные
сопротивления. Входное сопротивление
четырехполюсника со стороны первичных зажимов
U2
при нагрузке Z 2н
Z 2н
Z 2н 0
I2
Z 1вх
MП
U 1 A11U 2 A12 I 2 A11 Z 2н A12
I 1 A21U 2 A22 I 2 A21 Z 2н A22
каф. ТОЭ МЭИ 2020
A12
Z 1к
A22
Z 1x
A11
A21
17

18.

Определение первичных параметров
четырехполюсника
Определение А-параметров через входные
сопротивления. Входное сопротивление
четырехполюсника со стороны вторичных зажимов
U1
при нагрузке Z1н
Z1н 0
Z1н
I1
Z 2вх
MП
U 2 A22U 1 A12 I 1 A22 Z 1н A12
I2
A21U 1 A11 I 1 A21 Z 1н A11
каф. ТОЭ МЭИ 2020
Z 2x
A22
A21
Z 2к
A12
A11
18

19.

Определение первичных параметров
четырехполюсника
Сопротивления холостого хода и короткого замыкания
связаны соотношением: Z 1к Z 2к
Z 1x
Z 2x
Для симметричного четырехполюсника:
Z1х
A11
Z 2х Z 2к
A12 A11Z 2к
A
A21 11
Z1х
Z 1к Z 2к Z к
Z 1x Z 2x Z x
A22 A21Z 2х A11
Z 2х
Z1х
Замечание: Для выбора знака A11 дополнительно
определяют этот параметр по опыту холостого хода.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
19

20.

Схемы замещения четырехполюсников
Так как пассивный четырехполюсник определяется
только тремя независимыми параметрами,
простейшая эквивалентная схема замещения
четырехполюсника должна содержать только три
элемента. Две наиболее простые схемы замещения
четырехполюсника называют Т - образной и П образной схемой замещения.
Т - образная
MП
П - образная
каф. ТОЭ МЭИ 2020
20

21.

Схемы замещения четырехполюсников
Для Т - образной схемы замещения
Y0 A21
A11 1
A22 1
Z1
Z2
A21
A21
Для П - образной схемы замещения
Z 0 A12
MП
A22 1
A11 1
Y1
Y2
A12
A12
каф. ТОЭ МЭИ 2020
21

22.

Схемы замещения четырехполюсников
Для симметричного четырехполюсника Z1 Z 2 Y1 Y2
Т - образная
Z1
A11 1
2Z 2
1
Z1
A21
A12 Z 1 1
Z2
4Z 2
A11 A22
П - образная
Z1
A11 1
2Z 2
MП
A12 Z 1
каф. ТОЭ МЭИ 2020
1
Z1
A21
1
Z 2 4Z 2
22

23.

Соединения четырехполюсников
Основными типами соединений
четырехполюсников являются каскадное,
параллельное и последовательное соединения.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ
Y11(2) Y12(2)
Y11(1) Y12(1)
Y2 (2)
Y1 (1)
(2)
(1)
Y21 Y22
Y21 Y22
Y Y1 Y2
Y11(1) Y11(2) Y12(1) Y12(2)
Y (1)
(2)
(1)
(2)
Y
Y
Y
Y
21
22
22
21
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
23

24.

Соединения четырехполюсников
Основными типами соединений
четырехполюсников являются каскадное,
параллельное и последовательное соединения.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ
Z11(2)
Z12(1)
Z 2 (2)
(1)
Z 22
Z 21
Z11(1)
Z1 (1)
Z 21
Z12(2)
(2)
Z 22
Z Z1 Z 2
Z11(1) Z11(2)
Z (1)
(2)
Z
Z
21
21
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
Z12(1) Z12(2)
(1)
(2)
Z 22
Z 22
24

25.

Соединения четырехполюсников
Основными типами соединений
четырехполюсников являются каскадное,
параллельное и последовательное соединения.
КАСКАДНОЕ
A11(1)
A1 (1)
A21
A11(2)
A12(1)
A 2 (2)
(1)
A22
A21
A12(2)
(2)
A22
A A1 A 2
(2)
A11(1) A11(2) A12(1) A21
A (1) (2)
(1) (2)
A
A
A
22 A21
21 11
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
(2)
A11(1) A12(2) A12(1) A22
(1) (2)
(1) (2)
A21 A12 A22 A22
25

26.

Соединения четырехполюсников
Последовательность каскадных соединений
называют цепной схемой.
звено
Aц A1 A 2
An
Если A1 A 2 A n A , то A ц A A
(одинаковые звенья)
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
A An
26

27.

