Линейные цепи с четырехполюсными элементами

1.

Краткое содержание
1. Уравнения четырехполюсников.
Первичные параметры
четырехполюсников.
2. Эквивалентные схемы замещения
четырехполюсников.
3. Каскадное соединение
четырехполюсников. Цепная схема.
4. Вторичные параметры симметричного
четырехполюсника.
1

2.

Пассивные четырехполюсники. Уравнения
четырехполюсников.
Основные положения теории четырехполюсников определяются
уравнениями, связывающими комплексные ток и напряжение
на входе четырехполюсника с комплексными током и
напряжением на выходе четырехполюсника с помощью
комплексных коэффициентов. Коэффициенты определяются
опытным путем или расчетным. Коэффициенты уравнений
типа А используются при каскадном соединении
четырехполюсников
токи и напряжения
первичных
выводов I1 , U1
U1 A11U 2 A12 I2
токи и напряжения
вторичных
выводов I2 , U 2
A11 A22 A12 A21 1
I1 A21U 2 A22 I2
2

3.

Пассивные четырехполюсники. Уравнения
четырехполюсников.
При прямом питании 1-1’ подключены к источнику, 2-2’ к
нагрузке
Z 1вх
U1
I1
U2
Z 2н
I2
При обратном питании 1-1’ подключены к нагрузке, 2-2’ к
источнику
U 2 A22U1 A12 I1 B11U1 B12 I1
I2 A21U1 A11 I1 B21U1 B22 I1
Z 2вх
U2
I2
U1
Z 1н
I1
3

4.

Симметричный четырехполюсник.
Для симметричного четырехполюсника если Z 1н Z 2н , то
Z 1вх Z 2вх
A11 A22
4

5.

Дано: Найти коэффициенты матрицы А четырехполюсника при
ωL = 20 Ом и 1/ωС = 10 Ом.
Решение: Система двух уравнений типа А
связывает входные и выходные напряжения и
токи четырехполюсника:
U 1 A11U 2 A12 I 2
I 1 A21U 2 A22 I 2
1) Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для левого и правого
контуров. Так как I3 I1 I2
U 1 I 1 ( j10) ( I 1 I 2 ) j 20
U 2 ( I 1 I 2 ) j 20
U 2 I 2 j 20
j 20
A11 0,5 A12 j10 Ом
Из второго уравнения следует, что I 1
U 1 0,5U 2 j10 I 2
Подставим в первое уравнение
I 1 j 0,05U 2 I 2
A21 j 0,05 См
A22 1
5

6.

2) Рассмотрим режим «холостого хода» I2 0
U 1x A11U 2 x
I 1x A21U 2 x
U 1x I 1x ( j10 j 20) j10 I 1x
U 2 x j 20 I 1x
U 2x
j 20
ВД режима
«холостого хода»
I 1x
I 1x
j 0,05 См
U 2 x j 20 I 1x
U 1к A12 I 2 к
Рассмотрим режим «короткого замыкания» U 2 0 I A I
1к
22 2 к
A11
U 1x
j10 I 1x
0,5
U 2x
j 20 I 1x
I 1x
A21
U 1к j10 I 1к
I 1к I 2 к
A12
U 1к
j10 Ом
I 2к
A22 1
ВД режима
«короткого замыкания»
6

7.

3) Определим коэффициенты матрицы А через входные сопротивления
при прямом питании
Z1x
U 1x j10 j 20 j10 Ом
I 1x
Z1к
U 1к j10 Ом
I 1к
при обратном питании
Z2x
U
2 x j 20 Ом
I 2x
Z2к
U 2 к ( j10) j 20
j 20 Ом
I 2 к j10 j 20
7

8.

проверка
Z1x Z 2 x
Z1к Z 2 к
Z1x j10 Ом
Z 2 x j 20 Ом
Z1к j10 Ом Z 2 к j 20 Ом
j10
j 20
j10 j 20
Определим коэффициент A11
Z1x
A11
Z2 x Z2к
j10
0,5
j 20 j 20
ВД режима
«холостого хода»
Коэффициент А11 неоднозначен по знаку (+,–), для однозначного
определения необходимо рассмотреть режим "холостого хода" и
соотношение А11 = U1x /U2x. Для рассматриваемого четырехполюсника A11 0,5
A12 I 1к
A12 Z 2к A11 ( j 20) 0,5 j10 Ом
следовательно
A11 I 1к
A11U 1x
A11
0,5
Z 1x
j 0,05 См
следовательно A21
A21U 1x
Z1x
j10
A12 j10
A12 I 2 к
A
1
22
Z 1к
j10
0,5
Z 1к j10
A22 I 2 к
A
1
j 0,05
проверка det A 1
Z 2к
8

9.

