Электростатика. Тема 2. Теорема Остроградского-Гаусса

1.

понедельник, 10 апреля 2023 г.
Электростатика
1

2.

Дисциплина «Творческий проект», семестр 2
Нет аудиторных занятий!
Студенты групп 5А21, 5А22, 5А23, 5А24, 5А25
подключены к электронному курсу
https://stud.lms.tpu.ru/course/view.php?id=5258
Сообщение о подключении и ссылка на курс отправлены студентам на
корпоративную почту
Вам необходимо:
- разделиться на команды;
- зайти в курс и выбрать тему кейса до 17.02.2023 г.
Томск, 2023

3.

Дисциплина «Творческий проект», семестр 2
Нет аудиторных занятий!
Консультации будут проводиться раз в неделю в очном и/или дистанционном
формате.
Расписание консультаций будет выслано на корпоративную почту студентов.
Преподаватели:
Шестакова Вера Васильевна, ауд. 162 (для всех групп) [email protected]
5А21 - Сулайманова Венера Алмазовна, ауд. 224 б, [email protected]
5А22 - Гречушников Владислав Викторович, ауд. 162 или 207, [email protected]
5А23 - Рудник Владимир Евгеньевич, ауд. 241, [email protected]
5А24 - Киевец Антон Владимирович, ауд. 244, [email protected]
5А25 - Шолохова Ирина Игоревна, ауд. 224 б, [email protected]
Томск, 2023

4.

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
2.1. Силовые линии электростатического поля
2.2. Поток
вектора
напряженности
2.1. Силовые
линии
электростатического поля
2.3. Теорема
2.2.Остроградского-Гаусса
Поток вектора напряженности
2.4. Дифференциальная
форма теоремы
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
Остроградского-Гаусса
2.4. Дифференциальная форма теоремы ОстроградскогоГаусса
2.5. Вычисление электростатических
полей с
2.5. Вычислениетеоремы
электростатических
полей с помощью
помощью
Остроградского
- Гаусса
Остроградского-Гаусса
2.5.1. Поле теоремы
бесконечной
равномерно заряженной
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной
плоскости
плоскости
2.5.2. Поле двух бесконечных равномерно
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
заряженных параллельных плоскостей
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
2.5.3. Поле бесконечно длинного равномерно
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой
заряженного
прямого кругового
(нити)
линейной плотностью
заряда, но цилиндра
разным знаком
2.5.4. Поле
коаксиальных
цилиндров
2.5.5. двух
Поле заряженного
пустотелого
шарас
одинаковой
плотностью
заряда,
2.5.6. линейной
Поле объемного
заряженного
шара но
разным знаком
2.5.5. Поле равномерно заряженной сферы.
4
2.5.6. Поле объемного заряженного шара

5. 2.1. Силовые линии электростатического поля

• Теорема Остроградского-Гаусса,
которую мы докажем и обсудим позже,
устанавливает связь между
электрическими зарядами и
электрическим полем. Она
представляет собой более общую и
более изящную формулировку закона
Кулона.
5

6.

• Основная ценность теоремы
Остроградского-Гаусса состоит в том,
что она позволяет глубже понять
природу электростатического поля и
устанавливает более общую связь
между зарядом и полем.
6

7.

• силовые линии – это линии,
касательная к которым в любой точке
поля совпадает с направлением
вектора напряженности
7

8.

Однородным называется
электростатическое поле, во всех точках
которого напряженность одинакова по
величине и направлению.
Однородное электростатическое поле
изображается параллельными силовыми
линиями на равном расстоянии друг от друга
8

9.

В случае точечного заряда поле неоднородно, линии
напряженности исходят из положительного заряда и уходят в
бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный
заряд.
2
Т.к.
Е ~ 1/ r ,
то густота силовых линий обратно пропорциональна
квадрату расстояния от заряда
9

10.

Для системы зарядов, как видим,
силовые линии направлены от
положительного заряда к
отрицательному
10

11.

11

12.

Густота силовых линий должна
быть такой, чтобы единичную
площадку, нормальную к вектору
напряженности пересекало такое их
число, которое равно модулю вектора
напряженности, т.е. Е :
число линий Ф
Е
.
S
S
12

13. 2.2. Поток вектора напряженности

Полное число силовых
линий, проходящих через
поверхность S называется
потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность
• В векторной форме можно записать
ФЕ Е, S
– скалярное произведение двух векторов, где
вектор
S nS
13

14.

ФЕ Е, S
Таким образом, поток вектора есть
скаляр, который в зависимости от
величины угла α может быть как
положительным, так и отрицательным.
14

15.

1
2
Для первого рисунка – поверхность А1 окружает
положительный заряд и поток здесь направлен
наружу, т.е. Ф E 0 .
Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд,
здесь
и направлен внутрь.
Ф 0
Е
Общий поток через поверхность А равен нулю.
Опишите второй рисунок самостоятельно15.

16. 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

2.3. Теорема ОстроградскогоГаусса
• Итак, по определению, поток вектора
напряженности электрического поля
равен числу линий напряженности,
пересекающих поверхность S.
16

17.

