ЕГЭ по математике. Задание 6

1. Решение заданий типа №6

“Мало иметь хороший ум,
главное – хорошо его
применять.”
Р. Декарт

2.

Задание №6.
Основы геометрии. Чаще
всего встречаются задания на решение
треугольников, но знать надо все фигуры
планиметрии. Необходимые знания: виды
треугольников; понятия биссектрисы,
медианы, высоты; тригонометрические
функции и их значения; основное
тригонометрическое тождество; формулы
приведения; теорема Пифагора.
При правильном решении ответ получается
точно без корня.

3. Задача 1

В равнобедренном треугольнике ABC c
основанием AC боковая сторона АВ
равна 15,а высота, проведенная к
основанию, равна 9. Найдите косинус
угла А.

4. Решение

В
Решение
15
AH
Т.к cos
AB
(прилеж. катета/ гипотенузу)
Найдем АН.
По т.Пифагора из ∆ АВН:
АН АВ 2 АН 2
АН 225 81 144 12
cos A
9
А
, следовательно
12
0,8
15
Ответ: 0,8
H
С

5. Задача 2

В треугольнике АВС угол С равен 90 ,
11 ,
.
AC 10 3
sin A
14
Найти АВ.

6. Решение

А
Решение
10 3
Нам известен прилежащий катет,
следовательно зная синус угла А можно найти
его косинус.
По основному тригонометрическому
С
тождеству:
sin 2 cos 2 1
cos 1 sin 2
196 121
75 5 3
196 196
196 14
По определению косинуса: cos A AC ; AB AC
cos A
AB
cos
AB
10 3
14
10 3
28
5 3
5 3
14
Ответ: 28
11
sin A
14
В

7. Задача 3

В треугольнике АВС угол С равен
90 ,ВС= 8 6 ,АВ=20.
Найдите sinB.

8. Решение

А
Решение
20
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
Следовательно sin B
AC
AB
С
8 6
Найдем отрезок АС из ∆ АВС:
AC 400 64 6 4
Отсюда
sin B
В
4
0,2
20
Ответ: 0,2

9. Типичные ошибки при решении задания №6 в ЕГЭ

выпускник чаще всего может
перепутать катет с гипотенузой;
выпускник чаще всего не знает или
неверно записывает отношение
сторон при использовании
тригонометрических функций;

10.

b
cos
c
a
sin
c
a
tg
b
sin cos 1
2
2

11. Задача 4

В треугольнике АВС АС=ВС,
АВ=72, cos A 12
,CH-высота.
Найдите СН.
13

12. Решение

С
Решение
АН=36 (по свойству высоты равнобед.
треугол.)
Следовательно, по определению
А
косинуса, найдем АС.
АС
Н
АН
36
39
12
cos A
13
По т. Пифагора:
CH 392 362 225 15
Ответ: 15
В
72

13. Задача 5

В треугольнике АВС угол С
равен 90, АВ=15 , ВС=9.
Найти cos A.

14. Решение

А
Решение
15
По т.Пифагора из ∆ АВС, найдем АС.
АС AB2 BC 2 225 81 144 12
Отсюда, cos A AC
AB
cos A
С
12
0,8
15
Ответ: 0,8
9
В

15. Задача 6

В треугольнике АВС угол С
равен 90, AB 3 5
, AC=3.
Найдите tgA.

16. Решение

А
Решение
3 5
CB
tgA
AC
3
CB AB2 AC 2 9 5 9 36 6
6
tgA 2
3
Ответ: 2
С
В

17. Задача 7

В треугольнике АВС угол С равен 90,
СН-высота, ВС=10, СН=
3 11
Найти sin A.

18. Решение

А
Решение
Т.к.
sin A
CB
AB
Н
3 11
С
Из НВС по т.Пифагора найдем НВ:
НВ 100 99 1
По свойству высоты СН:
СН 2 НВ НА
СН 2
АН
99
НВ
АВ=100, следовательно
sin A
10
0,1
100
Ответ: 0,1
10
В

19. Задача 8

В треугольнике АВС угол С равен 90 ,
АВ 7 2 , ВС=7.
Найдите тангенс внешнего угла при вершине А.

20. Решение

В
Решение
7 2
По т.Пифагора найдем АС:
7
AC 49 2 49 49 7
BC
1
Найдем tgA
AC
Зная, что tg ˂BAM= - tg ˂ A
tg ˂ BAM= -1
Ответ: -1
М
А
С

21. Задания повышенного уровня

ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ:
Сумма противолежащих углов
четырехугольника, вписанного в
окружность, равна 1800.
2) Сумма углов треугольника равна 1800.
3) Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду,
равны.
1)

22. Задача 9*

Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
Угол АВС равен 105 , угол САD равен 35 .
Найдите угол АВD, ответ дайте в градусах.

23. Решение

1)Сумма противолежащих углов ABC и ADC
четырехугольника ABCD, вписанного в
окружность, равна 1800.
Следовательно,
ADC = 1800 - АВС= 1800 - 1050 = 750.
А
2) Сумма углов CAD, ADC, ACD треугольника
CDA равна 1800.
Следовательно,
ACD = 1800 - (CAD + ADC) = 1800 - (350 + 750) = 700.
3) Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же
хорду AD. Следовательно, они равны, и
искомый угол ABD = ACD = 700.
Ответ: 70
В
С
D