Решение заданий №6 (параллелограмм) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года

1. Решение заданий №6 (параллелограмм) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
г. Радужный
Решение заданий
№6 (параллелограмм)
по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике 2016 года
http://mathege.ru/or/ege/main
учитель математики Е.Ю. Семёнова

2.

Параллелограмм
C
D
AD BC; AB DC
DH , DM высоты,
DH CM , CD HM
М
A
H
B
Sпараллелограмма AB DH BC DM
Sпараллелограмма AB AD sin A
AHD и DCM – п/у
DAВ DCB
ADC АВС
BAD ADC 180

3.

№ 44849
В параллелограмме ABCD AB = 5, AD = 3, sin A = 0,6. Найдите
большую высоту параллелограмма.
C
D
3
М
A
H 5
B
Решение.
AHD – п/у
DH
sin A
DH AD sin A
AD
DH 3 0 ,6 1,8
S пар м а AB DH BC DM
5 1,8
5 1,8 3 DM DM
3.
3
Ответ: 3.

4.

№ 44849
Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная
на первую из этих сторон, равна 33. Найдите высоту,
опущенную на вторую сторону параллелограмма.
D
44
C
S пар м а AB DH BC DM
33
22
33 22 44 DH
М
A
H
Решение.
B
33 22
DH
16 ,5.
44
Ответ: 16,5.

5.

№ 27610
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны.
Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна
половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
C
D
Решение.
S ABCD AB AD sin A
S MNPQ MN MQ AB AD
т.к . АВ MN , MQ AD
A
B
Q
P
S ABCD AB AD sin A
1
sin A
S MNPQ
AB AD
2
A 30 .
Ответ: 30.
M
N

6.

№ 56253
Площадь параллелограмма равна 140, две его стороны равны
10 и 35. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
C
D
S пар м а AB DH ВС DM
10
М
A
Решение.
H 35
B
большая высота проведена к
меньшей стороне, которая равна 10
140 ВС 10
ВС
14
14.
10
Ответ: 14.

7.

№ 49304
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами
углы 24° и 65°. Найдите больший угол параллелограмма.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
C 1 способ
D
Т .к . сумма данных углов меньше 90 ,
то угол , образованн ый этими сторонами
65°
наименьший в параллелограмме ,
24°
A
B
значит искомый угол другой .
DAC BCA 65 накрест лежащие.
В АВС В 180 А С
В 180 24 65 91 .
Ответ: 91.

8.

№ 49304
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами
углы 24° и 65°. Найдите больший угол параллелограмма.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
C
D
2 способ
Т .к . сумма соседних углов паралле
лограмма ВАD ADС 180 ,
65°
то больший угол
24°
A
B
АDC 180 BAD
АDC 180 DAC BAС
АDC 180 24 65 91 .
Ответ: 91.

9.

№ 49354
Периметр параллелограмма равен 92. Одна сторона
параллелограмма на 39 больше другой. Найдите меньшую
сторону параллелограмма.
C
D
Решение.
Пусть меньшая сторона х ,
тогда большая сторона х 39
х
A
Р 2 х х 39 4 х 78
х + 39
B
4 х 78 92
х 3,5.
Ответ: 3,5.

10.

№ 49928
Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 7, а периметр
его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
C
D
Решение.
Пусть меньшая сторона 3 х ,
тогда большая сторона 7 х.
3х
A
Р 2 3 х 7 х 20 х
7х
B
20 х 40
х 2,
большая сторона равна 7 2 14.
Ответ: 14.

11.

№ 50031
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную
сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите
большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 65.
Решение.
C Пусть AМ х , тогда МB 3 х.
D
AMD CDM накрест лежащие
х
ADM CDM
х
A
М
( т.к . DM биссектриса )
3х
B
AMD ADM
ADM р / б AD AM x;
AB 3 x x 4 x
Р 2 х 4 х 10 х
10 х 65
х 6 ,5
Ответ: 26.
большая сторона равна 4 6 ,5 26.

12.

№ 27823
Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Решение.
K
D
у
х
A
C
AK , DM биссектрисы углов А и D ,
пусть ВАK DAK x ,
у
ADM CDM y .
O
Т .к . сумма соседних углов паралле
х
M
B
лограмма ВАD ADС 180 ,
то 2 х 2 у 180
х у 90
В AOD
х у АОD 180
АOD 180 x y
АOD 180 90 90 , AOD п / у .
Ответ: 90.

13.

№ 50081
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих
к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая
сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Решение.
D
C
ADM CDM
5
A
AMD CDM накрест лежащие
( т.к . DM биссектриса )
5
М
B
AMD ADM ADM р / б
AD AM 5;
аналогично , СВM р / б
СВ ВM 5;
большая сторона равна 2 5 10.
Ответ: 10.

14.

№ 317538
Площадь параллелограмма ABCD равна 159. Точка E – середина
стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB.
Решение.
А
D Разобьем параллелограмм ABCD на равные
F
треугольники , как на рисунке их всего 4 ,
трапеция ADEB состоит из трех таких
B
E
C
треугольников , значит
3
S ADEB S ABCD
4
3
S ADEB 159 119 ,25.
4
Ответ: 119,25.

15.

№ 319155
Площадь параллелограмма ABCD равна 151. Найдите площадь
параллелограмма A'B'C'D', вершинами которого являются середины
сторон данного параллелограмма.
Решение.
А
D Разобьем параллелограмм ABCD на равные
D'
треугольники , как на рисунке их всего 8,
C' параллелограмм A B C D состоит из
A'
B
B'
C
четырех таких треугольников , значит
4
1
S A B C D S ABCD S ABCD
8
2
1
S ADEB 151 75,5.
2
Ответ: 75,5.

16.

№ 319253
Площадь параллелограмма ABCD равна 77. Точка E – середина
стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Решение.
A Разобьем параллелограмм ABCD на равные
F
B
треугольники , как на рисунке их всего 4 ,
ADE состоит из одного такого
C
E
D
треугольника , значит
S ADE
S ADE
1
S ABCD
4
1
77 19 ,25.
4
Ответ: 19,25.

17. Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка
заданий по математике 2016 года