Similar presentations:
Теорема Гаусса
1.
• Изучить предложенный материал по теме«Теорема гаусса и ее применение для
расчета электрических полей».
• Составить вопросы по данной теме.
Прислать по адресу [email protected]
1
2.
Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один изосновных законов электродинамики, входит в
систему уравнений Максвелла.
Выражает связь (а именно равенство с
точностью до постоянного коэффициента)
между потоком напряжённости электрического
поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в
объёме, ограниченном этой поверхностью.
Применяется отдельно для вычисления
электростатических полей.
2
3.
Закон ГауссаСуммарный электрический поток через
произвольную замкнутую поверхность
qвнутри
E E dA
0
qin – суммарный заряд внутри поверхности,
E
– напряженность электрического поля
в произвольной точке на поверхности.
E учитывает вклады зарядов как внутри, так и вне поверхности.
3
4.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Применение закона Гаусса – альтернативная процедура расчета электрических полей.
Закон Гаусса - фундаментальная электростатическая сила,
действующая между точечными зарядами,
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Закон Гаусса удобен для расчета электрических полей
высокосимметричных распределений зарядов.
4
5.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Электрическое поле изолированного точечного заряда
Сферическая симметрия пространства вокруг точечного заряда –
сферическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
E
E dA
EdA
q
0
2
EdA
E
dA
E
4
r
E
q
4 0 r 2
ke
q
0
q
r2
Полученный результат эквивалентен результату,
полученному с помощью закона Кулона.
5
6.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
r
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда и несет
суммарный положительный заряд Q
r > a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r вне шара и концентрическая с ним.
Gaussian
Поверхность
Гаусса
sphere
E ke
Q
r2
Однородно заряженная сфера - электрическое поле вне сферы
эквивалентно полю, создаваемому точечным зарядом,
расположенным в центре сферы.
6
7.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Поверхность
Гаусса
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда и несет
суммарный положительный заряд Q
r < a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r внутри шара и концентрическая с ним.
В любой точке поверхности Гаусса E Ai и E = const.
EdA E dA E 4 r
2
4
qвнутри
3
r
E
4 0 r 2
4 0 r 2
3 0
r 3
qвнутри
0
qвнутри
4 3
Q / a
3
4 3
V r
3
E
Qr
4 0 a
3
ke
Q
a
3
r
7
8.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной
плотностью заряда и несет суммарный положительный заряд Q
r>a
Q
Q
E lim ke 2 ke 2
r a
a
r
r<a
Q
Q
Q
E lim ke 3 r ke 3 a ke 2
r a
a
a
a
8
9.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Вне слоя
Поверхность
Гаусса
r>a
E ke
Q
r2
Напряженность электрического
поля вне слоя аналогична той, что
создается точечным зарядом Q,
расположенным в центре шара,
которому принадлежит слой.
9
10.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Внутри слоя
Поверхность
Гаусса
r<a
E 0
10
11.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Евнутри = 0
Защита электронных
устройств
от воздействия внешних
электрических полей
11
12.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины.
Цилиндрическая симметрия пространства вокруг
линейного заряда – цилиндрическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
В любой точке поверхности Гаусса
E dA и E = const.
Вид сверху
12
13.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины.
Суммарный заряд внутри поверхности Гаусса равен l.
Поверхность
Гаусса
qвнутри l
E E dA E dA EA
0
A 2 rl
E 2 rl
E
2ke
2 0r
r
0
l
0
1
E
r
13
14.
Применение закона Гауссадля различных распределений заряда
Плоскосимметричное распределение заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженной плоскостью с
однородной поверхностной плотностью заряда
Плоская симметрия пространства вокруг линейного заряда –
поверхность Гаусса - маленький цилиндр.
В любой точке поверхности Гаусса
E dA и E = const.
Боковая поверхность цилиндра не пересекается
силовыми линиями электрического поля.
Общий заряд внутри поверхности Гаусса равен qвнутри = A.
Поверхность
Гаусса
Общий поток
E 2 EA
E
2 0
qвнутри
0
A
.
0
E - const
14
15.
Электрический потенциал15
16.
Разность потенциалов и электрический потенциалРабота электрического поля F ds q0 E ds
d s - бесконечно малый вектор перемещения, касательный к направлению последнего.
Потенциальная энергия системы “заряд-поле” изменяется на величину
dU q0 E ds
A B
U U B U A
B
U q0
E ds
A
Величина этого линейного интеграла не зависит от траектории перемещения
заряда из точки A в точку B, поскольку электрическая сила консервативна.