Вторичные параметры
четырехполюсников
Вторичными параметрами четырехполюсника
называются его характеристические сопротивления
Z c1 и Z c 2 постоянная передачи Г.
Характеристическими называют входные
сопротивления в режиме согласованной
нагрузки, когда входное сопротивление численно
равно нагрузочному: Z1вх Z 2н (при прямом
питании) и Z 2вх Z1н (при обратном питании).
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
27

28.

Режим согласованной нагрузки
В режиме согласованной нагрузки
при прямом питании
при обратном питании
Z c1
Zc2
Z1вх
U1
I1
Z 2вх
MП
Z 2 н Z c2
U2
I2
A11U 2 A12 I2
A21U 2 A22 I2
Z1н Z c1
A22U1 A12 I1
A21U1 A11 I1
Z c1
Zc2
Z 2 н Z c2
A11Z c 2 A12
Z c1
A21Z c 2 A22
Z1н Z c1
A22 Z c1 A12
Zc 2
A21Z c1 A11
каф. ТОЭ МЭИ 2020
28

29.

Режим согласованной нагрузки
Для симметричного четырехполюсника Z c1 Z c 2 Z c
Zc
Z c Z1вх
U1 U 2
I1
I2
Z 2н Z c
Z 2 н Zc
• Сопротивление нагрузки, обеспечивающее это
равенство, называют сопротивлением согласования,
входное сопротивление характеристическим
сопротивлением и обозначают Z c .
• В согласованном режиме сопротивление нагрузки должно
быть согласовано с характеристическим сопротивлением
четырехполюсника.
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
29

30.

Вторичные параметры
четырехполюсников
Постоянной передачи Г называют безразмерную
комплексную величину, характеризующую
изменение напряжений и/или токов
четырехполюсника в режиме согласованной
нагрузки, т.е. когда выполняется условие
U1 U1 u1 U 2 U 2 u 2
I1
I1 i1
I2
I 2 i 2
U1
I1 1 U1I1
Г A jB ln
ln ln
U2
I2 2 U2I2
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
30

31.

Постоянная передачи
Величину А называют постоянной ослабления,
единицами измерения являются неперы [Нп] или
белы [Б] (децибелы [дБ] 10 дБ=1Б):
в [Нп] A 1 ln U1 I1 ln U1 ln I1
2
U 2I2
U2
I2
в [дБ] A 10 lg U1 I1 20 lg U1 20 lg I1
U 2I2
U2
I2
1дБ=0,115 Нп
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
31

32.

Постоянная передачи
Величину В, определяемую разностью фаз входных
u1 и i1 и выходных u и i2 напряжений и токов 2
постоянной фазы (в рад):
1
1
B ( u 1 u 2 ) ( i 1 i 2 ) u 1 u 2 i1 i 2
2
2
Для симметричного четырехполюсника
Zc
MП
A12
Z х Zк
A21
Г ln( A11 A12 A21 ) th Г
каф. ТОЭ МЭИ 2020
Zк
Zx
32

33.

Пример
Симметричный четырехполюсник нагружен на характеристическое
сопротивление. На входе четырехполюсника u1 (t ) 100sin( t 30 ) B
Определить u2 (t ) на выходе четырехполюсника, если постоянная
передачи Г 0,96 j 0,15 .
Решение: По условию постоянная ослабления A 0,96 Нп,
U
U
следовательно ln 1 ln 1m 0,96 .
U2
U 2m
Амплитуда выходного напряжения U 2 m
U1m
100
38,29 В.
0,96
e
2,612
Постоянная фазы B 0,15 рад или в градусной мере
B 0,15 57 8,55 определяет сдвиг фаз входного и выходного
30
напряжения . Так как u1 u2 8,55 , u2 21,45 . Мгновенное
значение напряжения на выходе u2 (t ) 38,92sin( t 21,45 ) B .
MП
каф. ТОЭ МЭИ 2020
33

34.

Связь первичных и вторичных параметров
симметричного четырехполюсника.
Уравнения с гиперболическими функциями
Уравнения симметричного четырехполюсника, выраженные
через его вторичные параметры (уравнения
четырехполюсника в гиперболических функциях), имеют
вид:
U 1 ch ГU 2 Z csh Г I 2
I1
MП
sh Г
U 2 ch Г I 2
Zc
Связь А-параметров и вторичных параметров для
симметричного четырехполюсника:
sh Г
A
A11 A22 ch Г
A12 Z csh Г
21
Zc
каф. ТОЭ МЭИ 2020
34

35.

Для цепной схемы (n звеньев)
характеристическое сопротивление:
Z cц Z cзв
постоянная передачи:
Г ц nГ зв
Aц nAзв
Bц nBзв
уравнения цепной схемы:
U 1 ch Г цU 2 Z csh Г ц I 2
I1
MП
sh Г ц
U 2 ch Г ц I 2
Zc
каф. ТОЭ МЭИ 2020
35