• поток вектора напряженности через
произвольную элементарную площадку
dS будет равен:
d Ф Е Е d S cos α E n d S .
• Т.е. в однородном поле
Ф Е ES .
• В произвольном электрическом поле
Ф Е Е n d S E d S.
S
S
17

18.

• Подсчитаем поток вектора через
произвольную замкнутую поверхность S,
окружающую точечный заряд q .
Окружим заряд q сферой S1.
18

19.

• Центр сферы совпадает с центром
заряда. Радиус сферы S1 равен R1.
• В каждой точке поверхности S1проекция
Е на направление
1
q
внешней нормали
En
.
2
4 πε 0 R1
одинакова и равна
19

20.

Тогда поток через S1
q
q
2
Ф E E n dS
4
π
R
.
1
2
ε
4
πε
R
0
0
1
S1
q
ФE .
ε0

21.

• Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ
dS
4 πR2 .
2
2
ε0
4 πε 0 R 2
S 2 4 πε 0 R 2
q
ФЕ .
ε0

22.

• Из непрерывности линии E следует, что поток
и через любую произвольную поверхность S
будет равен этой же величине:
q
ФЕ Е n dS
ε
0
S
• – теорема Гаусса для одного заряда.
22

23.

• Для любого числа произвольно
расположенных зарядов, находящихся
внутри поверхности:
q
Ф Е Е n dS
ε0
S
• – теорема Гаусса для нескольких
зарядов:
• Поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую
поверхность в вакууме равен
алгебраической сумме всех зарядов,
расположенных внутри поверхности,
деленной на ε0.
23

24.

Полный поток проходящий через S3,
не
охватывающую заряд
q, равен
нулю:
Ф3 0
24

25.

• Таким образом, для точечного заряда q,
полный поток через любую замкнутую
поверхность S будет равен:
q
ФЕ
ε 0 – если заряд расположен
внутри замкнутой поверхности;
• Ф Е 0 – если заряд расположен вне
замкнутой поверхности;
• этот результат не зависит от формы
поверхности, и знак потока совпадает
со знаком заряда.
25

26.

Электрические заряды могут быть
«размазаны» с некоторой объемной
плотностью различной в разных местах
пространства:
ρ dq / dV
• Здесь dV – физически бесконечно малый
объем, под которым следует понимать такой объем,
который с одной стороны достаточно мал, чтобы в
пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с
другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться
дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен
целому числу элементарных зарядов электрона или
протона .
26

27.

• Суммарный заряд объема dV будет равен:
qi ρdV .
V
• Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
1
Ф E Еd S
ρdV
ε
0V
S
1
ФE dV
ε0 V
• – это ещё одна форма записи теоремы
Остроградского-Гаусса, если заряд
неравномерно распределен по объему.
27

28. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

• Пусть заряд распределен в
пространстве V, с объемной
плотностью ρ . Тогда
q
E
d
S
ε0
ρ ΔV
EdS ε 0
1 ρ
EdS
ΔV
ε0
28

29.

• Теперь устремим Δ V 0, стягивая его к
интересующей нас точке. Очевидно, что
при этом ρ будет стремиться к ρ в
данной точке, т.е.
ρ
ρ
.
ε0
ε0
Величину, являющуюся
пределом
отношения
Е d S к V, при Δ V 0
называют дивергенцией поля Е
div E
29

30.

Дивергенция поля Е
1
E
d
S
ΔV 0 Δ V
div E lim
(2.4.1)
• Аналогично определяется дивергенция
любого другого векторного поля.
• Из этого определения следует, что
дивергенция является скалярной
функцией координат.
• В декартовой системе координат
E x E y E z
div E
.
x
y
z
30

31.

• Итак,
ρ
div E .
ε0
(2.4.3)
Это теорема ОстроградскогоГаусса в дифференциальной форме.
• Написание многих формул упрощается,
если ввести векторный
дифференциальный оператор
(Набла)
i
j k,
x
y
z
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).
31

32.

• Сам по себе оператор смысла не
имеет. Он приобретает смысл в
сочетании с векторной или скалярной
функцией, на которую символично
умножается:
E x E y E z
Е xEx yEy zEz
x
y
z
• дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса.
ρ
E
ε0
32

33.

• В тех точках поля, где d iv E 0 –
источники поля
(положительные заряды),
d iv E 0 – стоки (отрицательные
• где
заряды).
• Линии напряженности выходят из
источников и заканчиваются в
стоках.
33

34. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

2.5. Вычисление электрических полей с
помощью теоремы
ОстроградскогоГаусса
1. Поле бесконечной равномерно заряженной
плоскости
dq
σ
,
dS
34

35.

Поверхностная плотность заряда на
произвольной плоскости площадью S
d
q
определяется по формуле:
σ
,
dS
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.
35

36.

• Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS,
расположенными симметрично относительно
плоскости
• Тогда
E ' E '' E .
36

37.

