Решение логарифмических уравнений

1.

Решение
логарифмических
уравнений
Урок изучения новой темы

2.

Цель урока:
обобщить материал по свойствам
логарифмов, логарифмической функции;
рассмотреть основные методы решения
логарифмических уравнений;
развивать навыки устной работы.

3.

Вспомни и продолжи свойство!
log a (bc ) log a b log a c
b
log a
c
loga b loga c
r
log a b r log a b
log a r b
log
a
1
log
r
a
log c b
b
log c a
b

4.

Вычислите значения выражения
log 2 8
log
5
5
lg 100
log
7
1
log 5 125
lg 0 , 01
log 4 64
log
2
log
3
1
log 3
27
log 0 , 5 32
log 1 9
3
2
81
2 log 2 5
10
lg 15

5.

Вычислить значение выражения
log 8 16 log 8 4
log3 33 log3 11
lg 34 lg 3,4 lg 25 lg 4
log
log3 log3 27 log2 log2 16
3
2 log3 18
log 5 49
log 5 7
5
log 5 2 1
log 3 64
log 3 4

6.

Определение:
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком
логарифма или в основании логарифма
называются логарифмическими.
log
a
f ( x) b
log
f (x)
b a

7.

Методы решения ЛУ:
1.Применение определения
логарифма
2.Введение
новой переменной
Вид уравнения
log a f ( x ) b
log2a f (x) b loga f (x) c 0
3. Приведение к одному и
тому же основанию
4. Метод потенцирования
log a f ( x) log a g ( x)
5 Метод логарифмирования
обеих частей уравнения
6. Функциональнографический метод
log a f ( x) g ( x)

8.

2
3
log x 5 log 3 x 6 0
ÎÄÇ : x 0
Îáîçíà÷èì log3 x t
t 2 5t 6 0
t1 3, t 2 2
1) log3 x 3
3
x 3 27
2) log3 x 2
2
x 3 9
Îòâåò : 9;27.

9.

Решение простейшего логарифмического уравнения
log a f ( x) b, ãäå a 0, a 1
основано на применении определения логарифма и
решении равносильного уравнения
f ( x) a
Пример
log 2 3 x 5 4
3x 5 2 4
3x 16 5
3x 21
x 7
b

10.

Метод потенцирования
• Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не
содержащему их:
если loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х),
решив полученное равенство, следует сделать
проверку корней.

11.

Ïðèìåð :
log7 (3x 4) log7 (5 x 8)
3x 4 5 x 8
3x 5 x 8 4
2 x 4
x 2
Ïðîâåðêà : ïðè x 2
ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè óðàâíåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà
Îòâåò : íåò ðåøåíèé

12.

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными
основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к
одному основанию, используя формулы перехода
log c b
1
1
log a b
; log a b
; log a r b log a b
log c a
log b a
r
Ïðèìåð :
log 2 x 2 log 1 x 9 ;
2
ÎÄÇ : x 0
log 2 x 2 log 2 1 x 9;
log 2 x 2 log 2 x 9;
3 log 2 x 9 ;
log 2 x 3;
x 8 ÎÄÇ
Îòâåò : x 8

13.

Если в показатели степени содержится логарифм, то обе части уравнения
логарифмируют по тому основанию, которое содержится в основании
логарифма, находящегося в показателе степени.
x log 3 x 1 9;
ÎÄÇ : x 0, x 1
Ëîãàðèôìèð
óåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïî îñíîâàíèþ
log 3 x log 3 x 1 log 3 9;
(log 3 x 1) log 3 x 2;
log 32 x log 3 x 2 0;
ïóñòü log 3 x t , òîãäà
t 2 t 2 0;
t 1 2, t 2 1;
1) log 3 x 2;
1
9;
2) log 3 x 1;
x
1
x 3; Îòâåò : ;3.
9
3

14.

Для решения ЛУ графическим методом надо построить
в одной и той же системе координат графики функций,
стоящих в левой и правой частях уравнения и найти
абсциссу их точки пересечения
Пример
log3 х = 4-х.
• Так как функция у= log3 х возрастающая, а функция у
=4-х убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение
на этом интервале имеет один корень.

15.

16.

Домашнее задание
• П.19,№337,338(четн.)