Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации

1. 1.3. Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации

Для реализации принципа квантового усиления электромагнитных волн
используются переходы между уровнями в квантовых системах, то есть в
макросистемах, состоящих из большого числа микросистем. Как известно,
квантовые микросистемы описываются на языке квантовой механики, а их
совокупность – на основе подходов статистической физики. Существует такое
понятие, как чистый ансамбль
–
ансамбль тождественных изолированных
микросистем, который описывается единственной волновой функцией.
. В так
называемом смешанном ансамбле содержится совокупность нескольких чистых
ансамблей, каждый из которых описывался своей волновой функцией до
образования смешанного ансамбля из чистых. Смешанный ансамбль описывается
матрицей плотности r) , физический смысл элементов которой следующий.

2.

1. Диагональные элементы описывают распределение микросистем по
энергетическим уровням:
r kk = N k ,
Nk
k
где N k - число микросистем, находящихся в
k-м состоянии (на
k-м
энергетическом уровне), а сумма определяет общее количество
микросистем в ансамбле. Важное свойство матрицы r) :
Spr) = 1.
Недиагональные элементы r kn ( k n ) характеризуют связь между k-м и nм состояниями (переходы), и отличны от нуля в состоянии релаксации.
В стационарном состоянии r kn = 0 .
)
Зная r) , можно найти среднее по ансамблю значение физической величины F :
)
)
F = F r = (F r) ) = Sp (F r) ).
n,k
nk
kn
n
nn

3.

Уравнение движения для матрицы плотности смешанного ансамбля,
характеризующее временные изменения матрицы плотности, имеет вид:
dr = i r) )
[ , H ],
dt h
)
) )
)
где [r) , H ]= r) H - H r) - коммутатор оператора r) с гамильтонианом H .
r) не зависит от времени и
В стационарном состоянии матрица плотности
)
коммутирует с H . Это означает, что в энергетическом представлении
описываются диагональными матрицами:
H kn = End kn , r kn = f ( En )d kn .
)
H и r)

4. 1.3.1. Термостатированный ансамбль. Безизлучательные переходы

Рассмотрим систему частиц, находящихся при температуре T0. Пример:
кристалл рубина, представляющий собой кристаллическую матрицу Al2O3 (корунд),
в котором небольшая часть ионов Al (~ 3 10-4) замещена ионами Cr3+ (Al2O3:Cr3+).
Весь объем кристалла можно разбить на части, в каждой из которых находится один
ион Cr3+. Окружающая его решетка играет роль термостата, поддерживающего
температуру T0, и такая система частиц (в данном случае ионов Cr3+) называется
термостатированным ансамблем.
Если такую систему вывести из состояния равновесия, то распределение частиц
по уровням будет отличаться от больцмановского. Однако после прекращения
воздействия она будет стремиться к прежнему равновесному состоянию,
определяемому температурой термостата T0. Такой переход системы частиц из
неравновесного состояния в равновесное называется релаксацией.

5.

При релаксации система частиц обменивается энергией с термостатом. Этот
процесс будем характеризовать вероятностью mn перехода одной частицы в
единицу времени с уровня m на уровень n под действием термостата. При таких
переходах не происходит излучения или поглощения электромагнитного поля,
поэтому их называют безызлучательными, или тепловыми. Однако ясно, что на
самом деле, когда речь идет о твердом теле, при безызлучательных переходах
поглощаются или излучаются фононы.

6. 1.3.2. Описание релаксации

Если термостатированный ансамбль вывести из состояния равновесия, то он с
течением времени будет переходить в другое равновесное состояние. Однако уравнение
движения для смешанного ансамбля не может быть использовано для описания
процессов релаксации. Перепишем его в виде
r&kn =
i [) ) ] i
r , H = (r H - H r ).
kn
km mn
h
h m km mn
Для r kn в энергетическом представлении имеем:
H mn = 0, m n; H km = 0, k m;
H mn = En , m = n; H km = Ek , k = m;
r& kn = i (r kn En - Ek r kn ) = i r kn ( En - Ek ) = - i ( Ek - En ) r kn .
h
h
Обозначая ( Ek - En ) h = wkn , получаем:
r&kn + iwknrkn = 0 .
h

7.