Дано: Известны коэффициенты матрицы А симметричного
четырехполюсника A11 0,8 A12 j1,8 Ом . Составить Т-образную
схему замещения четырехполюсника.
Т-образный четырехполюсник
Решение: Система двух уравнений типа
А связывает входные и выходные
напряжения и токи четырехполюсника:
U 1 A11U 2 A12 I 2
I 1 A21U 2 A22 I 2
В режиме «холостого хода»
A11
U 1x I 1x ( Z1 Z 2 )
Z
1 1
U 2x
I 1x Z 2
Z2
I 1x
I 1x
1
A21
U 2x
I 1x Z 2 Z 2
Z1
Z1 A11 1 Z 2
1
Z2
A21
A11 1
A21
9

10.

Симметричный Т-образный четырехполюсник Z1 Z 3
A11 A22
Тогда det A A11 A12 A21 1
2
A11 0,8
A12 j1,8 Ом
A11 1 0,82 1
j 0,2 См
A21
A12
j1,8
2
Параметры схемы замещения
1
1
Z2
j 5 Ом
A21 j 0,2
Z1 Z 3
A11 1 0,8 1
0,8
A
j 0,2
A21
j 0,2
j1 Ом
j1,8
0,8
10

11.

Дано: Найти коэффициенты матрицы А четырехполюсника при
R=X1 = 20 Ом и X2 = 40 Ом.
Решение: Система двух уравнений типа А
связывает входные и выходные напряжения и
токи четырехполюсника:
U 1 A11U 2 A12 I 2
I 1 A21U 2 A22 I 2
1) рассмотрим режим «холостого хода» I2 0
U 1x A11U 2 x
I 1x A21U 2 x
U 1x I x ( R jX 1 jX 2 ) (20 j 20) I x
U 1x ( j 40)
(20 j 20)
U
(20 j 20)
A11 1x
0,5 j 0,5
U 2x
( j 40)
U 2 x ( j 40) I x
11

12.

1) Рассмотрим режим «холостого хода» I2 0
U
A11 1x 0,5 j 0,5
U 2x
U 1x A11U 2 x
I 1x A21U 2 x
I 1x
U 1x
A11
A21
U 2 x Z 1x U 2 x Z 1x
U 1x ( jX 2 )( R jX 1 jX 2 ) ( j 40)(20 j 20 j 40) 8 j16 Ом
(20 j 20 j 40 j 40)
I 1x
( R jX 1 jX 2 jX 2 )
I
0,5 j 0,5 0,0125 j 0,0375 См
A21 1 x
U 2x
8 j16
U 1к A12 I 2 к
2) Рассмотрим режим «короткого замыкания» U 2 0
I 1к A22 I 2 к
Z 1x
U 1к ( R jX 1 ) I 2 к (20 j 20) I 2 к
A12
U 1к
20 j 20 Ом
I 2к
12

13.

2) Рассмотрим режим «короткого замыкания» U 0
2
U 1к
A12
20 j 20 Ом
I 2к
I 2 к I 1к
U 1к A12 I 2 к
I 1к A22 I 2 к
( jX 2 )
( R jX 1 jX 2 )
I 1к
( R jX 1 jX 2 ) (20 j 20 j 40)
0,5 j 0,5
A22
I 2к
( jX 2 )
( j 40)
Симметричный четырехполюсник
A11 A22
А-параметры четырехполюсника
A11
A
A21
A12
0,5 j 0,5
20 j 20
A22 0,0125 j 0,0375 0,5 j 0,5
проверка det A A11 A22 A12 A21
det A 0,5 j 0,5 20 j 20 0,0125 j 0,0375 1
2
13

14.

Дано: Найти коэффициенты матрицы А четырехполюсника при
R=X1 = 20 Ом и X2 = 40 Ом, используя каскадное соединение.
Решение: четырехполюсник можно
рассмотреть как каскадное соединение более
простых четырехполюсников, например, двух:
Тогда A A1 A 2
1) рассмотрим первый четырехполюсник
U A U A I
1
11
12 2
2
I 1 A21 U 2 A22 I 2
14

15.

1) рассмотрим первый четырехполюсник
режим холостого хода
U
A11 1x 1
U 2x
U 1x
U 2x
I 1x
jX 2 jX 2
1
I
A21 1x
j 0,025 См
U 2 x jX 2
режим короткого замыкания
20
1
A1
j
0,025
1
j
0,5
det A1 1 1 j 0,5 j 0,025 20 1
U
A12 1к R 20 Ом
I 2к
( jX 2 )
I 2 к I 1к
R jX 2
I
R jX 2
A22 1к
1 j 0,5
I 2 к ( jX 2 )
15

16.