16
17.
Разность потенциалов и электрический потенциалЭлектрический потенциал V = U/q0 в любой точке электрического поля
не зависит от величины q0.
Изменение потенциальной энергии системы U U B U A
Разность потенциалов V VB VA
B
U
V
E ds
q0
A
Работа, выполненная внешней силой без
W U
изменения кинетической энергии пробного заряда,
W q V
Единица измерения электрического потенциала в СИ: [В] = 1 В 1 Дж/Кл
1 эВ = 1.60 × 10-19 Кл В = 1.60 × 10-19 Дж
17
18.
Разность потенциалов в однородном электрическом полеs d
E const
s силовые линии
B
B
VB VA V E d s E cos 0 ds Eds Ed
B
A
A
V 0
A
VB V A
Силовые линии электрического поля
всегда направлены в направлении
уменьшения электрического потенциала.
18
19.
Разность потенциалов в однородном электрическом полеq0 const
A B
U q0 V q0 Ed
Если q0 0, то U 0.
Система “положительный заряд – электрическое поле”:
потенциальная энергия убывает, а заряженная частица
приобретает кинетическую энергию, если заряд
движется в направлении поля.
Ситуация аналогична той, в которой работа
выполняется гравитационным
полем над падающим объектом.
Система “отрицательный заряд - электрическое поле”:
потенциальная энергия увеличивается, если заряд движется в направлении поля.
19
20.
Разность потенциалов в однородном электрическом полеБолее общий случай:
s силовые линии
B
B
V E d s E d s E s
A
A
U q0 V q0 E s
V 0, если E s
VB VA VC VA
VB VC
Эквипотенциальная поверхность - произвольная поверхность,
состоящая из непрерывного распределения точек с одним и тем же
электрическим потенциалом.
20
21.
Электрический потенциал точечных зарядовVB VA E d s
B
не зависит от траектории движения между точками A и B
A
E ds не зависит от траектории движения между точками A и B
B
A
B
q0 E d s
Работа, совершенная электрической
силой, не зависит от пути между A и B
A
Электрическая сила
консервативна
Электрическое поле
неподвижного точечного
заряда консервативно
21
22.
1 1VB V A k e q
rB rA
Если V 0 в rA
V ke
q
r
Electric potential
(V)
потенциал(V)
Электрический
Электрический потенциал точечных зарядов
A single
positive charge заряд
Изолированный
положительный
22
23.
Потенциальная энергия точечных зарядовПотенциальная энергия
взаимодействия двух точечных зарядов
P
U ke
q1q2
r12
Последняя равна работе q1V2, которую необходимо
выполнить внешней силе, чтобы переместить заряд
q1 из бесконечности в точку P без ускорения.
V2 – электрический потенциал в точке P,
созданный зарядом q2.
Если q1 и q2 одного знака, то U > 0,
т.е. внешняя сила должна выполнить положительную
работу над системой, чтобы сблизить два заряда.
Если q1 and q2 противоположного знака, то U < 0,
т.е., внешняя сила должна выполнить отрицательную
работу над системой, чтобы предотвратить сближение
двух зарядов.
23
24.
Эквипотенциальные поверхности исиловые линии электрического поля
Эквипотенциальные поверхности всегда должны быть
перпендикулярны силовым линиям электрического
поля и пересекать их.
Бесконечная заряженная плоскость
24
25.
Эквипотенциальные поверхности исиловые линии электрического поля
E ds Er dr
Er
dV
dr
dV Er dr
V ke q/r
V f r
Точечный заряд
Потенциальное поле точечного заряда сферически симметрично.
25
26.
Эквипотенциальные поверхности исиловые линии электрического поля
Электрический диполь
26
27.
Расчет электрического потенциалаI.
Принцип суперпозиции:
Электрический потенциал системы точечных зарядов равен
алгебраической (скалярной) сумме потенциалов точечных зарядов.
Электрический потенциал, создаваемый в произвольной точке P
непрерывным распределением зарядов, равен интегралу потенциалов
точечных зарядов, соответствующих этому распределению.
II. Расчет линейного интеграла от
dV E ds
для заданного распределения зарядов.
V обычно предполагается равным 0 в точке, расположенной
бесконечно далеко от зарядов.
27
28.
Электрический потенциалЭлектрический потенциал описывает электростатические явления
в более упрощенной форме, чем это можно сделать используя
понятия об электростатическом поле и электрических силах.
28