Основы молекулярной и статистической физики

1.

Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Основы молекулярной и статистической
физики
Часть 7
(Лекции 10, 11)
Явления переноса

2.

Явления переноса
Явления переноса:
- необратимые процессы, в результате которых в физической
системе происходит пространственный перенос какой – либо
физической величины ( энергии, теплоты, импульса, массы,
электрического заряда и др.)
- способствуют переходу системы к равновесному состоянию,
если перенос не поддерживается постоянно действующими
внешними факторами.
- причиной явлений переноса является наличие
пространственных неоднородностей температуры, средней
скорости движения частиц, их состава и др.
- перенос физической величины происходит в направлении,
противоположном ее градиенту.

3.

Явления переноса
Основные явления переноса - это:
1) диффузия - перенос вещества (компоненты смеси) при наличии
в системе градиента его концентрации. Это процесс взаимного
проникновения молекул одного вещества между молекулами
другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их
концентраций по всему занимаемому объёму
2) теплопроводность – перенос тепловой энергии структурными
частицами вещества (молекулами, атомами) вследствие наличия
градиента температуры
3) вязкость – перенос импульса, связанный с наличием градиента
средней скорости массового движения частиц, приводящий к
диссипации механической энергии и превращению ее в теплоту
(аналог силы трения для потоков частиц в газе или жидкости)
При анализе явлений переноса будем считать, что исходные
отклонения системы от равновесного состояния невелики.

4.

Потоки физических величин
S
Потоком какой –либо физической
величины через поверхность
называется количество этой величины,
проходящее через эту поверхность в
единицу времени.
Примеры:
- поток жидкости через сечение трубы объем жидкости, протекающий через
это сечение за единицу времени
(dV/dt).
- электрический ток – заряд,
перетекающий через сечение
проводника за единицу времени (dq/dt)
- и т.п.

5.

Плотность потока
dx S
Плотность потока через
поверхность - отношение
потока к площади этой
поверхности.
Примеры:
- плотность потока жидкости через сечение трубы -
ф = (dV/dt)/S = dx/dt = v.
- плотность электрического тока –
ф = (dq/dt)/S = j.
Плотность потока – вектор, направленный в сторону переноса

6.

Плотность потока
S
Плотность потока в разных
точках поверхности может быть
разной по величине и
направлению.
dS
Элементарный поток через бесконечно малую площадку dS:
dФ = (ф, dS)
где ф - плотность потока в данной точке, dS – вектор,
направленный по нормали к площадке
Полный поток через сечение S:
Если фn = Const
dS n dS = фnS
S
S

7.

Эмпирические законы переноса. Вязкость
Между слоями жидкости
действуют силы внутреннего
трения (закон Ньютона):
dP/dx<0
Fтр
z
z+dz
z
v0
v0
dP/dx=0
dv
S
dz
где η – коэффициент
динамической вязкости;
S – площадь слоя, на который
действует сила;
Как показывает опыт, закон
Ньютона справедлив как для
жидкостей, так и для газов
dv/dz = (v(z+dz) - v(z))/dz скорость изменения скорости
жидкости в направлении z.

8.

Эмпирические законы переноса. Вязкость
Между слоями жидкости
действуют силы внутреннего
трения (закон Ньютона):
F = dр/dt - второй закон Ньютона
Фр = - ηSdv/dz - поток импульса
через площадку , перпендикулярную
оси z
фр = - η(dv/dz)ez - плотность потока
импульса
Знак минус учитывает, что импульс
передается в направлении убыли
скорости.
Fтр
dv
S
dz
где η – коэффициент
динамической вязкости;
S – площадь слоя, на который
действует сила;
dv/dz = (v(z+dz) - v(z))/dz скорость изменения скорости
жидкости в направлении z.

9.

Вязкость.
Между слоями жидкости действуют силы
внутреннего трения (закон Ньютона):
Fтр
dv
S
dz
Коэффициент вязкости η зависит от состава (химии) и агрегатного состояния
(жидкость, газ) вещества.
Единицы измерения коэффициента динамической вязкости в системе СИ:
Па•с = кг/м•с;
1 Пуаз = 0,1Па • с
В некоторых случаях употребляется коэффициент кинематической вязкости:
v = η/ρ . Его единица измерения в системе СИ: м2/с ;
Устаревшая единица измерения Стокс
: 1 Ст = 10-4м2/с

10.

