Семинар 14. Крутильные колебания стержня

1.

Семинар 14. Крутильные колебания стержня
Пример 2. Определить собственную частоту и форму крутильных колебаний системы
Iх = MR2 /2
GJк
д 2u 1 д 2u
2 2 0 (8.12а )
2
дx c0 дt
GJ к
c0
J 0
Начальные условия для определения собственных частот всегда нулевые
1) Граничные условия при
x =0 и x = l
д 2
д
(0, t ) 0, GJ к I x 2
дt
дx
(8.17)
( x, t ) ( x) sin t
Решение уравнения имеет вид
Подстановка (8.13а) в (8.12а) приводит к уравнению
0 (8.14) где
c0
2
(8.15)
( 8.13а )

2.

2 0 (8.14)
Общее решение (8.14) можно представить в виде
( x) C1 sin x C2 cos x
( 8.16)
2) Подставим (8.16) в краевые условия (8.17)
( 0) 0 C 2 0
( x ) C1 sin x ( 8.16а )
Подставим (8.16а) в краевые условия (8.17а)
GJ к I x 2 (8.17 а )
GJ к C1 cos L I x 2C1 sin L
C1 (GJ к cos L I x 2 sin L) 0

3.

3) Для того, чтобы у C1 было не нулевое решение необходимо
GJ к cos L I x 2 sin L 0
GJ к I x 2tg L
Делаем преобразования
2
GJ к I x tg L
c0
c0
GJ к 1
L
tg
I x c0
c0
L 1 GJ к 1 1 GJ к
tg
c0 I x c0 I x
L 1 GJ к
tg
c0 I x
tg
1
1 GJ к
GJ к I x
J 0
L
1 J 0 L
(8.18)
c0 L I x
c0
1
GJ к
J 0
J 0
J 0 L
1
J 0 L
tg
1 J 0 L
Ix
(8.18)

4.

4) Собственные частоты крутильных колебаний определяются из
численного решения уравнения
J 0 L
tg
(8.18а )
Ix
В правой части стоит отношение массового момент инерции стержня
и сосредоточенного диска
J 0 L / I x
0,01
0,10
0,1
0,32
0,5
0,65
1,0
0,86
2,0
1,08
5,0
1,32
10,0
1,57
L
c0
5) Собственные формы крутильных колебаний
k x
k ( x ) sin
(8.19)
c0