• Суммарный поток через замкнутую
поверхность (цилиндр) будет равен:
Ф Е 2 Δ SE .
• Внутри поверхности заключен заряд .
Следовательно, из теоремы
Остроградского-Гаусса получим:
q
1
ФЕ
2 Δ SE σ Δ S
ε0
ε0
• откуда видно, что напряженность
поля плоскости S:
σ
(2.5.1)
E
2ε 0
.
37

38. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

• Пусть две бесконечные плоскости
заряжены разноименными зарядами с
одинаковой по величине плотностью σ
38

39.

• Результирующее поле, находится как
суперпозиция полей, создаваемых каждой из
плоскостей.
• Тогда внутри плоскостей
E E E отсю да E σ / ε 0
• Вне плоскостей напряженность поля
E 0.
• Полученный результат справедлив и для
плоскостей конечных размеров, если
расстояние между плоскостями гораздо
меньше линейных размеров плоскостей
(плоский конденсатор).
39

40.

•Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:
40

41.

• Между пластинами конденсатора
действует сила взаимного
притяжения (на единицу площади
пластин):
F SσE
Fед
S
S
Fед
2 0
2
т.е.
• Механические силы, действующие
между заряженными телами,
называют пондермоторными.
41

42.

• Сила притяжения между пластинами
2
конденсатора:
σ S
F
,
2ε 0 ε
• где S – площадь обкладок конденсатора.
q
• Т.к.
σ
S
Eε 0
ε0E S
q
F
2ε 0 εS
2
2
2
• Это формулы для расчета пондермоторной силы
42

43. 2.5.3. Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

• Пусть поле создается бесконечной
цилиндрической поверхностью радиуса
R, заряженной с постоянной линейной
плотностью
dq
λ
dl
• где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра
43

44.

Представим вокруг цилиндра (нити)
коаксиальную замкнутую поверхность
(цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l
(основания цилиндров перпендикулярно оси).
44

45.

• Для оснований цилиндров
• для боковой поверхности E
от расстояния r.
E n 0,
т.е. зависит
E
(r
),
n
• Следовательно, поток вектора через
рассматриваемую поверхность, равен
Ф E E ( r ) S E ( r ) 2 π rl .
45

46.

• При r R , на поверхности будет заряд
• По теореме Остроградского-Гаусса
• Тогда
λ
Е (r )
при r R
2 πε 0 r
q λl .
λl
E ( r ) 2 π rl
ε0
• Если r R , E ( r ) 0 , т.к. внутри замкнутой
46
поверхности зарядов нет.

47.

• График
распределения
напряженности
электростатического
поля цилиндра
0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов
λ
q
E
или
на поверхности цилиндра
2 πε0 Rl
2 πε0 R
λ
q
или
вне цилиндра
2 πε0 rl
2 πε0 r
47

48. 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

E 0
48

49.

Внутри меньшего и вне большего цилиндров
поле будет отсутствовать
E 0
В зазоре между цилиндрами, поле
определяется так же, как в п. 2.5.3:
λ
E (r )
.
2 πε 0 r
49

50. Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов не
E λ
2 πε r между цилиндрами, когда R1 r R2
0
• Это справедливо и
для бесконечно
длинного цилиндра,
и для цилиндров
конечной длины,
если зазор между
цилиндрами намного
меньше длины
цилиндров
(цилиндрический
конденсатор).
понедельник, 10 апреля
2023 г.
50

51. 2.5.5. Поле заряженной сферы

51

52.

• Вообразим вокруг шара – сферу
радиуса r (рис).
52

53.

• Если r R , то внутрь воображаемой
сферы попадет весь заряд q,
распределенный по сфере, тогда
q
Ф E E ( r ) S Е ( r ) 4 πr
ε0
2
• откуда поле вне сферы:
q
E (r )
.
2
4 πε 0 r
• Внутри сферы, при r R ,поле будет
равно нулю, т.к. там нет зарядов:
E (r ) 0.
53

54.

Как видно, вне сферы поле
тождественно полю точечного заряда той же
величины, помещенному в центр сферы.
q
E
.
2
4 πε 0 r
54

55. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара

• Для поля вне шара радиусом R получается тот же
результат, что и для пустотелой сферы, т.е.
справедлива формула:
q
E (r )
2
4 πε 0 r
55

56.

• Внутри шара при r R , сферическая
поверхность будет содержать в себе заряд,
равный
4
q ρ πr ,
3
3
q
• где ρ – объемная плотность заряда: ρ
V
объем шара:
4
V
πr 3
3
• Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:
1 4 3
Ф E E ( r ) S Е ( r ) 4 πr ρ πr
ε0 3
2
понедельник, 10 апреля
2023 г.
56

57.

• Т.е. внутри шара
ρr
E (r )
3ε 0
• Т.е., внутри шара имеем
E ~ r.
57

58. Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

qr
ρr
внутри шара ( r R )
3
3
ε
4
πε
R
0
0
q
E
на поверхности шара ( r R )
2
4 πε 0 R
q
вне шара ( r R )
2
4 πε 0 r
58

59.

понедельник, 10 апреля 2023
г.
59