Квантовая механика

1.

Тема. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
29

2.

Спектр излучения атома водорода
6563 Å
4862 Å
4340 4102
Фотоэффект
λ

3. Для описания явлений микромира ( масштаб < 10-10 м) необходим квантовый подход!

Для описания явлений микромира
( масштаб < 10-10 м)
необходим квантовый подход!
Свяжем теорию с практикой …

4.

§1. Корпускулярные свойства
излучения

5.

Фотоэффект испускание
электронов
веществом
под
действием
электромагнитного излучения (фотонов) (открыт в 1887 Г. Герцем,
исследован А. Г. Столетовым в 1888 г.).
I
Iн
I0
-UЗ
U
0
Зависимость
силы
фототока
приложенного напряжения.
от

6.

I
Формула Эйнштейна для
фотоэффекта
m
h Aвых
2
2
max
U
-UЗ 0
h кр Aвых
m
eU з
2
2
max
Красная граница фотоэффекта - минимальная частота
(максимальная длина волны) света, при которой ещё
возможен внешний фотоэффект, то есть конечная
кинетическая энергия фотоэлектронов меньше нуля.
Эйнштейн
Альберт
(1879 – 1955)

7.

Идея Ленарда-Планка-Эйнштейна о квантовой природе излучения
луч
М.Планк:
ε=hν
частота света
h En Em Enm
Планк (Planck)
Макс
(1858 – 1947)

8. Образование спектральных серий излучения (атом водорода)

h En Em Enm

9.

Характеристики фотона
Энергия:
h
;
2
h
частота
Масса:
h=6,63 .10 -34 Дж . с
циклическая
частота
h mc ;
Масса покоя:
постоянная Планка
2
h
m 2
c
m0 m 1 2 / c2 0
h
;
Импульс: p mc
c
p
h
длина волны
p
( c)
2
k
волновое число

10.

§2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
Проявления волновых свойств частиц
8

11.

Корпускулярные свойства ЭМВ
Энергия
Волновые свойства частиц
Частота
h
E
h
Импульс
Длина волны
p
h
h
Б
p
длина волны де
Бройля
Корпускулярно-волновой дуализм - лежащее в основе
квантовой механики положение о том, что в поведении
микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и
волновые черты.

12. Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b)

Картина дифракции электронов на
поликристаллическом образце при длительной
экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b)
Опыты по дифракции более тяжелых частиц – нейтронов и
молекул – на кристаллах полностью подтвердили гипотезу
де Бройля.

13.

§ 3. Особенности описания движения
микрочастиц.
Соотношения неопределенностей

14.

Дифракция электронов на одной и двух щелях
φ
I
Приписать
отдельным
электронам
определенную траекторию невозможно!

15. Дифракция электронов на щели График справа – распределение следов электронов на фотопластинке

Задать одновременно положение электрона и его импульс
невозможно!
В отличие от классической
механики, при описании
поведения
микрочастиц
существует
принципиальный
предел
точности, с которой физич.
величины
могут
быть
указаны и измерены.
Количественные
соотношения, выражающие
этот принцип, называют
соотношениями
неопределенностей.

16.

Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
р
p x x
2
Δрх
Δх
px p sin 1
Соотношение
неопределенностей Бора
p y y
2
E t
2
pz z
2
Гейзенберг
(Heisenberg) Вернер
(1901 – 1976)
Бор (Bohr)
Нильс Хендрик Давид
(1885 – 1962)

17.

В природе объективно не существует состояний
частицы с точно определенными значениями х и рх.
px x
2
• Для измерения энергии с
погрешностью
ΔЕ
необходимо
время,
не
меньшее
t
E
• Естественное
уширение
спектральных линий ΔЕ
связано с временем жизни
атома в
возбужденном
состоянии:
Е

18.

ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ
методологический
принцип,
сформулированный
Нильсом
Бором
применительно к квантовой физике, согласно которому, для того чтобы
наиболее адекватно описать физический объект, относящийся к микромиру,
его нужно описывать во взаимоисключающих, дополнительных системах
описания, например одновременно и как волну, и как частицу.
«…Признается допустимым взаимоисключающее употребление двух
языков, каждый из которых базируется на обычной логике. Они описывают
исключающие друг друга физические явления. Принцип дополнительности - это
признание того, что четко построенные логические системы задают модели,
которые ведут себя и как внешний мир, и не так. Одной логической конструкции
оказывается недостаточно для описания всей сложности микромира.
Требование нарушить общепринятую логику при описании картины мира со
всей очевидностью впервые появилось в квантовой механике - и в этом ее
особое философское значение..».
Н. Бор.
ГЁДЕЛЬ
(Godel) Курт (1906-1978) — австр. логик
и математик.: «..если … формальная
система непротиворечива, то она
неполна. «

19.

§3. Уравнение Шрёдингера
Шрёдингер (Schrödinger)
Эрвин
(1887 – 1961)

20.

Движению частицы Шрёдингер сопоставил плоскую волну:
( x, t ) Ae
i ( t kx )
По формуле Эйлера :
e i cos i sin
( ( x, t ) A cos( t kx))
2 E E
2
;
h
2 h p
k
;
h
( x, t ) Ae
i
( px Et )
волновая функция – решение ур.
Шредингера
2
p
При наличии внешнего силового поля :
E U.
2m
2
U i
2m
t
2
d 2m
2 ( E U ) 0
2
dх
2
- уравнение Шрёдингера
- уравнение Шрёдингера
для стационарных состояний
в одномерном случае

21.

