Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

1.

2.

11
12
Угол между векторами
1
10 А
2
В
a
9
b
a
b
a b= a
3
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
8
a
4
7
5
Угол между векторами
равен a
6
aи b

3.

Угол между векторами
b
a
Градусная мера угла a не
зависит от выбора точки О,
от которой откладывают
a
О2
векторы
aиb
b
a
a
a
b
О1
Обоснуем это с помощью
рисунка.

4.

Найти углы между векторами.
f
a
a
d 30
c
b
a b = 300
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00

5.

№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О.
Найдите углы между векторами.
0
АВ, АС = 45
С
В
0
АВ, DА = 90
OА, OB = 900
О
OА, OС = 180
А
0
D
АC, BD = 90
0
АD, DB = 135
АO, OC = 0
0
0

6.

№ 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О,
диагональ ВD равна стороне ромба.
Найдите углы между векторами.
С
ВDC р / ст
АВ, АD = 60
0
АВ, DА = 120
0
BА, AD = 1200
В
О
D
OC, OD = 90
0
АB, DC = 00
А
АB, CD = 1800

7.

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a b cos(a b )

8.

0
a b = 900
b
a b = a b cos 900 = 0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b = 0 , то векторы a и b
Обратно: если
перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b =0
a ^b

9.

a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

10.

a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

11.

Если
a
b
a b = 00
b
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

12.

a a = 00
a
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

13.

Определите знак
скалярного произведения.
a a > 0
350
c
a c = 0
c b < 0
b
n
a b > 0
a
a n < 0
c n = 0
b n < 0

14.

Скалярное произведение в физике
F
j
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
работа A постоянной силы F при
N
M
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos j
A = F MN

15.

АВC р / ст., МN средняя линия
В
Найти скалярное произведение векторов
2
M
2
MB cos MN, MB =
= 2 2 cos 60 = 4 1 = 2
2
MN MB = MN
N
0
А
4
С
CA cos MN, CA =
= 2 4 cos 180 = 8 (-1) = –8
MN CA = MN
0
CB cos NM, CB =
= 2 4 cos 60 = 8 1 = 4
2
NM CB = NM
0

16.

АВC р / ст., D средина АС
В
Найти скалярное произведение векторов
CB BC = – BC BC = – BC =
CB CB = CB2 = CB 2 = 42 =16
4
2
А
С
D
CB cos AC, CB = 4 4 cos 1200 =
= 16 (– cos 600) = 16 (– 1 ) = – 8
2
AC CB = AC
– BC 2 = – 42 = –16
AC BD = 0
т.к. AC ^ BD

17.

Заполните пропуски, чтобы получилось верное
высказывание
…0
АС, СВ = 90
1500
АВ, СА = …
А
300
АВ, СВ = 60
…0
6
т.к. CВ ^ СА
0
CВ CА = …
АВ ВА = …
– BА BА = – BА2 =
В
С
– BА 2 = – 62 = –36

18.

Маленький тест
ВС ВА =
1
2
9 3
9
ВС
ВА
ПОДУМАЙ
!
cos ВС, ВА = 6 3 cos 600 = 18 12
В
600
ВЕРНО!
6
300
3
18
Проверка
ПОДУМАЙ
!
С
А

19.

Скалярное произведение векторов
АС и ВА : отрицательно, т.к. угол между
векторами тупой
В
ВЕРНО!
1
2
3
6
отрицательно;
300
ПОДУМАЙ
!
С
положительно.
ПОДУМАЙ
!
равно нулю;
Проверка (2)
А

20.

Скалярное произведение координатных векторов
i и j : равно нулю, т.к. угол между
векторами прямой
y
1
1
ПОДУМАЙ
!
j
2
–1
3
0
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
Проверка
О
x
i
1

21.

Скалярный квадрат вектора i равен:
ВЕРНО!
1
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
1
2
–1
3
0
Проверка
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
i 2 = i 2 = 12 = 1

22.

a b = 12,
12
a = 33,
то векторы a и b :
b = 4,
4
Если
ВЕРНО!
1
сонаправлены;
2
перпендикулярны;
3
a b = a b cos a b
12 = 3 4 cos a b
ПОДУМАЙ
!
противоположно направлены.
cos a b = 1
0
a
b
=
0
ПОДУМАЙ
!
Проверка (4)
если
a
b

23.

x y = –20
–20, x = 44,
то векторы x и y :
y = 5,
5
Если
x y = x y cos x y
1
2
3
ПОДУМАЙ
!
–20 = 4 5 cos x y
сонаправлены;
ПОДУМАЙ
!
перпендикулярны;
ВЕРНО!
противоположно направлены.
Проверка (4)
cos x y = –1
x y = 1800
если
x
y

24.

m и n, если
m = 5, n = 6.
Найдите угол между векторами
m n = –15,
1
2
3
500
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
600
1200
ВЕРНО!
Скалярное произведение ненулевых
векторов отрицательно тогда и только
тогда , когда угол между векторами тупой
Проверка

25.

a b = 12
12,
Если
a = 33,
b = 8,
8
то угол между векторами
равен:
a b = a b cos a b
ПОДУМАЙ
!
12 = 3 8 cos a b
a и b
1
300
2
600
3
1200
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ
!
Проверка (3)
cos a b = 12
a b = 600