1.26M

Category: $mathematics$ mathematics

Исследование функций методами дифференциального исчисления. Условие постоянства функции

1.

§19. Исследование функций
методами
дифференциального
исчисления
п.1. Условие постоянства функции.

2.

Теорема 1. Для того, чтобы функция y f (x),
дифференцируемая на X, была
постоянной на X, необходимо и
достаточно, чтобы
f ' ( x) 0 x X .

Доказательство.
Необходимость.
f ( x) C x X
f ' ( x) 0
Достаточность.
f ' ( x) 0 x X
x0 X Теорема
Лагранжа (§9)
f ( x) f ( x0 ) f ' (c)( x x0 ) c ( x; x0 )
c ( x0 ; x)
f ( x) f ( x0 ) 0 f ( x) f ( x0 ) x X

4.

п.2. Монотонность функции.
Теорема 2. (Достаточное условие
монотонности)
Пусть
функция y f (x) дифференцируема на
интервале (a; b),
f ' ( x) 0 x (a; b)
f ' ( x) 0
x (a; b) .
Тогда
функция y f (x) возрастает (убывает) на
интервале (a; b).

5.

Доказательство.
f ' ( x) 0 x (a; b)
x1 , x2 (a, b) x1 x2
Теорема Лагранжа §9
f ( x2 ) f ( x1 ) f ' (c) ( x2 x1 ), c ( x1; x2 )
0
0
f ( x2 ) f ( x1 ) 0
f ( x2 ) f ( x1 )
функция y
f (x) возрастает на
интервале (a; b).

6.

Самостоятельно: доказать теорему в случае
убывания функции.

7.

п.3. Локальный экстремум.
Точка x0 называется точкой локального
максимума функции y f (x) , если
существует некоторая окрестность точки x0
такая, что для всех x x0 из этой окрестности
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 ).
Самостоятельно: определить точку локального
минимума.

8.

Точки локального максимума и локального
минимума называются точками локального
экстремума.
Теорема 3. (Необходимое условие локального
экстремума)
Пусть
функция y f (x ) дифференцируема,
x0 ─ точка локального экстремума.
Тогда
f ' ( x0 ) 0.

9.

Доказательство.
x0 ─ точка локального максимума
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0
x x0 0
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ' ( x0 ) lim
0
x x0
x x0
f ( x) f ( x0 )
f ' ( x0 ) lim
0
x x0
x x0
f ' ( x0 ) 0

10.

Самостоятельно: доказать теорему в случае
точки локального минимума.

11.

Замечание 1. Необходимое условие не
является достаточным.
y x
Пример.
y ' 3x
3
x0 0
2
y ' ( x0 ) y ' (0) 0
x0 0 не является точкой
локального экстремума
y
O
x

12.

Замечание 1. Функция может иметь экстремум
в точках, в которых она не дифференцируема.
Пример.
y | x |
x0 0
x0 0 ─ точка локального
минимума
y
O
x

13.

Пример. y
y'
3
x
2
x0 0
y
2
3
3 x
x0 0 ─ точка локального
минимума
O
x

14.

Теорема 4. (Первое достаточное условие
локального экстремума)
Если при переходе через точку x0
производная дифференцируемой
функции y f (x ) меняет знак с плюса на
минус, то x0 ─ точка максимума, а если с
минуса на плюс, то x0 ─ точка минимума.

15.

Доказательство.
f ' ( x) 0 x (a; x0 )
Теорема 2
f (x)
f ' ( x) 0 x ( x0 ; b)
на ( a; x0 )
f (x)
на ( x0 ; b)
f ( x0 ) f ( x)
f ( x) f ( x0 )
x (a; x0 )
x ( x0 ; b)
x0 ─ точка максимума

16.

y
f ' ( x) 0
O
f ' ( x) 0
x0
x

17.

Самостоятельно: доказать теорему в случае
точки минимума.

18.

Теорема 5. (Второе достаточное условие
локального экстремума)
Пусть
f ' ( x0 ) 0,
f ' ' ( x0 ) 0.
Тогда,
если f ' ' ( x0 ) 0 , то x0 ─ точка максимума;
если f ' ' ( x0 ) 0 , то x0 ─ точка минимума.

19.

Доказательство.
f ' ( x0 x) f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 ) lim
x 0
x
f ' ( x0 ) 0
f ' ( x0 x)
f ' ' ( x0 ) lim
x 0
x
f ' ' ( x0 ) 0 : x 0 f ' ( x0 x) 0
x 0 f ' ( x0 x) 0
Теорема 4
x0 ─ точка минимума

20.

