Напряжения и деформации при ударе. Лекция №8

1. Лекция № 8

22.05.2020г.
1

2.

Напряжения и деформации при ударе.
Удар – динамическая нагрузка, скорость приложения
которой резко изменяется в короткий промежуток
времени. Различают продольный и поперечный удар.
• штамповка;
• забивка фундаментных свай;
• ковка.
• работа ударного молота;
• отскок пружины бойкового
механизма в ружье.
В приближенной теории удара вводятся следующие
предположения и допущения:
• ударяющее тело абсолютно жесткое и не отскакивает от
ударяемого;
• масса ударяемого тела пренебрежимо мала по сравнению с
массой ударяющего;
• вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в
потенциальную энергию упругой деформации ударяемого.

3.

Продольный удар.
Q
h
Δl
Кинетическая энергия Т0 падающего груза Q
переходит
в
потенциальную
энергию
упругой деформации стержня U:
Т0 U
1
U P l
(2)
l
Т0 Q h l (1)
2
В силу действия закона Гука имеем:
l
l
P F EF
Q
l
lcт
Ql - укорочение стержня от статического
где: lcт
EF действия груза;
F - площадь поперечного сечения; E - модуль Юнга.
Тогда U в выражении (2) можно определить по формуле:
1 l 2
U Q
2 lcт
1 l 2
Выражение (1) принимает вид: h l
2 lcт

4.

Откуда выразим Δl :
2h
l lcт 1 1
lcт
lcт k Д
Итак,
l lcт k Д - укорочение стержня при ударе.
получено:
где:
2h - динамический коэффициент
k Д 1 1
при ударе.
lcт
Динамическое напряжение при ударе: Д k Д cт
2h
Или : Д ст 1 1
lcт
Q
2QhE
lF
F
Динамическое нагрузка при ударе:
Или :
РД Д F
2h
PД k Д ст F Q 1 1
lcт

5.

Выводы:
При равномерном распределении напряжений
по длине стержня, т.е., когда стержень имеет
постоянное поперечное сечение, величина
динамического напряжения зависит не только
от площади его поперечного сечения F, как при
статическом нагружении, но и от его длины l,
модуля упругости E .
Чем больше объем материала, подвергаемого
удару
упругого стержня, тем меньше
возникающее в нем динамическое напряжение.

6.

Поперечный удар.
Q
H
Балка на опорах.
f
Д k Д cт - динамическое
напряжение.
l
f cт
Ql 3 - статический прогиб балки от
48EI x груза Q посередине пролета.
2H
f Д f cт 1 1
f cт k Д
f cт
- динамический
прогиб.
2H - динамический коэффициент
где: k Д 1 1
f cт при поперечном ударе.

7.

Балка консольного типа.
Q
H
f
f ст
l
f Д f cт k Д
Ql 3 - статический прогиб
свободного торца
3EI x балки от груза Q.
- динамический прогиб.
2H - динамический коэффициент
где: k Д 1 1
f cт при поперечном ударе.
Д k Д cт - динамическое напряжение.
Примечание:
Т
Условие
Дmax Д
прочности:
k
Д
где:
Т - предел текучести.
Конструкции
из
хрупких
материалов
не
желательно
подвергать удару, т.к. они
имеют свойство разрушаться
почти
без
образования
пластических деформаций.

8.

Проанализируем изменение
напряжений
при
статическом и динамическом нагружении балки при ее
различных положениях.
Р
Статическое нагружение.
y
l
а) балка поставлена на ребро.
cт
б)
x
h
0
M x 6 Pl 6 Pl
2
Wx
bh
hF
b
y
балка положена плашмя.
cт
M x 6 Pl 6 Pl
2
Wx
hb
bF
(а)
cт
(б)
cт
b
6 Pl Fb b
Fh 6 Pl h
x
0
h

9.

Вывод:
Максимальные
нормальные
напряжения
при
одинаковой
статической
нагрузке
в
балке
прямоугольного сечения (b h) положенной плашмя
будут в h b раз больше, чем в балке, поставленной на
ребро.
f
Динамическое нагружение
Q P
(удар).
Q
2H
Н
Д ст k Д
kД 1 1
f cт
y
6Ql Ql
ст
l
hF Wx
3
Ql
x
а) балка поставлена на ребро. h
fcт
0
3EI x
Ql
2H
Д
1 1
Wx
fcт
b
Qfст Q 2l 3
Статическая потенциальная энергия: U cт
2
6 EI x

10.

