Скалярное произведение векторов

1.

2.

Угол между векторами
b
a
a
b
Лучи ОА и ОВ образуют АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой
Угол между векторами и
равен

3.

Найти углы между векторами
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 .

4.

№ 441 (а – г)
АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между
векторами.
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B

5.

№ 442 Угол между векторами АВ и СD
равен . Найдите углы между векторами
B
А
j
j
(A)
O (C)
D
C

6.

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Скаляр – лат. scale
– лестница, шкала.
Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

7.

Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
F
j
M
N
работа A постоянной силы F при
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos j
A = F MN

8.

a b = 900
b
a
Если векторы a и b перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
Обратно: если a b =
перпендикулярны.
0 , то векторы a и b

9.

b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда
угол между векторами

10.

b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол
между векторами

11.

Если
a
b
a b = 00
b
a
a b =
b
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b

12.

a a = 00
a
1
Скалярное произведение
скалярным квадратом вектора
называется
и обознач

13.

Скалярное произведение векторов
а х1; у1; z1
b х2 ; у2 ; z2
а b х1 х2 у1 у2 z1 z2

14.

а b а b cos a, b
cos a, b
а b
а b
х1 х2 у1 у2 z1 z2
х у z х у2 z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2

15.

№ 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите
скалярное произведение векторов
AC C A
D B AC
BA BC
D1
AD B1C1
1
1
C1
O1
A1
B1
1
1
a
1
A1O1 A1C1
D1O1 B1O1
BO1 C1B
D
300
A
a
B
C

16.

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0
A
M
D
B
N
C

17.

xOy
I
Маленький тест
На каком расстоянии от плоскости
находится точка А(2; -3; 5)
z
3
3
I
I
I
I
I
O
I
5
I
2
ВЕРНО!
I
2
I
1
ПОДУМАЙ
!
I
I
M
Проверка
I
I
ПОДУМАЙ
!
x
Oxy
I
I
I
y

18.

I
z
I
На каком расстоянии от начала координат
находится точка А(-3; 4; 0)
А
I
ВЕРНО!
5;
I
1
4;
I
I
O
I
2
ПОДУМАЙ
!
I
3.
I
3
ПОДУМАЙ
!
Проверка
x
Oxy
I
I
I
I
y

19.

Найти координаты середины отрезка, если концы его
имеют координаты
A(-3; 2;-4)
и
B(1;-4; 2)
C( -3 + 1 ;2+(-4); -4+2 )
1
C(-2; 1;-1)
2
C(-1;-1;-1)
3
C(-2;-2;-2)
Проверка
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ
!
2
2
2

20.

Дан квадрат АВСD.
Найдите угол между векторами АС и DA.
В
С
А
D
ВЕРНО!
1
1350;
2
450;
ПОДУМАЙ
!
3
900.
ПОДУМАЙ
!
Проверка

21.

I
I
I
Скалярное произведение координатных
векторов k и j :
z
равно нулю, т.к. угол
между векторами прямой
–1
3
0
ПОДУМАЙ
!
I
I
i
ВЕРНО!
I
I
I
O
I
2
k
I
1
I
1
ПОДУМАЙ
!
Проверка
x
I
j
I
I
I
y

22.

Скалярный квадрат вектора
ВЕРНО!
1
49
2
7
ПОДУМАЙ
!
3
1
ПОДУМАЙ
!
Проверка
равен:
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
(7i)2 = 7i 2 = 72 = 49

23.

Записать координаты вектора n
ПОДУМАЙ!
1
n {-8; 1; 0}
2
n {1;-8; 0}
3
n {1; 0;-8}
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
= – 8j + i

24.

Найдите угол между векторами
m n = –15,
ПОДУМАЙ!
1
500
ПОДУМАЙ!
2
3
600
1200
Проверка
ВЕРНО!
m = 5,
m и n, если
n = 6.

25.

ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 1.
Найдите скалярное произведение векторов AD1
и ВС .
2
0
BC1 BC BC1 BC cos 45 1 2
1
2
1
2
4;
2;
ПОДУМАЙ
!
D1
A1
3
B1
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
C1
D
1.
C
Проверка (3)
A
B

26.

1) Какие операции над векторами мы можем
выполнять?
- Сложение, вычитание, умножение на число
и скалярное произведение векторов.
2) Скажите, что нужно знать для нахождения
скалярного произведения?
- Длины векторов и угол между ними
3) Чем отличаемся изученное действие от
предыдущих?
- В результате получается всегда число.

27.

a b a b cos
a b 0
Если
a b, то
Если
a b , то cos180 1 a b a b
Если
а b
Если
cos 90 0
0
0
, то cos 0 1
0
a b a b
2
a b , то a b a a a a a a
2