Сложный четырехполюсник (задача)

1.

Контрольная работа №2
Задача 1
Определить коэффициенты А, В, С и D уравнений передачи сложного
четырехполюсника, составленного из двух простых.
Исходные данные.
Даны два простых четырехполюсника (рис. 1).
н)
1
3
ж)
1
r2
3
r1
C2
2
2
4
4
Рис. 1.
Параметры четырехполюсников:
I) r1 =0.7
II)r2 =0.7
кОм;
кОм; C2 =0.7 мкФ.
f =12 кГц.
Сложный четырехполюсник получен путем
включения простых четырехполюсников
каскадного
Требуется:
-из двух заданных четырехполюсников составить схему сложного
четырехполюсника;
- определить коэффициенты А, В, С и D каждого из двух четырехполюсников;
- используя правила сложения и перемножения матриц, рассчитать коэффициенты
А, В, С и D сложного четырехполюсника.
В заключение нужно написать основные уравнения передачи в матричной форме и
выполнить переход от нее к обычной (параметрической) форме.

2.

Найдем А - параметры простых четырехполюсников.
Сопротивление холостого хода Zхх и короткого замыкания Zкз четырехполюсника
определим методом преобразования цепи.
I1
I1
I 2 =0
Z1
1
1
3
U1
U
Z2
2
I2
Z1
3
Z2
U1
2
2
4
Рис. 2. Режим холостого хода
4
Рис. 3. Режим короткого замыкания
Zкз = Z1
Zхх = Z1 + Z2
Уравнения А-параметров четырехполюсника.
⎧
U 1 =A ⋅U 2 +B ⋅I 2
⎪
⎨
⎪
⎩I 1 =C ⋅U 2 +D ⋅I 2
Режим холостого хода (рис. 2).
I 2 =0,
⎧
U 1 =A⋅U 2
⎪
⎨
⎪
⎩I 1 =C ⋅U 2
Находим
I1 =
U
Z +Z 2
Z
A = •1 = 1
=1 + 1
Z2
Z2
U2
U1
U1
=
Z хх Z 1 +Z 2
U 2 =I 1 ⋅Z 2 =U 1 ⋅
Z2
Z 1 +Z 2
C=
I1
U2
Режим короткого замыкания (рис. 3).
U 2 =0,
⎧
U 1 =B ⋅I 2
⎪
⎨
⎪
I
=D
⋅I
1
2
⎩
Находим
U1 U1
I1 =
=
Z кз Z 1
I 2 =I 1
U I 1 ⋅Z
B = • 1 = • 1 =Z
I2
I1
1
D=
I1
=1
I2
Проверка
⎛
A⋅D −B ⋅C =⎜
1+
⎝
U 2 =0
Z⎞1 ⎟
⋅1−Z
Z2 ⎠
1
· 1
=1
Z2
=
1
Z2

3.

Получили А-параметры двух простых четырехполюсников
н)
1
3
ж)
r2
1
3
r1
C2
2
2
4
⎛1
A′ =⎜1
⎜
⎝r1
4
r2
⎛
1+
⎜
−jX C 2
A′ =⎜
1
⎜
⎜
⎝ − jX C 2
0⎞
⎟
1⎟
⎠
⎞
r2 ⎟
⎟
⎟
1⎟
⎠
(1)
Каскадное соединение (рис. 4)
I1
1
I1'
A'
U1 '
I 2'
I1 ''
U2'
I2''
A''
U1''
I2
3
U2''
U1
U2
2
4
Рис.4. Каскадное соединение
Уравнение передачи четырехполюсника с A-параметрами:
⎧
U 1 =A11 ⋅U 2 +A12 ⋅I 2
⎪
,
⎨
⎪
⎩I 1 =A 21 ⋅U 2 +A 22 ⋅I 2
где
(2)
[A] =[ A′] ⋅[ A′].
Найдем А-коэффициенты сложного четырехполюсника (рис. 5) по формулам (1), (2).
r2
1
3
r2
1
3
r1
C2
2
r1
4
2
Рис. 5. Сложный четырехполюсник.
C2
4

4.