Самостоятельно: доказать теорему в случае
точки максимума.

21.

п.4. Наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке.
Пусть функция y f (x ) непрерывна на
отрезке [a; b].
По теореме Вейерштрасса она достигает на
этом отрезке своего наибольшего и
наименьшего значения.
Эти значения функция может принимать либо
во внутренней точке отрезка, либо на его
границе.

22.

Алгоритм поиска наибольшего и
наименьшего значения функции
1. Найти критические точки (точки, в которых
производная функции равна нулю или не
существует) на интервале (a; b).
2. Вычислить значения функции в найденных
критических точках и на концах отрезка.
3. Среди вычисленных значений выбрать
наибольшее и наименьшее.

23.

п.5. Выпуклость (вогнутость) графика
функции.
Пусть
функция y f (x) дифференцируема на
интервале (a; b).
Тогда
в каждой точке ее графика существует
касательная.

24.

Функция y f (x ) называется выпуклой
(выпуклой вверх) на интервале (a; b), если
ее график расположен ниже любой
касательной на (a; b) .
y
O
a
b
x

25.

Функция y f (x ) называется вогнутой
(выпуклой вниз) на интервале (a; b) , если ее
график расположен выше любой касательной
на (a; b) .
y
O
a
b
x

26.

Теорема 6. (Достаточное условие выпуклости)
Пусть
функция y f (x) имеет вторую производную
на интервале (a; b);
f ' ' ( x) 0 x (a; b)
f ' ' ( x) 0
x (a; b) .
Тогда
функция y f (x) выпукла (вогнута) на
интервале (a; b).

27.

Доказательство.
f ' ' ( x) 0 x (a; b)
0
x0 (a; b) §10 п.2
1
2
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' (c)( x x0 )
2
c ( x0 ; x) c ( x; x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
yкас f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
f ( x) yкас

28.

Самостоятельно: доказать теорему в случае
выпуклой функции.

29.

п.6. Точки перегиба.
Точкой перегиба графика непрерывной
функции называется точка, если слева и
справа от нее функция имеет разные
направления выпуклости.

30.

Теорема 7. (Необходимое условие точки
перегиба)
Пусть
функция y f (x) дважды дифференцируема;
x0 ─ точка перегиба.
Тогда
f ' ' ( x0 ) 0.

31.

Замечание 3. Необходимое условие не
является достаточным.
Пример.
y x
4
x0 0
y
3
y' 4 x
2
y ' ' 12 x
y ' ' ( x0 ) y ' ' (0) 0
x0 0 не является точкой
перегиба.
O
x

32.

Замечание 4. Точки перегиба ─ это точки
экстремума первой производной функции.

33.

Теорема 8. (Достаточное условие точки
перегиба)
Если при переходе через точку x0 вторая
производная дважды дифференцируемой
функции y f (x ) меняет знак, то x0 ─ точка
перегиба.
3
y
Пример. y x
2
y ' 3x y ' ' 6 x
y ' ' 0 x ( ;0)
y ' ' 0 x (0; )
x0 0 ─ точка перегиба
O
x

34.

п.7. Асимптоты.
Асимптотой кривой называется прямая,
расстояние до которой от точки, лежащей на
кривой, стремится к нулю при неограниченном
удалении от начала координат этой точки по
кривой.

35.

Прямая x a является вертикальной
асимптотой графика функции y f (x) ,
если хотя бы один из односторонних пределов
функции в этой точке равен ( ) .
1
Пример. y
x 2
1
lim
x 2 x 2
1
lim
x 2 x 2
a 2
y
O
x 2 ─ вертикальная асимптота
x
x 2

36.

Прямая y A является горизонтальной
асимптотой графика функции y f (x) ,
если lim f ( x) A lim f ( x)
x
x
Пример. y arctg x
lim arctg x
x
2
lim arctg x
x
2
y , y
2
2
─ горизонтальные асимптоты
y
A .
y
2
O
x
y
2

37.

Уравнение наклонной асимптоты: y kx b.
Теорема 9. Для того, чтобы график
функции y f (x ) имел наклонную
асимптоту при x ( x )
необходимо и достаточно, чтобы
существовали конечные пределы
f ( x)
lim
k,
x x
f ( x)
k,
lim
x x
lim ( f ( x) kx) b
x
lim ( f ( x) kx) b
x