Свойства волновой функции
( x, t ) Ae
i
( px Et )
1. Однозначна и непрерывна.
2. Физический смысл ВФ - вероятность обнаружения частицы
в объеме dV:
dP | |2 dV * dV
dP
p * | |2
dV
3. Условие нормировки:
- плотность вероятности
нахождения частицы
в
данной точке пространства
2
|
|
dV 1
V
Условие нормировки отражает факт реальности существования
рассматриваемой частицы: вероятность обнаружить ее «хоть гденибудь» во всем пространстве равна 1.

22. Аппарат квантовой механики

2m
2 ( E U ) 0
2
(подставляем U(r) + граничные
условия, и решаем)
Получаем:
{E1 , E2 ,.....,En }
( спектр энергий )
( x ,t ) 0
i
( px Et )
e
dP | | dV * dV
2
hv En Em
( спектр излучения )
| |
2
0
dV 1

23.

§ 4. Уравнение Шредингера для атома
водорода. Квантовые числа
13

24.

n=∞
U Е, эВ
2m
2 ( E U ) 0
2
0
-1,5
n=4
n=3
n=2
-3,4
e2
U k
r
r
-13,6
n=1
1. E > 0 - значение энергии изменяется непрерывно.
2. E < 0 - энергия изменяется дискретно:
k 2 me4
En 2 2
2 n
n = 1,2,3,.. - главное
квантовое число
определяет энергию
электрона

25.

Решение уравнения Шредингера для электрона
в атоме водорода:
(r , , ) Ae r / r eim
0
2r
a j
j 0
r0
n l 1
l j
l |m|
sin |m| b j cos j
j 0
n = 1,2,3,.. - главное квантовое число
θ
φ
r
l = 0,1,2,3,…,(n-1) - азимутальное
(орбитальное)
квантовое число
m = 0,±1,±2,±3, …, ±l - магнитное
квантовое число

26. Физический смысл (n, l, m) в атоме водорода

Главное квантовое число n
определяет энергию уровня:
Орбитальное кв. ч. l
определяет модуль момента
импульса:
Магнитное кв. ч. m
определяет направление L проекцию момента
импульса на ось OZ :
2
4
k me
En 2 2
2 n
L l (l 1)
n = 1,2,3,..
l = 0,1,2,3..,(n-1)
Lz m
m = 0, ±1, ±2, ±3, …, ± l

27.

l = 0,1,2,3,…,(n-1)
Азимутальное квантовое число
Орбитальный
момент импульса
L l (l 1)
L
Кв. число l
Состояние (a)
0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
na - обозначение состояний : 2s, 3p (m=0,1,-1)
Магнитное квантовое число
m = 0, ±1, ±2, ±3, …, ± l
Проекция момента импульса
Lz m

28.

§ 5. Спин элементарных частиц.
Фермионы и бозоны.
Принцип Паули
17
Паули
Вольфганг Эрнст
(1890 – 1958)

29.

Из опыта:
электрон обладает собственным
моментом импульса - спином
S s(s 1) ;
s – спиновое число
s = 1/2
z
Проекция спина:
ħ/2
S
0
-ħ/2
S z ms
1
ms s
2
спиновое
квантовое
число

30.

Ферми-частицы (фермионы) – частицы с полуцелым спином:
лептоны (в том числе, электроны), нуклоны (s = 1/2), ядра с
нечетным числом нуклонов (s = 1/2;3/2;5/2,..)
Подчиняются принципу Паули.
Принцип Паули
В одном и том же атоме (или какой-либо другой квантовой
системе) не может быть двух электронов (либо других частиц
с полуцелым спином), обладающих одинаковой совокупностью
квантовых чисел {s, l, m, n} .
Бозе-частицы (бозоны) – частицы с целочисленным спином
или спином, равным нулю: мезоны (s = 0), фотоны (s = 1), ядра с
четным числом нуклонов (s = 0 или 1).
Бозоны не подчиняются принципу Паули: в любом квантовом
состоянии может находиться неограниченное число бозонов.

31.

S s(s 1) ;
1.
2.
3.
4.
Для электрона и других легких
частиц (позитрон, мюоны,
нейтрино)
Для средних частиц
(мезонов)
s = 1/2
s=0
s = 1/2
Для нуклонов (протон,
нейтрон)
Для фотонов
s=1
Для ядер:
- с четным числом протонов и четным числом
нейтронов
s = 0 или 1
- с четным числом нуклонов (протоны плюс
нейтроны)
- с нечетным числом нуклонов
s=0
s = 1/2;3/2;5/2,..
полуцелый спин

32. Квантовая механика (итог)

- Описывает процессы микромира (физика атома и ядра)
- У квантовых объектов (например, электрон в атоме) свойства
волны и частицы находятся в единстве
- Все законы квантовой механики имеют вероятностный
характер, точные значения всех ФВ принципиально неизвестны:
рх х
Е t
- Значения всех ФВ (энергия, импульс, момент импульса и др.)
квантуются.
- Существует ряд ограничений: принцип Паули, правила отбора
при квантовых переходах,
невозможность одновременного
измерения 2 ФВ