Получим:
⎛1
⎛
⎜1 + j⋅
⎜
A'' = ⎜
⎜ j
0⎞
⎜
A' = ⎜1
⎜r1
⎝
⎟
1⎟
⎟
⎠
r2
XC2
⎝ XC2
⎞
r2⎟
⎟
⎟
1⎟
⎠
Вычислим A-параметры:
4
ω = 2⋅π⋅f =7.5398 ×10
Для четырехполюсника I :
r1 =700 Ом.
0⎞
1
⎛
A' = ⎜
⎟
−3
1.4286 ×10
1⎠
⎝
Для четырехполюсника II :
r2 =700
Ом; X
=
C2
1
ω⋅C2
=18.947 Ом.
⎛ 1 +36.945j 7 ×10 2 ⎞
⎟
A'' = ⎜
⎜
⎟
−2
5.278j ×10
1 ⎠
⎝
1
⎛
A = A'⋅A'' = ⎜
1.4286 ×10
⎝
2
0 ⎞⎛ 1 +36.945j
7 ×10 ⎞
⎜
⎟=
⋅
⎟
−3
⎟
⎜
−2
1 ⎠⎝
5.278j ×10
1 ⎠
⎡
1⋅(1 +36.945j) +0⋅(5.278j ×10
=⎢
⎢1.4286 ×10 3 (1 +36.945j) +
⋅(
⎣
1 +36.9j
⎛
=⎜
−
1.43 ×10 3 +0.106j
⎝
700 ⎞
⎟
2 ⎠
)
−2
×
⎤
⎥=
⎥
−
1.4286 ×10 3⋅700 +1⋅1 ⎦
1⋅700 +0⋅1
−
)

5.

Проверка. Рассчитаем А-параметры П-четырехполюсника (рис. 6) по известной формуле.
Z1
1
3
Z2
Z3
2
4
Рис. 6. П-четырехполюсник
⎛
⎜
AП = ⎜
⎜1
⎜Z
⎝
⎡⎢
=⎢
1+
+
2
Z1
Z3
Z1
1
+
Z 3 Z 2 ⋅Z
3
⎞
Z1 ⎟
⎟=
Z1 ⎟
1+
⎟
Z2 ⎠
⎤⎥
1 +36.9j
−1 .95j
⎥= ⎛
⎜
−
8
1.43 ×10 3 +0.106j
⎝
+
+
1
+
1
700
700 ⎦⎥
700
−18.95j
700⋅(−18.95j)
⎣⎢7001
1+
700
700
700 ⎞
⎟
2 ⎠

6.

Запишем основные уравнения передачи в матричной форме. Выполним переход к уравнениям
в параметрической форме.
I1
I2
1
⎛• ⎞ ⎛
⎜I 1 ⎟=⎜Y 11
⎜• ⎟ Y⎝21
⎝I 2 ⎠
Y
⎛
⎜ 11
⎝Y21
Z
⎛
⎜ 11
Z 21
⎝
U
2
4
−3
−3
−1.43 ×10
⎛H 11
⎜
H 21
⎝
−3
−3
⎞
⎟
−2 ⎟
−5.28j ×10
⎠
−1.43 ×10
−| A | ⎞
⎟
.
− A22 ⎠
⎛3.5 ×10 2−4.74j
Z =⎜
⎝ 0.13 − 9.47j
⎛• ⎞ ⎛H
11
U 1 ⎟=⎜
⎜
⎜• ⎟ ⎝H 21
⎝I 2 ⎠
| A |=1.
⎛• ⎞ ⎧
Z 12 ⎞
U 1 = Z 11 ⋅ I 1 +Z 12 ⋅ I 2
⎪
⎜
⎟I•1 ⎟ ⎟ ⎨
Z 22 ⎠⎜ I 2
⎝ ⎠⎪
U 2 =Z 21 ⋅I 1 +Z 22 ⋅I 2
⎩
Z 12 ⎞ 1 ⎛A11
⎜
⎟=
Z 22 ⎠ A21 ⎝1
⎛• ⎞
H 12 ⎞
⎜I 1 ⎟
⎟
⎟
H 22 ⎠⎜U
⎝ 2⎠
H 12 ⎞ 1
⎟=
H 22 ⎠ A22
⎛A12
⎜
⎝1
⎛
3.5 ×10
⎜
H=
⎜ 0.5
⎝
2
2
⎧
⎪I 1 =Y 11 ⋅U 1 +Y 12 ⋅U 2
⎨
⎪
⎩I 2 =Y 21 ⋅U 1 +Y 22 ⋅U 2
−| A |⎞
⎟ ,где
− A 11 ⎠
⎛
2.86 ×10
Y =⎜
⎜
1.43 ×10
⎝
⎛• ⎞ ⎛
U 1 ⎟=⎜ Z 11
⎜
⎜• ⎟ ⎝Z 21
⎝U 2 ⎠
U1
⎞
Y 12 ⎞⎛
U
⎟ •1 ⎟
Y 22 ⎠U 2 ⎟
⎝ ⎠
Y 12 ⎞ 1 ⎛A22
⎜
⎟=
Y 22 ⎠ A12 ⎝1
3
−0.13 +9.47j ⎞
⎟
−0.26 +18.94j ⎠
⎧
U 1 = H 11 ⋅ I 1 +H 12 ⋅U 2
⎪
⎨
⎪
⎩I 2 =H 21 ⋅I 1 +H 22 ⋅U 2
| A| ⎞
⎟
.
− A21 ⎠
⎞
⎟
−2 ⎟
−
−7.14 ×10 4 −5.28j ×10
⎠
0.5

