Прямоугольная система координат в пространств

1. Прямоугольная система координат в пространстве

1
Прямоугольная система координат в
пространстве
Прямые с выбранными
на них направлениями
называются осями
координат, а их общая
точка – началом
координат.
Плоскости,
проходящие
соответственно через
оси координат Ох и Оy,
Oу и Оz, Oz и Ox,
называются
координатными
плоскостями и
обозначаются Oxy,
Oхz , Ozх.
z
Ось Аппликат
O
y
Ось ординат
x
прямоугольная система
координат

2.

2
z
В прямоугольной
системе
координат
каждой точке M
пространства
сопоставляется
тройка чисел,
которые
называются её
координатами.
M3
M
M2
O
x
M1
y

3. Разложение по координатным векторам

3
Разложение по координатным
векторам
Любой вектор a можно разложить по
координатным векторам, т.е. представить
в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z
определяются единственным образом.

4. Запись координат вектора.

4
Запись координат вектора.
Координаты вектора а будут
записываться в фигурных
скобках после обозначения
вектора: а {x; y; z}.
На рисунке справа
изображен прямоугольный
параллелепипед имеющий
измерения: OA 1=2, OA 2=2,
OA3=3.
Координаты векторов
изображенных на этом
рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A3 A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}
z
A3
A
a
k
j
i
A2
O
A1
x
b
y

5. Нулевой вектор и равные вектора

5
Нулевой вектор и равные вектора
Так как нулевой вектор можно
представить в виде 0 = 0i + 0j + 0k, то все
координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов
соответственно равны, т.е. если векторы
a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } равны, то x =x , y =y
и z =z .
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2

6. Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное число.

6
Правила нахождения суммы, разности и
произведения на данное число.
1.
Каждая координата суммы двух или
более векторов равна сумме
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a + b имеет
координаты
1
1
1
2
{x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2}
2
2

7. Правило №2

7
Правило №2
2.
Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a – b имеет
координаты
1
1
1
2
{x1 –x2 ; y1 –y2 ; z1–z2 }
2
2

8. Правило №3

8
Правило №3
3.
Каждая координата произведения
вектора на число равна произведение
соответствующей координаты вектора на
это число. Если a {x; y; z } – данный
вектор, α - данное число, то вектор αa
имеет координаты
{α x; α y; α z}

9. Связь между координатами векторов и координатами точек.

9
Связь между координатами
векторов и координатами точек.
Вектор, конец которого совпадает с данной
точкой, а начало – с началом координат,
называется радиус-вектором данной точки.
Координаты любой точки равны
соответствующим координатам её радиусвектора.
Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.

10.

Каждая координата середины отрезка равна
полусумме соответствующих координат его концов.
z
x1+x2 y1+y2 z1+z2
OC{
;
;
}
2
A(x1;y1;z1)
x1+x2 y1+y2 z1+z2
C(
;
;
)
2
2
2
2
2
B(x2;y2;z2)
y
О
Полусумма аппликат
Полусумма ординат
Полусумма абсцисс
* x=
10
x1+x2
2
;
*y =
y1+y2
2
;
*z =
z1+z2
2

11. Простейшие задачи в координатах

11
Простейшие задачи в координатах
Каждая координата середины отрезка
равна полусумме соответствующих
координат его концов.
Длина вектора a {x; y; z} вычисляется по
формуле
|a| = √x² + y² + z²

12. Расстояние между точками

12
Расстояние между точками
Расстояния между точка M (x ; y ; z ) и
M (x ; y ; z ) вычисляется по формуле
1
2
2
2
1
1
1
2
d = √(x 2– x1)² + (y2 – y1 )² + (z 2– z 1)²