Спектр и резольвента. Нормированные пространства и л.н.о

1.

Нормированные пространства и л.н.о.

2.

Определение. Пусть A : X Y , оператор А
называется компактным, если всякое
ограниченное множество М Х переводит
в предкомпактное А( М ) Y ( т.е. из всякой
ограниченной последовательности
этого множества можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность
yn A(M ) yn : yn y0 A( M ), k ).
Примеры компактных операторов:
1. Конечномерный оператор:
А(М) – к/м лин. п/пр в Y.
2. Оператор типа Вольтерра.
3. Тождественный оператор компактен в к/м
нормированных пространствах.
k
k

3.

1) Конечно мерный
X Y C[0,1]; A : X X ;
оператор:
Ax (t ) 0 1 ts3 x( s) ds (imA Sp(1, t ));
Ax (t ) sin t x(1) im ( A) Sp(sin t ) ;
1
X Y l2 ;
Ax (2 x2 ; 3 x2 ; 0; ix5 ;0;0;0;0;0....)
2)
im ( A) Sp(e1; e2 ; e4 ),
e1 (1,0,0,0,....); e2 (0,1,0,0,...)
Оператор типа Вольтерра:
X C[0,1]; Y C 1[0,1];
Ax (t ) 0 k (t , s) x( s) ds, k (t , s) C[0,1]2 ;
t
Тождественный оператор
X=Y=R; Ax=x ⟶ y=Ax; y=x;
3)

4.

Рассмотрим операторное уравнение II рода
в банаховом пространстве Х
х Ах у; х, у Х , С
Регулярное значение С называется
регулярным числом оператора А, если
оператор (λI-A) является изоморфизмом,
т.е. оператор (λI-A)-1 - л.н.о.
Резольвентное множество, ( А) С – это
множество регулярных значений.
Спектр оператора А – это множество ( А) С \ ( A)
Резольвента оператора А – это отображение
Rλ(A)=(λI-A)-1 , ( А)

5.

Если линейный оператор
непрерывен, то его спектр непуст,
ограничен и замкнут.
Если л.н.о. компактен, то его
спектр не более чем счетен.
Ноль всегда принадлежит спектру
компактного оператора.
Радиус наименьшего круга,
содержащего спектр, является
спектральным радиусом r ( A)

6.

Найти спектр, резольвенту, резольвентное
множество л.н.о. А:
1. X Y C[0,1]; ( Ax)(t ) (3t 2 8t 3) x(t )
1
2. X Y C[0,1], ( Ax)(t ) t 6 s 3 x(s) ds
0
it
X
Y
C
[
0
;
2
];
(
Ax
)(
t
)
e
x t
3.
4. В вещественном пространстве C[0, ]
найти с.з. и с.в. оператора (Ax)(t) = x , если
DA = {x C[0, ] x C[0, ] & x(0) = x( ) = 0}.

7.

1)
A : X X , X C[0,1]
x(t ) ( Ax)(t ) y (t ), t [0,1]
x(t ) (3t 2 8t 3) x(t ) y (t )
x(t ) (3t 2 8t 3) y (t )
y (t )
x(t )
, C , t [0,1];
2
(3t 8t 3)
определим значения ф. (3t 2 8t 3) на [0,1] :
t [0, 1] значения ф. g (t ) 3t 2 8t 3 [ 3; 8], тогда,
если [ 3;8], то t0 [0,1] : (3t0 8t0 3) 0
2
x(t ) C[0,1] , y C[0,1] ( А) [ 3; 8]
y (t )
Резольвента : I A ( y (t ))
(3t 2 8t 3)
резольвентное множество : ( А) С \ [ 3;8]
1
спектральный радиус r ( A) 8

8.

1
1
6 3
t
s y ( s ) ds, t [0,1]
( 0,1) 0
y
Ay
I
A
x
R ( A) ( I A) 1
( 0,1)
( 0,1)
x(t )
2) X Y C[0,1]
( Ax)(t ) t 6 s 3 x s ds
1
0
1
y (t )
операторное уравнение 2 рода :
( А) {0; 0,1}
x(t ) t 6 s 3 x s ds y (t ), t [0,1]
1
0
x(t ) t 6 s 3 x( s ) ds y t ; C s 3 x( s ) ds;
1
1
0
0
r ( A) 0,1
( A) C \ {0; 0,1}
x(t ) C t 6 y (t ), t [0,1]
x(t )
1
y
C
t 6 , t [0,1], C любое число;
С ???
x(t ) C t 6 y (t ) | * t 3 и проинтегрируем по t на [0,1]
1
1
1
1
0
0
0
0
t 3 x(t ) dt C t 9 dt t 3 y (t ) dt s 3 y ( s ) ds
1
C 0,1C s 3 y ( s ) ds
0
1
1
C
s 3 y ( s ) ds
0,1 0

9.

