Алгебра для ОГЭ

1.

Некрасов В. Б., Санкт-Петербург
www.решуегэ.рф
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
1. Формулы сокращенного умножения
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
(a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab + b 2 )
2. Модуль числа
⎧ a, если a ≥ 0,
Определение: a = ⎨
⎩−a, если a < 0.
Основные свойства модуля:
1. | a | ≥ 0.
⎧| a | ≥ a,
3. ⎨
⎩| a | ≥ −a.
2. | a | = | − a | .
4.
| a | = a ⇔ a ≥ 0,
| a | = − a ⇔ a ≤ 0.
3. Степень с действительным показателем
a
x
x∈ ,
a∈
a∈
a∈ , a ≠ 0
a∈
x≥2
x сомножителей
x =1
x=0
a1 = a
a0 = 1
1
ax = −x
a
x∈ , x < 0
, a≠0
a≥0
a>0
ax
a x = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
m
, m, n ∈ , n ≥ 2
n
x=
x=
m
a n = n am
m
, m, n ∈ , m < 0, n ≥ 2
n
a>0
. x∈
1
a− x
x
a = lim a xn
ax =
.
∗)
n →∞
Свойства степени с действительным показателем
Пусть a > 0, b > 0, x ∈ , y ∈
a x ⋅ a y = a x+ y
a :a = a
x
y
(a )
x
∗)
y
{ xn }
=a
x− y
xy
. Тогда верны следующие соотношения:
ax = a y ⇔ x = y
(ab) x = a x ⋅ b x
( a : b) = a : b
x
x
a ≠1
x
ax > 0
― последовательность десятичных приближений числа
число знаков после запятой в десятичной записи числа x).
a >a
x
y
⇔ x> y
a >1
ax > a y ⇔ x < y
0 < a <1
x , взятых с избытком или недостатком (здесь n ―

2.

4. Корень n-ой степени из числа
Корнем n-ой степени (n ∈ , n ≥ 2) из числа a называется число, n-ая степень которого
равна a.
Арифметическим корнем четной степени n (n = 2k , k ∈ ) из неотрицательного числа a
называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
Основные свойства арифметического корня:
a ≥ 0:
a∈
( n a ) n = a,
n
a n = a,
:
n
an = | a | .
a ≥ 0, b ≥ 0 :
n
ab = n a ⋅ n b ,
a < 0, b < 0 :
n
ab = n − a ⋅ n −b ,
a ≥ 0, b ≥ 0 :
a n b = n a nb .
a < 0, b ≥ 0 :
a n b = − n a nb .
n
n
am =
( a)
n
m
,
m n
a = mn a .
a na
=
(b ≠ 0) .
b nb
n
a n −a
=
.
b n −b
5. Логарифмы
log a b = c ⇔ a c = b .
Определение логарифма:
a > 0, a ≠1
Основное логарифмическое тождество:
a log a b = b .
Основные свойства логарифмов
Пусть a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0, p ∈
. Тогда верны следующие соотношения:
log a ( xy ) = log a x + log a y
log a x p = p log a x
log a ( xy ) = log a x − log a y
log a p x = 1p log a x ,
log a x =
p≠0
logb x
logb a
x log a y = y log a x
6. Арифметическая прогрессия
an = a1 + d ( n − 1) .
a + an +1
, n≥ 2.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: an = n −1
2
a +a
Сумма n первых членов арифметической прогрессии S n = 1
n.
2
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными
также следующие формулы:
Sn =
2a1 + d (n − 1)
n;
2
Sn =
2an − d ( n − 1)
n;
2
ak + an = ak − m + an + m , m < k ;
2
an =
d=
an − k + an + k
, k < n;
2
an − ak
.
n−k

3.

7. Геометрическая прогрессия
an = a1q n −1 .
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Характеристическое свойство геометрической прогрессии: an2 = an −1an +1 , n ≥ 2 .
a − an q
, q ≠ 1.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии: S n = 1
1− q
При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными
также следующие формулы:
Sn =
a1 (1 − q n )
;
1− q
an2 = an − k an + k , k < n ;
ak an = ak − m an + m , m < k ;
| q | = n−k
8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S =
a1
.
1− q
9. Основные формулы тригонометрии
Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента
tg α ctg α = 1
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tg α = cos
α
1 + tg 2 α =
α
ctg α = cos
sin α
1 + ctg 2 α =
1
cos2 α
1
sin 2 α
Формулы сложения
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
tg(α + β) = 1tg− tgα+αtgtgββ
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
tg(α − β) = 1tg+ tgα−αtgtgββ
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
ctg(α + β) =
ctg α ctg β−1
ctg β+ ctg α
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
ctg(α − β) =
ctg α ctg β+1
ctg β− ctg α
Формулы тригонометрических функций двойного аргумента
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = 1 − 2sin 2 α
sin 2α = 1+2 tgtg2αα
cos 2α = 11+− tgtg 2 αα
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
tg 2α =
cos 2α = 2cos 2 α − 1
ctg 2α =
2
2 tg α
1− tg 2 α
ctg 2 α−1
2ctg α
Формулы понижения степени
sin 2 α = 1−cos2 2 α
2α
tg 2 α = 11+−cos
cos 2 α
cos 2 α = 1+ cos2 2 α
cos 2 α
ctg 2 α = 11+− cos
2α
3
an
.
ak

4.

Формулы приведения
Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения.
П р и м е р 1. cos ( π2 + α ) = cos π2 cos α − sin π2 sin α = − sin α .
Нет необходимости запоминать такое количество формул, так как их применение легко укладывается в следующую схему:
• определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции,
считая, что α ∈ ( 0; π2 ) ;
• определяется знак приводимой функции;
• определяется название приведенной функции по следующему правилу:
если аргумент приводимой функции имеет вид ( π2 ± α ) или ( 32π ± α) , то функция меняется
на кофункцию, если аргумент приводимой функции имеет вид (π ± α) , то функция названия не меняет.
П р и м е р 2.
3π
2
3π
2
tg( 32π + α ) = − ctg α
+ α ∈ ( 32π ; 2π ) (IV четверть);
+ α ∈ ( 32π ; 2π )
⇒ tg( 32π + α) < 0 ;
аргумент приводимой функции имеет вид ( 32π + α) , следовательно, название функции
меняется. Таким образом: tg( 32π + α ) = − ctg α .
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
sin α + sin β = 2sin α+β
cos α−β
2
2
sin( α+β )
tg α + tg β = cos
α cos β
sin α − sin β = 2sin α−β
cos α+β
2
2
tg α − tg β =
cos α + cos β = 2cos α+β
cos α−β
2
2
sin( α+β )
ctg α + ctg β = sin
α sin β
cos α − cos β = −2sin α+β
sin α−β
2
2
sin( β−α )
ctg α − ctg β = sin
α sin β
sin( α−β )
cos α cos β
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
cos α cos β = 12 (cos(α − β) + cos(α + β))
sin α sin β = 12 (cos(α − β) − cos(α + β))
sin α cos β = 12 (sin(α + β) + sin(α − β))
10. Производная и интеграл
Таблица производных некоторых элементарных функций
Функция
c
kx + b
x p , p ≠ 0, p ≠ 1
x
e
ax
ln x
Производная
0
k
px p −1
Функция
log a x
Производная
1
, x>0
x ln a
sin x
cos x
e
a ln a
cos x
tg x
− sin x
, x>0
ctg x
− sin12 x
x
x
1
x
4
1
cos2 x

5.

Правила дифференцирования:
( f ( x) + g ( x) )′ =
f ′( x) + g ′( x)
( cf ( x) )′ = cf ′( x)
( f ( x) g ( x) )′ =
f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x)
( )′ =
f ( x)
g ( x)
f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x )
[ f ( g ( x))]′ =
g2 ( x)
f ′( g ( x)) g ′( x)
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x) в его точке ( x0 ; f ( x0 )) :
y = f ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
Таблица первообразных для некоторых элементарных функций
Функция
a
x p , p ≠ −1
Первообразные
ax + C
x p+1
p +1
Функция
ax
Первообразные
ax
+C
ln a
+C
sin x
− cos x + C
1
x
, x>0
ln x + C
cos x
sin x + C
1
x
, x<0
ln( − x) + C
1
cos2 x
tg x + C
ex
ex + C
1
sin 2 x
− ctg x + C
Правила нахождения первообразных
Пусть F ( x), G ( x) ― первообразные для функций f ( x) и g ( x) соответственно, a, b, k ―
постоянные, k ≠ 0 . Тогда:
F ( x) + G ( x) ― первообразная для функции f ( x) + g ( x) ;
aF ( x) ― первообразная для функции af ( x) ;
1
k
F (kx + b) ― первообразная для функции f ( kx + b) .
b
Формула Ньютона-Лейбница:
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a
5