1) рассмотрим второй четырехполюсник
режим холостого хода
U 1x
U 2 x ( jX 2 ) I 1x
jX 1 jX 2
U
jX jX 2
A11 1x 1
0,5
U 2x
( jX 2 )
1
I
A21 1x
j 0,025 См
U 2 x jX 2
I 1x
режим короткого замыкания
I
A22 1к 1
I 2к
0,5
A2
j 0,025
j 20
1
U
U
A12 1к 1к jX 1
I 2 к I 1к
A12 j 20 Ом
det A 2 0,5 1 j 0,025 j 20 1
16

17.

20
0,5
1
A
A1
2 j 0,025
j 0,025 1 j 0,5
1
20
0,5
Тогда A A1 A 2
j 0,025
j
0,025
1
j
0,5
1 0,5 20 j 0,025
A A1 A2
j 0,025 0,5 1 j 0,5 j 0,025
j 20
1
j 20
1
1 j 20 20 1
j 0,025 20 1 j 0,5 1
0,5 j 0,5
20 j 20
A A1 A2
0,0125
j
0,0375
0,5
j
0,5
17

18.

Дано: Найти вторичные параметры симметричного четырехполюсника
если R= 5 Ом.
Решение: используем формулы расчета
характеристического сопротивления
Zc
th Г
A12
Z х Zк
A21
Z вх
Zк
Zx
U1 U 2
I1
I2
5 Ом
Z вх
режим холостого хода
режим короткого замыкания
R
Z к R 7,5 Ом
2
Z c Z х Z к 75 8,66 Ом
Z х 2 R 10 Ом
Z вх
Zc
Zн Zc
5 Ом
5 Ом
8,66 Ом
режим согласованной
нагрузки
(5 8,66) 5
5 8,66 Ом
5 8,66 5
18

19.

th Г
Zк
Zx
7,5
0,866
10
th Г
Г A jB 1,317
A 1,317 Нп
U1
e A e1,317 3,7322
U2
5 Ом
U3
5 Ом
B 0
I1
e A e1,317 3,7322
I2
U 2 8,66 B
13,66
U 3 13,66 B
I3
=2,732 A
5
I1 I2 I3 3,732 A
Проверка: зададим I2 1 A
5 Ом
I3
Г 1,317
8,66 Ом
режим согласованной нагрузки
P1 U1I1 U 2e A I 2e A P2e 2 A
I1 3,732
3,732
I2
1
U1 I1R U 3 32,32 B
U1 32,32
3,732
U 2 8,66
Задание: рассчитать А-параметры четырехполюсника, проверить
расчет вторичных параметров
19

20.

Дано: Найти вторичные параметры четырехполюсника при
R=X1 = 20 Ом и X2 = 40 Ом.
Решение: вторичные параметры
симметричного четырехполюсника характеристическое сопротивление и
постоянная передачи. Воспользуемся
решением задачи 15.3
U 1x ( jX 2 )( R jX 1 jX 2 )
I 1x ( R jX 1 jX 2 jX 2 )
( j 40)(20 j 20 j 40) 8 j16 Ом
(20 j 20 j 40 j 40)
Z 1x
Z 1к
U 1к
( jX 2 )( R jX 1 )
I 1к
( R jX 1 jX 2 )
( j 40)(20 j 20)
40 Ом
(20 j 20 j 40)
20

21.

Характеристическое сопротивление
Zc Z х Zк
715,54e
8 j16 40
j ( 63,4 )
12
320 j 640
715,54 e
12
j ( 63,4 )
1
2
26,75e j ( 31,7 ) 22,76 j14,06 Ом
Режим согласованной нагрузки
20
зададим I2 1 A
j 20
22,76
j 40
j 40
j14,06
U 2 Z c I2 26,75 31,7 B
I5
26,75 31,7 0,66875 58,3 A
U2
40 90
jX 2
I4 I2 I5 1,466 22,8 A
Проверка
U1 45,484 32,3 26,75 31,7 Ом
1,7 64
I1
U1 I4 R jX 1 U 2 45,484 32,3 B
U1
1,137 122 A
I3
jX 2
I4 I2 I5 1,7 64 A
21

22.

характеристическое сопротивление
Режим согласованной нагрузки
20
U1 U 2
26,75 31,7 Ом
I1
I2
j 20
I2 1 A
22,76
j 40
j 40
j14,06
U 2 26,75 31,7 B
I1 1,7 64 A
U1 45,484 32,3 B
A ln
1,7 0,5306 Нп постоянная ослабления
U1
I
ln 1 ln
1
U2
I2
B u1 u 2 i1 i 2 64 1,117 рад постоянная фазы
Г A jB 0,5306 j1,117
постоянная передачи
22