5. X = Y= C[0, 1], (Ax)(t) = x (t). Найти спектр
(А), если
DA = {x C1[0, 1] x(0) = 0}.
DA = C1[0, 1].
6. X=Y= C[- , ]. Найти с.з. и с.в. оператора
(Ax)(t) = x(-t).
7. Найти спектр и резольвенту л.н.о.
X Y C[ 1, 0]; ( Ax)(t ) t 2 x(0) 2 x( 1)
8. Найти спектр и резольвенту л.н.о.:
X=Y=l2; Ax = {x1 + x2, i(x1 + x2), 0, 0, …}

10.

Теорема. (A N(X - б.п.) & A <1)
k
A
(ряд Неймана = (I-A)-1 N(X) &
k 0
(I-A)-1
1
).
1 || A ||
Следствия:
1. Ряд Неймана для резольвенты.
(A N(X - б.п.) & A < )
Ak
k 1 = ( I-A)-1 N(X) &
(ряд Неймана
k 0
1
( I-A)-1 | | || A || ).

11.

1) A N ( X б.п.) || A || 1 ( X б.п.) N ( X ) б.п. всякий абс сх ся ряд сх ся
1
в N ( X ) : || A || || A ||
ряд Неймана
1 || A ||
k 0
k 0
ряд Неймана сх ся;
k
k
A
k
сх ся абсолютно в б.п. N ( X )
k 0
2) A k ?
k 0
I A A
k
k 0
Ak Ak 1 ( I A) ( A A2 ) ( A2 A3 ) ... lim S n
n
k 0
lim I An 1 I .
n
Аналогично :
A I A I , тогда I A
1
k
k 0
3) || I A || || A || || Ak ||
1
k
k 0
k 0
1
.
1 || A ||
Ak .
k 0

12.

2. A N(X - б.п.)
спектр (A) ограничен: (А) B , A C,
т.е. r (A) A .
3. Если > А , то (А) и операторное
уравнение 2 рода x – Ax = y однозначно и
корректно разрешимо при любой правой
части.
4. Спектр л.н.о. А (А) замкнут
(резольвентное м. открыто).
5. Пусть X б.п., А N(X). Тогда спектр
(А) непуст.

13.

Разложить резольвенту в ряд Неймана:
1) X Y C[0,1]; ( Ax)(t ) sin t x(1)
4
2) X Y L1[0,1]; ( Ax)(t ) t 6 s3 x s ds
1
0
3) X=Y=l2; Ax = {x1 + x2, i(x1 + x2), 0, 0, …}

14.

1) X Y C[0,1]; ( Ax)(t ) sin
I A
1
Ak
k 1
k 0
I
A2
4
t x(1);
Ak
k 1
k 1
( Ax)(t ) ( x(1) C ) C sin
( A2 x)(t ) A( Ax)(t ) sin
4
4
t;
t ( Ax)(1) sin
t
1
2
t
2
C sin
sin
C
( Ax)(t )
4
4 2
4
2
2
A;
2
2
2
2
2
t
sin
( Ax)(t )
( A3 x)(t ) A( A2 x)(t ) sin
( A2 x)(1)
C
4
4
2
2
t
2
2
A и т.д.
A3
2
1
A
2
k
R ( A)
I
k 1
A | подставим в формулу ряда Неймана
k 1
1
2
k 1
( A) {0;
k 1
A
I
A
2
(
k 0
1
I A
1
2
2 ) k 1 1
1
2
}; ( A) C \ {0; 1 2}; r ( A)
2
I
A
(
1
)
2
1
2
;

15.

Исследовать методами функционального анализа
данное уравнение, например, интегральное
уравнение Фредгольма 2-го рода ( I - K)x = y в
н.п. <X, . Х>:
1. Доказать действие оператора К:X X.
2. Оценить норму K и доказать непрерывность
о. К.
3. Доказать компактность о. К.
4. Решая уравнение ( I - K)x = y, найти
резольвентное м. (К) и вычислить резольвенту
R (K); найти спектр (К).
5. Решить уравнение ( I - K)x = y при помощи
резольвенты.
6. Разложить резольвенту в ряд Неймана при
> K .
7. Найти приближенное решение уравнения
( I - K)x = y, взяв 3 первых члена разложения
резольвенты в ряд Неймана.

16.

Исследовать интегральное уравнение:
x(t ) t 6 s3 x s ds [0, 0.2] (t ), x L3[0, 1], 2
1
0
Введем обозначение: