Векторы в пространстве

1. Векторы в пространстве

2. Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая его
граничная точка является началом, а какая концом, называется направленным отрезком
или вектором
a
A
Начало вектора
B Конец вектора
AB либо а

3. Длина вектора

Е
К
Длиной вектора или модулем
ненулевого вектора называется
длина отрезка
|КЕ| = |KE| длина вектора КЕ
М вектор ММ - нулевой вектор
|ММ| = 0

4. Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых
L
с
K
b
A
Нулевой вектор считается
коллинеарным любому вектору
B
М

5. Сонаправленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие
одинаковое направление, называются
сонаправленными векторами
c ↑↑ KL
AB ↑↑ b
MM ↑↑ (любому
вектору)
L
с
K
b
A
М
B

6. Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие
противоположное направление, называются
противоположно направленными векторами
b ↑↓ KL
L
K
с
c↑↓ b
AB ↑↓ c
KL ↑↓ AB
A
B
b

7. Равенство векторов

Векторы называются равными, если:
1) они сонаправлены ;
2) их длины равны.
m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL
L
K
m
b
A
B

8.

Векторы в пространстве
С1
D1
A1
ABCDA1 B1C1 D1 прямоуголь ный параллелепипед.
B1
AB 3, BC 4, CC1 5.
5
Назовите векторы, равные векторам
D
A
3
С
B
4
AB, BC , CC1.
Назовите длины векторов :
AD, AA1 , AD1 , AC , BD1.

9. Сложение векторов Правило треугольника

b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
b
с
a
a + b =c

10. Сложение векторов Правило параллелограмма

b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
с
b
a
a + b =c

11.

Правило параллелепипеда
D
C
OD OA OB OC
B
О
A

12. Правило многоугольника

х =a + b + c + d + m + n
b
a
х
b
a
m
c
n
m
n
d
c
d

13. Вычитание векторов

b
Дано: a, b
a
Построить: n = a - b
Построение:
n
a-b=n
a
b

14. Умножение вектора a на число k

k·a = b,
|a| ≠ 0, k – произвольное число
|b| = |k|·|a|,
2a
если k> 0, то a ↑↑ b
a
если k< 0, то a ↑↓ b
-2a
Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:
1º. (kl)a= k(la) (сочетательный закон),
2º. (k+l)a= ka+la (первый распределительный закон),
3º. k(a+b) = ka+kb (второй распределительный закон).

15.

Компланарные векторы
Векторы называются компланарными,
если при откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.
Замечания
Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три
вектора считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов,
компланарна.

16.

Компланарные векторы
c
B1
D
C
Компланарные векторы
BB1 , OD и OE .
b
E
B
A
О
a
Некомпланарные векторы
OA, OB и OC .

17. Прямоугольная система координат

Тройка взаимно
перпендикулярных
координатных прямых с
общим началом
координат.
Впервые введена
Р.Декартом(1596-1650)

18. Координаты точки

Каждая точка в
пространстве
задаётся тройкой
чисел (x,y,z )
называемых
координатами точки
в пространстве

19. Координаты вектора

Векторы (i. j. k)
единичные векторы
Любой вектор можно
разложить по
координатным
векторам

20. Длина вектора