Расчет крутильных колебаний стержня

1.

Семинар 10. Расчет крутильных колебаний стержня
Пример . Определить собственную частоту и форму крутильных колебаний системы
(L )
Iх = MR2 /2
GJк
1. Записать уравнения
крутильных собственных
колебаний
C
д 2 1 д 2
2 2 0 (10.1)
2
дx
c0 дt
2. Решение уравнения имеет вид
( x, t ) ( x) sin t
3. Подстановка (10.2) в (10.1) приводит к уравнению
0 (10.3) где
2
c0
4. Записать общее решение (10.3) в виде
( x) C1 sin x C2 cos x ( 10.5)
(10.4)
GJ к
c0
J 0
( 10.2)

2.

Основные типы краевых условий для крутильных колебаний стержней
1. 0
при х =0 и х =L
д
2. GJ к
0 при х =0 и х =L
дx
д
при х =0 и х =L
3. GJ к
M
дx
д
4.1. GJ к
c 0 при х =0
дx
д
4.2. GJ к
c 0 при х =L
дx
2
д
д
при х =0
5.1. GJ к I x 2
дt
дx
д 2
д
5.2. GJ к I x 2
дt
дx
при х =L

3.

5. Записать граничные условия при x =0 и x = l
(0, t ) 0, при x 0
2
д
д
GJ к I x 2 c
дt
дx
при x L (10.6)
6. Подстановка (10.2) в граничные условия (10.6) приводит к выражению
(0) 0, при
x 0
GJ к ' I x 2 c при
x L (10.6а)
7. Решение для определения собственных частот , только когда
граничные условия при х=0 нулевые
( x) C1 sin x C2 cos x ( 10.5)
Подставим (10.5) в 1-ое граничное условие (10.6а)
(0) 0 C2 0
( x) C1 sin x ( 10.5а)

4.

Подставим (10.5а) во 2-ое граничное условие (10.6a)
( x) C1 sin x ( 10.5а)
GJ к ' I x 2 c при
x L (10.6а)
GJ к C1 cos L I x C1 2 sin L cC1 sin L
8. Для того, чтобы было не нулевое решение необходимо
GJ к cos L ( I x 2 c) sin L
Преобразования
GJ к
c0
J 0
c0
GJ к
J 0
GJ к
( I x c)tg
2
L
c0
: I x
J 0
GJ к

5.

9. Преобразования
GJ к
GJ к
Ix
J 0
GJ к
( I x c)tg
2
L
c0
: I x
J 0
GJ к
Ix
c
L
(
)tg
GJ к
I x
c0
J 0
J 0
c
L
(
)tg
J 0
I x
c0
GJ к

6.

Преобразования
GJ к
Ix
J 0
GJ к
J 0
c
L
(
)tg
J 0
I x
c0
Умножим обе части уравнения на L
J 0 L GJ к
c
L
L(
)tg
Ix
J 0
I x
c0
J 0 L
Ix
c
L
c0 L(
)tg
I x
c0

7.

J 0 L
Ix
J 0 L
Ix
Преобразования
L
cL
L
(
)tg
c0 c0 I x
c0
L
cL2 * c0
L
(
)tg
2
c0 Lc0 I x
c0
J 0 L
L cL * J 0 L * c0 L
(
)tg
Ix
c0
GJ k I x L
c0
J 0 L L cL J 0 L c0
L
(
)tg
Ix
c0 GJ k I x L
c0
J 0 L
Ix
cL J 0 L 1
(
)tg
GJ k I x

8.

J 0 L
Ix
1 отношение массового момента стержня
к массовому моменту диска
cL
0,1 отношение жесткости часовой пружины
GJ k
к крутильной жесткости стержня
10. Собственные частоты крутильных колебаний определяются из уравнения
J 0 L
Ix
cL J 0 L 1
(
)tg
GJ k I x
1
1
1 ( *1* )tg
10
11. Собственные формы крутильных колебаний
k ( x ) sin
k x
c0
(10.7)

9.

1-й частный случай с=0
J 0 L
Ix
L
cL
L
(
)tg
c0 c0 I x
c0
10. Собственные частоты крутильных колебаний определяются из
численного решения уравнения
tg
J 0 L
Ix
В правой части стоит отношение массового момент инерции стержня
и сосредоточенного диска
J 0 L / I x
0,01
0,10
0,1
0,32
0,5
0,65
1,0
0,86
2,0
1,08
5,0
1,32
10,0
1,57
L
c0
11. Собственные формы крутильных колебаний
k ( x ) sin
k x
c0

10.

2-й частный случай Ix = 0
J 0 L
Ix
J 0 L
Ix
J 0 L (
cL
L
(
)tg
c0 c0 I x
c0
cL
L
(
)tg
c0 c0 I x
c0
LI x
c0
L
L
/* I x
cL
L
)tg
c0
c0
cL2c0 L
cL2c0 J 0 L
J 0 L
tg
tg
2
Lc0
c0
LGJ k
c0
cL2c0 J 0 L
1 cL
J 0 L
tg
J 0 L * tg
LGJ k
c0
GJ k
cL L
J 0 L
tg
c0 c0

11.

10. Собственные частоты крутильных колебаний определяются из уравнения
1 tg
1
10
tg 10 0
11. Собственные формы крутильных колебаний
U k ( x) sin
k x
c0
L
c0