С учетом того, что
определим отношение
Т0
QH
2H
1
f cт
Qf cт U ст
Тогда:
Ql
Д
Wx
T0 QH
2
6T0 EI x
T0 Ql
6T0 EI x
1 1
1 1 2 3
2 3
U
Q
l
Q
l
Wx
ст
Итак,
получено:
6T0 EI x
Д
2 3
Ql
- динамическое напряжение
при поперечном ударе.
Примечание:
Множитель перед скобкой определяет величину
статического напряжения, а оно на практике намного
меньше динамического, поэтому им пренебрегаем.

11.

Примечание:
В случае, когда Н >> fст в радикале формулы для
Из этого же соображения
можно пренебречь единицей.
в формуле
T0 Q H fст можно пренебречь прогибом.
Имея ввиду, что
I x ix2 F
определим отношение:
Тогда:
(а)
Д
kД
ymax 6T0 Е
ix
Fl
где:
2
I x ymax 1
2
Wx i x F
- динамическое напряжение
при поперечном ударе.
ymax
ix
h
2 3
bh 3
12bh

12.

б) балка положена плашмя.
y
b
x
0
h
2H
6 Pl
Д
1 1
fcт
bF
3
hb
Ix
12
Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, получаем:
(б)
Д
ymax 6T0 Е
ix
Fl
ymax
Таким образом получено, что
ix
b
ymax
2 3
ix
hb 3
12bh
const
для любого положения сечения.
Вывод:
Максимальные напряжения при одинаковой ударной
нагрузке в балке прямоугольного сечения (b h) будут
одинаковыми и при постановке ее на ребро, и при
укладывании плашмя. В пределах действия закона Гука.

13.

Скручивающий удар.
R - радиус кривошипа.
Q
Н
R
l
cт
2
QR
l
M zl
R
R
GI p
GI p
Динамическое
касательное
напряжение:
Д ст k Д
M z QR
ст
Wp Wp
2H
kД 1 1
cт
M zl
где: - угол поворота кривошипа.
GI p
cт- длина дуги, описываемой кривошипом.

14.

Исходя из закона сохранения энергии
где:
UД
T0 U Д
- потенциальная энергия деформации вала при
ударном кручении.
2
1
M
l
zД
и имея ввиду, что: U Д M zД Д
2
2GI p
M zД
d3
и учитывая, что: Д
или M zД Д W p
Д
Wp
16
можно записать:
Откуда
UД
T0G
Д 2
Fl
Д2 2 d 6 l
16 GI p 2
2
Fl
2
Д
4G
- динамическое касательное
напряжение при скручивающем
ударе.
F - площадь поперечного сечения вала.

15.

Влияние различных факторов на
снижение динамических напряжений при
ударе.
Проанализируем
формулу
динамического напряжения.
Д k Д cт
где: k Д 1 1
При снижении k Д
для
2Н
ст
определения
- динамический
коэффициент при
ударе.
будут уменьшаться Д .
При любом виде удара снижение высоты падения груза
уменьшает динамические напряжения.
Nl
2НEF
Продольный удар: ст lcт
k Д 1 1
EF
Nl
k
будет уменьшаться при:
увеличении длины стержня l,
2 НEV
снижении объема стержня V,
k Д 1 1
Nl 2
снижении жесткости стержня EF.
снижении площади поперечного сечения стержня F.
Д

16.

Pl 3
2 НEI x
Поперечный удар: ст f cт
k Д 1 1
EI x
Pl 3
k Д будет уменьшаться при:
y
• увеличении длины балки l,
• увеличении объема балки V,
C
например, для балки прямоугольного h
x
сечения:
3
2 НEbh
НEh 2V
k Д 1 1
1 1
3
b
12 Pl
6 Pl 4
• снижении жесткости стержня EIx.
• снижении площади поперечного сечения балки F.
Скручивающий удар:
T0 G
Д 2
Fl
Д будет уменьшаться при:
• увеличении объема вала V = Fl,
• уменьшении диаметра маховика D.

17.

Конструктивные решения по снижению
динамических напряжений при ударе.
Представляют собой технологические мероприятия по
изменению размеров деталей, испытывающих ударную
нагрузку.
Примеры:
Увеличение длины.
Крышка поршня бурового инструмента.
Короткие болты дают обрыв, поэтому вместо
них ставят длинные шпильки.
а)
б)

18.

Уменьшение площади.
В болтовых соединениях.
Методы выравнивания площадей по наименьшей:
• обтачивание болта.
• высверливание канала.
а)
б)
в)