Прямоугольная система координат в пространстве

1. Прямоугольная система координат в пространстве.

2. Цели урока:

• Ввести понятие системы
координат в пространстве.
• Выработать умение строить
точку по заданным
координатам и находить
координаты точки,
изображенной в заданной
системе координат.

3. Вопросы:

1. Сколькими координатами может быть
задана точка на прямой?
М(-3), К(8)
2. Сколькими координатами может быть
задана точка в координатной плоскости?
А(2;-4)
Вопрос урока
3. Сколькими координатами может быть
задана точка в пространстве?
F(5;-2;1)

4.

Задание прямоугольной системы
координат в пространстве:
z
К (2; 0; -4)
х
у
z
Е (9; -3; 0)
С (2; -6; 3)
Р (0; 5; -7)
х
у

5. Задание прямоугольной системы координат в пространстве:

Ох – ось абсцисс
Оу – ось ординат
Оz – ось аппликат
z
1
A
1
О
1
A (1; 1; 1)
x
y
Оy
Оz
Оy
Оz
Оx
Оx

6.

z
I
I
I
A(-1; 3;-6)
I
I
I
С
I
I
I
I
В
Найдите координаты
точек А, В, С
I
B(-2;-3; 4)
I
O
I
I
I
I
I
I
x
I
I
I
I
I
I
I
А
I
y
C( 3;-2; 6)

7. Нахождение координат точек.

Точка лежит
на оси
в координатной плоскости
Ох (х; 0; 0)
Оху (х; у; 0)
Оу (0; у; 0)
Оz (0; 0; z)
Охz (х; 0; z)
Оуz (0; у; z)

8. Решение задач.

№ 401 (а) Рассмотрим точку А (2; -3; 5)
1) A1 : Oxy
A1 (2; -3; 0)
2
A
A3
z
A2
2) A2 : Oxz
5
A2 (2; 0; 5)
3) A3 : Oyz
A3 (0; -3; 5)
A1
Для точки F(- 0,5;2;-7) устно.
х
-3
0
у

9. Решение задач.

№ 401 (б) Рассмотрим точку А (2; -3; 5)
1) A4 : Ox
A4 (2; 0; 0)
A6
2
z
A
2) A5 : Oу
5
A5 (0; -3; 0)
3) A6 : Oz
A6 (0; 0; 5)
A5
0
Для точки F(- 0,5;2;-7) устно.хA4
-3
у

10. Решение задач.

№ 402
z
В1 (1; 0; 1)
B (0;0;1)
С (0; 1; 0)
B1 - ?
С1 (1; 1; 0)
D1 (1; 1; 1)
D (0;1;0)
D1 - ?
A (0;0;0)
C-?
у
х
A1 (1;0;0)
C1 - ?

11.

12.

II этап урока

13. Цели этапа:

1. Научиться раскладывать
произвольный вектор по
координатным векторам.
2. Отработать навыки действий
над векторами с заданными
координатами.

14. Повторение.

• Дайте определение вектора.
В
А
Вектором наз. направленный
отрезок, имеющий определенную
длину.
• Дайте определение коллинеарных
векторов.

15.

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой
или на параллельных прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
c
b
a
a
b
c
b
c
a
Нулевой вектор условились считать
сонаправленным с любым вектором.
o
a
o
c
o
b

16.

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой
или на параллельных прямых.
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
a
c
a
b
c
b
• Дайте определение компланарных
векторов.

17.

Векторы называются компланарными, если
при откладывании их от одной и той же точки они
будут лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
компланарными, если имеются равные им
векторы, лежащие в одной плоскости.
c
a
b

18.

Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, также компланарны.
Признак
компланарности:
c можно разложить по векторам
a и b , т.е. представить в виде c = xa + yb
где x и y – некоторые числа, то векторы a , b и c
Если вектор
компланарны.

19. Изучение нового материала.

z
1
k
i
1
x
О
a xi y j z k
a x; y; z
j
1
y

20. Определите координаты векторов:

z
ОА1= 1,5
ОА2= 2,5
ОА = 2
А1
1
k
i
1
А
x
О
j
А2
1
i 1;0;0
j 0;1;0
k
?
0;0;1
y

21. Определите координаты векторов:

z
ОА1= 1,5
ОА2= 2,5
ОА = 2
А1
1
k
i
1
А
x
О
j
А2
1
y
OA2 0;2,5;0
OA1 0;0;1,5
OA 2;0;0
?

22. Определите координаты векторов:

z
А1
В1
ОА1= 1,5
ОА2= 2,5
ОА = 2
1
k
i
О
В
j
y
1
OВ1 0;2,5;1,5
OВ2 2;2,5;0
1
А
x
А2
В2
?
OВ 2;2,5;1,5

23. Разложите все векторы по координатным векторам.