Вязкость. Пример.
С какой силой F надо тянуть верхнюю пластину, чтобы она
двигалась со скоростью v относительно нижней?
z
F
v
d
Между слоями жидкости действуют
силы внутреннего трения (закон
Ньютона):
Fтр
dv
S
dz
F = ηS(v/d)
Коэффициент вязкости η зависит от состава (химии) и агрегатного состояния
(жидкость, газ) вещества.
Размерность коэффициента вязкости: Па•с = Н • с/м2

11.

Вязкость. Табличные величины
z
F=?
v=1м/с
F = ηS(v/d)
F/S = η(v/d)
d=1мм
для воды при 200С: ~1Н/м2
для мазута: ~2000 Н/м2
Вязкость жидкостей при 25 °C
Жидкость:
ацетон
бензол
кровь (при 37 °C)
касторовое масло
кукурузный сироп
этиловый спирт
глицерин (при 20 °C)
мазут
ртуть
моторное масло SAE 10 (при 20 °C)
моторное масло SAE 40 (при 20 °C)
жидкий азот (при 77K)
оливковое масло
серная кислота
вода
Вязкость
[мПа·с]
0.306
0.604
3–4
985
1380.6
1.074
1490
2022
1.526
65
319
0.158
81
24.2
0.894
Вязкость воды при разных температурах:
Температура Вязкость
[°C]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
[мПа·с]
1.308
1.002
0.7978
0.6531
0.5471
0.4668
0.4044
0.3550
0.3150
0.2822

12.

Вязкость. Табличные величины
Вязкость воды при разных температурах и в
разных агрегатных состояниях:
Температура Вязкость
[°C]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
[мПа·с]
1.308
1.002
0.7978
0.6531
0.5471
0.4668
0.4044
0.3550
0.3150
0.2822

13.

Вязкость.
Поведение жидкостей с разной вязкостью при падении в них твердого тела.

14.

Вязкость аморфных веществ
Вязкость аморфного вещества (например, стекла или расплавов) - это
термически активизируемый процесс:
где Q - энергия активации вязкости (кДж/моль) и А — некоторая
постоянная.

15.

Эмпирические законы переноса.
Теплопроводность (Закон Фурье)
Поток тепла
dT
Q
S
dz
Плотность потока тепла
q T
Здесь q - плотность потока тепла через единичную площадку,
расположенную перпендикулярно градиенту температуры,
размерность - Вт/м,
χ - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств
вещества и называемый коэффициентом теплопроводности,
размерность - Вт/(м∙К).
Знак минус указывает, что тепло распространяется в сторону убыли
температуры

16.

Теплопроводность. Табличные величины
Материал
Цветок над горелкой
Бунзена на куске
аэрогеля
Теплопроводность, Вт/(м·K)
Графен
(4840±440) — (5300±480)
Алмаз
1001—2600
Серебро
430
Медь
382—390
Золото
320
Алюминий
202—236
Железо
92
Платина
70
Сталь
47
Кварц
8
Стекло
1-1,15
Вода при нормальных условиях 0,6
Кирпич строительный
0,2—0,7
Пенобетон
0,14—0,3
Древесина
0,15
Свежий снег
0,10—0,15
Вата
0,055
Воздух (300 K, 100 кПа)
0,026
Вакуум (абсолютный)
0 (строго)
Бумага
0,14
Полистирол
0,082
Шерсть
0,05
Минеральная вата 0,045
Стекловолокно
0,036
Пробковое дерево 0,035
Аэрогель
0,017
Ксенон
0,0057

17. Стена комнаты имеет ширину 6 м и высоту 2,5 м. Толщина стены d =25см. Материал – кирпич с χ=0,77 Вт/ (м∙К). Оценить количество

Теплопроводность. ЗАДАЧА
Стена комнаты имеет ширину 6 м и высоту 2,5 м. Толщина стены
d =25см. Материал – кирпич с χ=0,77 Вт/ (м∙К). Оценить количество
тепла, уходящее через стену на улицу в единицу времени, если
разность температур снаружи и в комнате составляет ΔT=40 К.
Решение. Для кирпичной стены мощность тепловых потерь
P~
T
S ~ 1,8кВт
d
Для деревянного дома ( материал – сосновый брус толщиной d=15
см с χ = 0,15 Вт/ (м ∙К) мощность тепловых потерь в три (!) раза
меньше, несмотря на меньшую толщину стены.

