Скалярное произведение векторов

1. Задание на 3 неделю по геометрии

1. Законспектируйте материал в тетрадь
2. Выполните в тетрадях №1 -8
3. Работы прислать к 18.00 23 апреля

2.

Скалярное
произведение векторов

3.

Угол между векторами
b
О
a
Угол между векторами
равен .
a b =
a
и
b

4.

Найдите угол между векторами
a b = 300
a
a c = 1200
d
300
c
b
f
b c = 900
d c = 1800
d f = 00

5.

Определение
Скалярным произведением двух
векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число
(скаляр).

6.

Частный случай №1
b
a b = 900
a
a b =
=0
a b cos 900 = 0
Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы перпендикулярны.
a b = 0
a b

7.

Частный случай №2
a b < 900
b
a
a b =
>0
a b cos > 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда, когда угол
между векторами острый.
a b > 0 a b < 900

8.

Частный случай №3
b
a b > 900
a
a b =
<0
a b cos < 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда, когда угол
между векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

9.

Частный случай №4
b
a b = 00
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
b
a b = 1800
a
a b =
-1
a b cos1800 = – a b

10.

Частный случай №5
a a = 00
a
a a =
1
a a cos 00 = a a
Скалярное произведение
a a
скалярным квадратом вектора
=
a
называется
a
и обозначается
a
2
2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
2
=
a
2

11.

Формула для нахождения
скалярного произведения
через координаты векторов
a = x1 i + y1 j + z 1 k
a b= ?
b = x2 i + y2 j + z 2 k
a b= (x1 i + y1 j + z1 k) (x2 i + y2 j + z2 k) =
= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

12.

Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b= -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41

13.

Пример №2
Найти скалярное произведение векторов:
a {0; 0; 4}
b {22; 1; 8}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b= 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32

14.

Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9}
b {-2; 4; 0}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26

15.

Скалярное произведение векторов
Через длины векторов и угол между
ними
в координатах
a b = a b cos(a b ) a b = x1x2+y1y2+z1z2
a b =0
a b
a b > 0 a b < 900
a b < 0 a b > 900
a2
=
a
2

16.

a {3; -4; 2}, b {-2; 1; 3}, c {-2;-1,5; 0}
Найдите
a b = 3 (-2) + (-4) 1 + 2 3
=-4
тупой
b c = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) + 3 0 = 2,5
острый
c a = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0 = 0
прямой
Перпендикулярны ли векторы
и
,
aи , b и b c c a
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
векторами
и
,
и
,
и
a b b c c a

17.

Косинус угла между ненулевыми векторами
a
и
b
выражается формулой
cos =
x1 x2 + y 1 y2 + z 1 z 2
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22

18.

Свойства скалярного произведения векторов
a b, c
Для любых векторов
,
справедливы равенства:
1
a 2 0
2
a b
3
(a + b) c
4
=
причем
b a
=
и любого числа
a 2> 0
при
k
a 0
Переместительный закон
a c + b
Распределительный закон
c
(ka) b = k(a b)
Сочетательный закон

19.

Решите в тетрадях
1. Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 10; 7}
b {0; 7; 0}

20.

2. Найти скалярное произведение векторов:
a {7; 25; 0}
b {11; 0; 54}

21.

3. Найти скалярное произведение векторов:
a {-1; 2; 8}
b {5; 5; 0}

22.

4. Найдите скалярное произведение a b, если:
a 6,
b 1, a ; b 135 .
5. Найдите скалярное произведение a b, если:
a 3, b 4, a ; b 120 .
6. При каком значении п векторы a {2п; –3; –6} и
b {3; –п; –3} будут перпендикулярными?
7. Найдите угол между векторами
{5;a –2; 7} и
b {7; 5; 2}.
8. Найдите угол между векторами a {2; 1; 1} и b
{–1; –1; 0}.