Проверяем:
ОА1 0 i 0 j 1,5 k
ОА2 0 i 2,5 j 0 k
ОА 2 i 0 j 0 k
ОB1 0 i 2,5 j 1,5 k
ОB2 2 i 2,5 j 0 k
ОB 2 i 2,5 j 1,5 k

24. Правила действий над векторами с заданными координатами.

1.Равные векторы имеют равные координаты.
а
х
;
у
;
z
1
1
1
Пусть
a
b
,
,
b х2 ; у2 ; z2
тогда
х1 = х2; у1 = у2; z1 = z2

25. Правила действий над векторами с заданными координатами.

2. Каждая координата суммы двух (и более)
векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов.
Если
то
а х1; у1; z1
,
b х2 ; у2 ; z2
с a b
с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z2

26. Правила действий над векторами с заданными координатами.

3. Каждая координата произведения вектора на число
равна произведению соответствующей координаты
на это число.
Если
то
а х; у; z , α – произв.число , a с
с х; у; z
4. Каждая координата разности двух векторов равна
число равна разности соответствующих координат
на этих векторов.
Если а х1 ; у1 ; z1 b х ; у ; z
2
2
2
то
с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z2
с a b

27. Выполнить задание устно:

• Даны векторы:
а 3;5; 7
c 0;1;8
b 4; 1;3
d 3;0;0
• Найти вектор равный:
а) 2 а
6;10; 14
в) a b
г) b с
д) а b d
б) 3 b
7;4; 4
4; 2; 5
10;4; 4
12;3; 9
e) 3d 2c
9; 2; 8

28. Письменно:

Письменно:
а 1;2;0
Даны векторы:
b 0; 5; 2
c 2;1; 3
• Найти координаты вектора:
p 3c 2b a
Ответ:
p 5;15; 5

29. Домашнее задание:

П. 42, 43 стр.116 в.1-6
№№ 401(В,С), 407, 408

30.

31. Повторение.

Даны точки:
А (2; -1; 0)
В (0; 0; -7)
С (2; 0; 0)
D (-4; -1; 0)
Е (0; -3; 0)
F (1; 2; 3)
Р (0; 5; -7)
К (2; 0; -4)
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оуz
Назовите точки, лежащие
в плоскости Охz
В (0; 0; -7)
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оху
С (2; 0; 0)
Е (0; -3; 0)

32. Выполнение задания с последующей проверкой.

Начертить прямоугольную трехмерную
систему координат и отметить в ней
точки:
А (1; 4; 3); В (0; 5; -3); С (0; 0; 3) и D (4; 0; 4)

33. Проверка.

z
С
А
(1;
4;
3)
В
D
С (0;
(0;
(4; 5;
0;
0; -3)
3)
4)
А
D
1
1
1
y
В
x

34. Определите координаты точек:.

z
А
А (3; 5; 6)
В (0; -2; -1)
D
С (0; 5; 0)
D (-3; -1; 0)
С
1
1
В
x
1
y

35. Думаем… Отвечаем…

• Даны точки
А (2; 4; 5), В (3; а; b), C (0; 4; d) и D (5; n; m)
При каких значениях а, b, d, n и m эти точки
лежат:
1) В плоскости, параллельной плоскости Оху
а, п – любые; b = d = 5
2) В плоскости, параллельной плоскости Охz
a = п = 4; b, d, m - любые
3) На прямой параллельной оси Ох
a = п = 4; b = d = m = 5
?
?
?

36. Повторение:

1. Даны точки А ( - 1; 7 ) и В ( 7; 1).
а) Найдите координаты середины отрезка АВ.
у А уВ
х А хВ
уС
хС
2
2 С ( 3; 4)
б) Найдите длину отрезка АВ.
АВ
х
хА уВ у А
2
В
2
|АВ| = 10

37. Повторение:

2. Запишите координаты вектора
т 3;2
т 3i 2 j
3. Среди векторов а 4;5 ; b 8;10 ; c 2; 2,5
укажите пару коллинеарных векторов.
Ненулевые векторы наз. коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных
прямых
?
a kb
а
k<0
b
а и b; b 2a
b
а
k>0

38. Повторение:

4. Найдите координаты вектора
Е ( -2; 3), F ( 1; 2).
EF xF xE ; yF yE
EF , если
EF 3; 1
5. Найдите расстояние между точками
А (а; 0) и В (b; 0).
АВ
АВ b a
х
хА уВ у А
2
В
2