Теорема Остроградского-Гаусса

1.

ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
2.1. Силовые линии электростатического поля
2.2. Поток вектора напряженности
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
2.4. Дифференциальная форма теоремы ОстроградскогоГаусса
2.5. Вычисление электростатических полей с помощью
теоремы Остроградского-Гаусса
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной
плоскости
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой
линейной плотностью заряда, но разным знаком
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
2.5.6. Поле объемного заряженного шара
1

2. 2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает связь между электрическими зарядами и

электрическим полем.
Она представляет собой более общую и более
изящную формулировку закона Кулона
2

3.

• Остроградский Михаил Васильевич
(1801 – 1862)
• отечественный математик и механик.
Учился в Харьковском ун-те (1816 –
1820), совершенствовал знания в
Париже (1822 – 1827).
• Основные работы в области
математического анализа,
математической физики,
теоретической механики. Решил ряд
важных задач гидродинамики, теории
теплоты, упругости, баллистики,
электростатики, в частности задачу
распространения волн на поверхности
жидкости (1826 г.). Получил
дифференциальное уравнение
распространения тепла в твердых
телах и жидкостях. Известен теоремой
Остроградского-Гаусса в
электростатике (1828 г.).
3

4.

• Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
немецкий математик, астроном и физик.
• Исследования посвящены многим разделам
физики.
• В 1832 г. создал абсолютную систему мер
(СГС), введя три основных единицы: единицу
времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу
массы – 1 мг.
• В 1833 г. совместно с В. Вебером построил
первый в Германии электромагнитный
телеграф.
• Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной
скорости распростране­ния электромагнитных
взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм,
изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в
1838 г. – бифилярный. В 1829 г.
• Сформулировал принцип наименьшего
принуждения (принцип Гаусса).
• Один из первых высказал в 1818 г.
предположение о возможности существования
неевклидовой геометрии.
4

5.

• силовые линии – это линии, касательная к
которым в любой точке поля совпадает с
направлением вектора напряженности
5

6.

Однородным называется электростатическое
поле, во всех точках которого напряженность
одинакова по величине и направлению
Однородное электростатическое поле изображается
параллельными силовыми линиями на равном
расстоянии друг от друга
6

7.

В случае точечного заряда, линии напряженности
исходят из положительного заряда и уходят в
бесконечность; и из бесконечности входят в
отрицательный заряд.
Т.к. Е ~ 1 / r 2 ,
то густота силовых линий
обратно пропорциональна квадрату расстояния от
заряда
7

8.

Для системы зарядов силовые линии
направлены от положительного заряда
к отрицательному
8

9.

9

10.

Густота силовых линий должна быть такой,
чтобы единичную площадку, нормальную к
вектору напряженности пересекало такое их
число, которое равно модулю вектора
напряженности Е , т.е.
число линий Ф
Е
.
S
S
10

11.

Если на рисунке выделить площадку S 2 м 2 ,
то напряженность изображенного поля
будет равна
Ф 4
B
E 2 .
S 2
м
11

12.

2.2. Поток вектора напряженности
• Полное число силовых линий, проходящих
через поверхность S называется потоком
вектора напряженности Ф через эту
поверхность
• В векторной форме можно записать
ФЕ Е, S
– скалярное произведение двух векторов, где
вектор.
S nS
12

13.

Поверхность А1 окружает положительный заряд и
поток здесь направлен наружу, т.е. ФE 0.
Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд,
поток здесь направлен внутрь.
Ф 0
Е
Общий поток через поверхность А равен нулю.
13

14.

2.3. Теорема ОстроградскогоГаусса
• Поток вектора напряженности через
произвольную элементарную площадку dS
будет равен:
dФЕ ЕdS cos En dS .
• В однородном поле
ФЕ ES .
• В произвольном электрическом поле
ФЕ Еn dS EdS.
S
S
14

15.

• Поток вектора через произвольную
замкнутую поверхность S, окружающую
точечный заряд q .
• Окружим заряд q сферой S1.
15

16.

• Центр сферы совпадает с
центром заряда. Радиус
сферы S1 равен R1.
• В каждой точке поверхности
S1 проекция Е на
направление внешней
нормали одинакова и равна
1 q
En
.
2
4 0 R1
Тогда поток через S1
q
q
2
ФE En dS
4 R1 .
2
4 0 R1
0
S1
q
ФE .
0
16

17.

Поток через сферу S2, имеющую
радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ
dS
4 R2 .
2
2
4 0 R2
4 0R2
0
S2
q
ФЕ .
0
17

18.

• Из непрерывности линии следует, что поток и
через любую произвольную поверхность S будет
равен этой же величине:
q
ФЕ Еn dS
0
S
– теорема Гаусса для одного заряда.
18

19.

Для любого числа произвольно
расположенных зарядов, находящихся
внутри поверхности:
ФЕ
q
Е dS
n
S
0
– теорема Гаусса для нескольких зарядов:
Поток вектора напряженности электрического поля
через замкнутую поверхность в вакууме равен
алгебраической сумме всех зарядов,
расположенных внутри поверхности, деленной на
ε0.
19

20.

Полный
поток
проходящий
через
охватывающую заряд q, равен нулю:
S3,
не
Ф3 0
• Таким образом, для точечного заряда q,
полный поток через любую замкнутую
поверхность S будет равен:
q
ФЕ
0 – если заряд расположен внутри
замкнутой поверхности;
• ФЕ 0 – если заряд расположен вне
замкнутой поверхности
20

21.

Электрические заряды могут быть «размазаны» с
некоторой объемной плотностью различной в
разных местах пространства:
dq / dV
• Суммарный заряд объема dV будет равен:
q dV .
i
V
• Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
1
ФE ЕdS dV
ε0 V
S
1
ФE dV
ε0 V
21

22. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен в пространстве V,
с объемной плотностью . Тогда
q
EdS ε 0
V
EdS 0
1
EdS
V
0
22

23.

