Прямоугольная система координат в пространстве

1. Прямоугольная система координат в пространстве

2.

- Вы уже знакомы с прямоугольной
(Декартовой) системой координат
на плоскости, которую
в XIX в. ввёл
французский
математик
Рене Декарт

3.

- А, вот, прямоугольную систему
координат в пространстве
ввёл швейцарский,
немецкий,
российский
математик
Леонард Эйлер
в XVIIIв.

4.

Прямые с выбранными на них
направлениями называются осями
координат, а их общая точка –
началом координат.
Ох – ось абсцисс,
Оу – ось ординат,
Оz – ось аппликат.

5.

Три плоскости, проходящие через
оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и
Ох, называются координатными
плоскостями: Оху, Оуz, Оxz.
Плоскость Oyz
Плоскость Oxz
O
Плоскость Oxy

6.

В прямоугольной системе координат каждой
точке М пространства сопоставляется
тройка чисел – её координаты: М (х, у, z),
где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

7. Нахождение точки на координатной плоскости.

Если, например, точка M лежит на координатной
плоскости или на оси координат, то некоторые её
координаты равны нулю. Так, если M принадлежит
Oxy, то аппликата точка M равна нулю: z=0.
Аналогично если M принадлежит Oхz, то y=0, а если M
принадлежит Oyz, то x=0. Если M принадлежит Ox, то
ордината и аппликата точки M равна нулю: y=0 и z=0.
Если M принадлежит Oy, то x=0 и z=0; если M
принадлежит Oz, то x=0 и y=0. Все три координаты
начала координат равны нулю: О (0;0;0).

8. Задание: Напиши координаты для точек A, B, C, D, E, F на рисунке.

A
z
B
D
E
O
C
x
F
y

9. Ответы.

1. A(5; 4; 10),
2. B(4; -3; 6),
3. C(5; 0; 0),
4. D(4; 0; 4),
5. E(0; 5; 0),
6. F(0; 0; -2).
Сравни свои ответы.

10.

Точка лежит
в координатной
плоскости
на оси
Ох
(х,0,0)
Оу
(0,у,0)
Оz
(0,0,z)
Oxy
(x,y,0)
Oyz
(0,y,z)
Oхz
(x,0,z)

11.

Нахождение точки на координатной плоскости.
1. Если М
2. Если М
3. Если М
4. Если М
5. Если М
6. Если М
ОХУ, то z=0
OXZ, то у=0
OУZ, то X=0
ОХ, то У=0 и Z=0
OУ, то Х=0 и Z=0
OZ, то Х=0 и У=0

12.

Координаты вектора в
пространстве

13.

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.
i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор
оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат.
z
k
j
O
i
x
y

14.

Любой вектор ā можно разложить по
координатным векторам, т.е. представить в
виде:
а хi y j z k
Нулевой вектор можно представить в виде:
0 0i 0 j 0k
Координаты равных векторов соответственно
равны, т.е., если
ā { x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то
x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

15. Запись координат вектора.

Координаты вектора а будут
записываться в фигурных
скобках после обозначения
вектора: а {x; y; z}.
На рисунке справа
изображен прямоугольный
параллелепипед имеющий
измерения: OA1=2, OA2=2,
OA3=3.
Координаты векторов
изображенных на этом
рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A3 A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}
z
A3
A
a
k
i
x
A1
j
A2
O
b
y

16.

Сложение векторов
1.Правило треугольника.
2.Правило параллелограмма.
3.Правило многоугольника.
4.Правило параллелепипеда.

17. Правило треугольника

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
a b
b
C

18. Правило треугольника

B
a
А
a b
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC

19. Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
с a b
C

20. Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC CD DE AE

21. Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B1
A1
B
с b
А
C1
d
AB b
D1
C
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d

22. Угол между векторами

23.

Угол между двумя ненулевыми
векторами называется угол между
направлениями этих векторов.
a
)
a
^
b
b
а b

24.

А
^
а
О
а b
α
b
В
• Если а || b и а и b сонаправлены, то α = 0°.
• Если a || b и a и b противоположно
направлены, то α = 180°.
• Если а b, то α = 90°.

25.

Перпендикулярные
векторы (или
ортогональные)
Коллинеарные векторы
Сонаправленные Противоположно
направленные
a
b
90°
a
b
0°
a
b
180°

26. Скалярное произведение векторов

27. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на
косинус угла между ними.
ab a b cos( a ; b )

28.

1) a · b = | a | · | b | · cos(a ^ b)
2) a { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 }
a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2
3) a 2 = | a |2
cos
cos
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
a b
| a | | b |
2
1
2
2
2
2
2
2