Запишем это уравнение отдельно для диагональных и недиагональных элементов:
r& nn = 0, r nn = const ,
r& kn + iwkn r kn = 0, r kn = Ckn exp(-iwknt ) .
Из этого решения следует, что модуль r kn = Ckn = const и от времени не зависит. Однако
эксперимент показывает, что при приближении системы к состоянию равновесия все
недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Это связано с тем, что в
действительности рассматриваемые нами микросистемы взаимодействуют с термостатом.
r kn
Учтем действие термостата феноменологически. Опыт показывает, что
стремится к нулю по экспоненциальному закону. Это можно учесть добавкой слагаемого
r kn / t kn в уравнение для недиагональных элементов:
r& kn +
r kn
+ iwkn r kn = 0 ,
t kn
где t kn - время релаксации, определяемое из эксперимента. Решение
следующее:
данного уравнения
r kn (t ) = Ckn exp(-t / t kn ) exp(-iwknt ) ,
причем r kn = Ckn exp(-t / t kn ) . За время t kn элементы матрицы плотности по модулю
уменьшаются в e раз. Числа t kn образуют квадратную матрицу, ввиду самосопряженности
)
матрицы r являющуюся симметричной:
t kn = t nk .

8.

Обратимся теперь к уравнению для диагональных элементов. Примем, что
действие термостата состоит в индуцировании переходов между различными
состояниями системы. Пусть kn - вероятность перехода под действием
термостата для одной частицы в единицу времени с уровня k, характеризуемого
энергией Ek , на уровень с энергией En
(рис. 1.3.1). У нас r kk
-
относительное число частиц на k-м уровне.
En
Ek
Рис.1.3.1. Переходы между уровнями, индуцируемые термостатом

9.

Относительное число частиц, перешедшее с уровня k на уровень n, будет
равно
kn r kk
. Общее относительное число частиц, перешедшее в единицу
времени с уровня k на все n-е уровни, будет равно
kn rkk
.
n
Найдем также число частиц, приходящих на k-й уровень:
nk rnn
. В
n
результате для скорости изменения числа частиц на уровне k получаем уравнение:
r kk = ( nk r nn - kn r kk ) .
(1.3.10)
n k
Это уравнение и обобщает исходное соотношение,
i
r kn = r , H =
kn
i
( r km H mn - H km rmn ) ,
m
на случай системы, взаимодействующей с термостатом, для диагональных
элементов матрицы плотности.

10.

В частном случае термодинамического равновесия
r) = r) e и не зависит от
времени. Поэтому сумма в правой части равна нулю. Обычно постулируется, что в этой
сумме равно нулю каждое слагаемое:
e
e
nk r nn
= kn r kk
.
Это равенство выражает принцип детального равновесия и ограничивает возможные
значения nk . При учете только тепловых переходов
e
e
r nn
и r kk могут быть найдены из
закона Больцмана:
E
E
nk exp - n = kn exp - k ,
kT
kT
-
nk = kn exp En Ek .
kT
Таким образом, вероятность тепловых (или безызлучательных) переходов сверху
вниз всегда больше, чем для переходов снизу вверх.

11. 1.3.3. Общие уравнения для матрицы плотности

В общем случае квантовая система находится во взаимодействии с
внешним полем, и ее гамильтониан может быть представлен в виде:
) )
)
H = H0 + V ,
)
)
где H 0 - гамильтониан невозмущенной системы и
V - оператор
взаимодействия с внешним полем. В результате общее уравнение движения
для матрицы плотности может быть представлено в виде:
)
dr) i ) )
i
= [r , H 0 ]+ [r) ,V ]+ члены, ответств. за взаимодействие с термостатом.
dt h
h

12.

Распишем
это
уравнение
отдельно
для
диагональных
и
недиагональных элементов:
dr mm
i
= ( r nn nm - r mm mn ) + ( r msVsm - Vms r sm ),
dt
hs
n m
dr mn r mn
i
+
+ iwmn r mn = ( r msVsn - Vms r sn ),
dt
t mn
hs
и дополним уравнениями:
e
e
nk r nn
= kn r kk
,
t nm = t mn ,
)
Spr = 1.
Данная
система
уравнений
позволяет
анализировать
динамику взаимодействия системы частиц с термостатом и
внешним полем.

13. Задача 3_1

Для
трехуровнего
ансамбля
частиц,
находящегося
в
стационарном состоянии, населенности уровней составили
N1 = 13 1020 м-3, N2 = 5 1020 м-3 и N 3 = 7 1020 м-3.
Найдите
ансамбля.
все
элементы
матрицы
плотности
данного