• При V 0
или
.
0
0
• Величину, являющуюся
пределом
отношения ЕdS к V, при V 0 ,
называют дивергенцией поля Е
div E
23

24.

Дивергенция поля Е
1 .
divE lim
V 0
V
E
d
S
• Дивергенция - скалярная функция
координат.
• В декартовой системе координат
E x E y E z
div E
.
x
y
z
24

25.

Таким образом
div E .
0
Это теорема Остроградского-Гаусса в
дифференциальной форме.
Введем векторный дифференциальный
оператор (Набла)
i
j k,
x
y
z
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).
25

26.

• Сам по себе оператор смысла не имеет. Он
приобретает смысл в сочетании с векторной или
скалярной функцией, на которую символично
умножается:
E x E y E z
Е x E x y E y z E z
x
y
z
• дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса.
E
0
26

27.

• В тех точках поля, где div E 0 – источники
поля (положительные заряды),
• В тех точках поля, где div E 0 – стоки
(отрицательные заряды).
• Линии напряженности выходят из источников и
заканчиваются в стоках.
27

28. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

dq
,
dS
28

29.

Поверхностная плотность заряда на
dq
произвольной плоскости площадью S
,
определяется по формуле:
dS
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.
29

30.

Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS,
расположенными симметрично относительно
плоскости
• Тогда
E ' E ' ' E.
30

31.

Суммарный поток через замкнутую поверхность
(цилиндр) будет равен:
ФЕ 2 SE.
• Внутри поверхности заключен заряд.
Следовательно, из теоремы ОстроградскогоГаусса получим:
q
1
ФЕ 2 SE S
0
0
• откуда видно, что напряженность поля
плоскости S :
| |
E
.
2 0
31

32. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой

по величине
плотностью σ
32

33.

• Результирующее поле, находится как
суперпозиция полей, создаваемых каждой из
плоскостей.
• Тогда внутри плоскостей
E E E отсюда E / 0
• Вне плоскостей напряженность поля
E 0.
• Полученный результат справедлив и для
плоскостей конечных размеров, если расстояние
между плоскостями гораздо меньше линейных
размеров плоскостей (плоский конденсатор).
33

34.

Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:
34

35.

Между пластинами конденсатора действует сила
взаимного притяжения (на единицу площади
пластин):
F S E
Fед
S
S
2
Fед
2 0
• Механические силы, действующие между
заряженными телами, называют
пондеромоторными.
35

36.

• Сила притяжения между пластинами
конденсатора:
2
S
F
,
2 0
• где S – площадь обкладок конденсатора.
• Т.к.
q
E 0
S
2
2
0E S
q
F
2 0 S
2
• Это формула для расчета пондеромоторной
силы
36

37.

2.5.3. Поле заряженного бесконечного
цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной
цилиндрической поверхностью радиуса R,
заряженной с постоянной линейной
плотностью
dq
dl
• где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра
37

38.

Представим вокруг цилиндра (нити)
коаксиальную замкнутую поверхность
(цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l
(основания цилиндров перпендикулярно оси).
38

39.

• Для оснований цилиндров
En 0,
• для боковой поверхности E E (r ), т.е.
n
зависит от расстояния r.
• Следовательно, поток вектора через
рассматриваемую поверхность, равен
ФE E (r ) S E (r )2 rl.
39

40.

• При
r R, на поверхности будет заряд q l.
• По теореме Остроградского-Гаусса
• Тогда
Е (r )
при r R
2 0 r
l
E (r )2 rl
0
• Если r R, E ( r ) 0 , т.к. внутри замкнутой
поверхности зарядов нет.
40

41.

• График распределения
напряженности
электростатического
поля цилиндра
0 внутри цилиндра, так как внутри нет зарядов
q
E
или
на поверхности цилиндра
2 0 Rl
2 0 R
q
или
вне цилиндра
2 0 rl
2 0 r
41

42. 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

E 0
42

43.

Внутри меньшего и вне большего цилиндров
поле будет отсутствовать
E 0
В зазоре между цилиндрами, поле
определяется:
E (r )
.
2 0 r
43

44. Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет
E
2 r между цилиндрами, когда R1 r R2
0
• Это справедливо и для бесконечно длинного
цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если
зазор между цилиндрами намного меньше длины
цилиндров (цилиндрический конденсатор).
44

45. 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

• Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).
45

46.

• Если r R, то внутрь воображаемой сферы
попадет весь заряд q, распределенный по сфере,
тогда
q
ФE E (r ) S Е (r )4 r
0
2
• откуда поле вне сферы:
q
E (r )
.
2
4 0 r
• Внутри сферы, при r R, поле будет равно
нулю, т.к. там нет зарядов:
E (r ) 0.
Вне сферы поле тождественно полю
точечного заряда той же величины,
помещенному в центр сферы.
46

47. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара

• Для поля вне шара радиусом R получается тот же
результат, что и для пустотелой сферы, т.е.
справедлива формула:
q
E (r )
2
4 0 r
47

48.

• Внутри шара при r R, сферическая
поверхность будет содержать в себе заряд,
равный
4 3
q r ,
3
• где ρ – объемная плотность заряда:
объем шара:
4
V r 3
3
q
V
• Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:
1 4 3
Ô E E (r ) S Å (r ) 4 r r
0 3
2
48

49.

• Т.е. внутри шара
r
E (r )
3 0
E ~ r.
49

50. Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

qr
r
внутри шара (r R)
3
3 0
4 0 R
q
E
на поверхности шара (r R)
2
4 0 R
q
вне шара (r R)
2
4 0 r
50