7.

⎛• ⎞ ⎛F
I 1 ⎟ =⎜ 11
⎜
⎜• ⎟ F⎝ 21
U2⎠
⎝
F
⎛
⎜ 11
F 21
⎝
⎞
F 12 ⎞⎛
U
⎟ •1 ⎟
F 22 ⎠I 2 ⎟
⎝ ⎠
F 12 ⎞ 1 ⎛A21
⎜
⎟=
F 22 ⎠ A11 ⎝1
⎛
2.86 ×10
⎜
F=
⎜
7.32 ×10
⎝
⎛• ⎞ ⎛A
U 1 ⎟=⎜ 11
⎜
⎜• ⎟ A⎝ 21
⎝I 1 ⎠
−
3
−
4
⎧
⎪I 1 =F 11 ⋅U 1 +F 12 ⋅I 2
⎨
⎪
U 2 =F 21 ⋅U 1 +F 22 ⋅I 2
⎩
| A| ⎞
⎟
.
− A12 ⎠
+3.86j ×10
− 2.71j ×10
⎞
A12 ⎞⎛
U
⎟ •2 ⎟
A 22 ⎠I 2 ⎟
⎝ ⎠
−5 7.32 ×
−2
B
⎛
⎜ 11
B 21
⎝
⎛• ⎞
B12 ⎞
U1 ⎟
⎜
⎟
⎟
B 22 ⎠⎜
⎝I 1 ⎠
B 12 ⎞ 1 ⎛A 22
⎟=
⎜
− A21
B 22 ⎠ | A | ⎝
−4
10
700 ⎞
⎟
2 ⎠
⎧
U 2 = B 11 ⋅ U 1 + B 12 ⋅ I 1
⎪
⎨
⎪
⎩I 2 =B 21 ⋅U 1 +B 22 ⋅I 1
− A 12 ⎞
⎟
.
A11 ⎠
2
⎛
B= ⎜
−
−1.43 ×10 3 −0.106j
⎝
− 2.71j ×
−0.512 +18.9j
⎧
U 1 =A11 ⋅U 2 +A12 ⋅I 2
⎪
⎨
⎪
⎩I 1 =A 21 ⋅U 2 +A 22 ⋅I 2
1 +36.9j
⎛
A= ⎜
−
1.43 ×10 3 +0.106j
⎝
⎛• ⎞ ⎛B
U 2 ⎟=⎜ 11
⎜
⎜• ⎟ ⎝B 21
⎝I 2 ⎠
−700 ⎞
⎟
1 +36.9j ⎠
−2
10
⎞
⎟
⎟
⎠