18.

Эмпирические законы переноса. Диффузия
Диффузия ( diffusio — распространение, растекание) — процесс
взаимного проникновения молекул одного вещества между
молекулами другого, приводящий к выравниванию их концентраций по
всему занимаемому объёму.

19.

Эмпирические законы переноса. Диффузия
Диффузия ( diffusio — распространение, растекание) — процесс
взаимного проникновения молекул одного вещества между
молекулами другого, приводящий к выравниванию их концентраций по
всему занимаемому объёму.

20.

Эмпирические законы переноса.
Диффузия (Закон Фика)
Плотность потока молекул i-го вида
j i D ni
Здесь ji – плотность потока молекул i–го
вида, ni- концентрация молекул i –го вида, Dкоэффициент диффузии [м2/с] .
Знак минус учитывает, что поток молекул
направлен в сторону убыли концентрации
Поток молекул i-го вида
dni
Ni D
S
dz
Поток массы молекул i-го вида M i D
d i
S
dz

21.

Уравнение диффузии (второй закон Фика)
J(x)
J(x+dx)
j i D ni
dx S
δJ/δx = δn/δt
Уравнение непрерывности потока
δni/δt = DΔni
Уравнение диффузии (второй закон Фика) связывает пространственное и временное
изменения концентрации

22.

Уравнение диффузии - ПРИМЕР
Диффузия маленькой капли чернил в воде
=>
δni/δt = DΔni
r(t)=?
Как меняется концентрация чернил как функция времени и
расстояния до начальной точки n(r,t) ?

23.

Уравнение диффузии - ПРИМЕР
Диффузия капли чернил в воде
Нормальное распределение
r
δni/δt = DΔni
n(r,t) ~ А(Dt)-1/2 exp(-r2/4Dt)
reff(t) ~ (Dt)1/2

24.

Скорость диффузии - ПРИМЕРЫ
Примеры «быстрой» диффузии:
- перемешивание газов (например, распространение запахов)
- перемешивание жидкостей (если в воду капнуть чернил)
- дыхание животных и растений; проникновение кислорода из крови в
ткани человека
Примеры «медленной» диффузии:
- растворение сахара в воде: если кусочек сахара опустить на дно
стакана и воду не перемешивать, то пройдёт несколько недель,
прежде чем раствор станет однородным.
- диффузия одного твёрдого вещества в другое. Например, если
медь покрыть золотом, то при нормальных условиях (комнатная
температура и атмосферное давление) золотосодержащий слой
достигнет толщины в несколько микрон только через несколько тысяч
лет
- при увеличении температуры скорость диффузии быстро растет

25.

Явления переноса
Лекционные демонстрации
Диффузия аммиака (03)

26.

Столкновения молекул в газе
Эффективное сечение взаимодействия молекул
d
2
В случае смеси двух газов при столкновении молекул с эффективными диаметрами
d1 и d2 их центры сближаются на расстояние, равное d=(d1+ d2)/2 .
Среднее расстояние между последовательными столкновениями
называется длиной свободного пробега λ
λ ~ 1 / nσ
1
2 n

27.

Длина свободного пробега молекулы
Среднее расстояние между
последовательными столкновениями
называется длиной свободного пробега λ
λ ~ 1 / nσ
1
2 n
При нормальных условиях (атмосферное давление) длина свободного
пробега в молекул в воздухе составляет ~ 10-6 м
Поскольку концентрация молекул пропорциональна давлению газа, при
меньших давлениях длины пробега становятся больше.
ВАКУУМ: состояние газа, при котором длина свободного пробега
молекул оказывается больше размеров заключающего его сосуда,
называется вакуумом.

28.

Частота столкновений молекул
Среднее расстояние между
последовательными столкновениями
называется длиной свободного пробега λ
λ ~ 1 / nσ
Средняя частота столкновений
молекул в газе
Учитывая, что
8kT
V
m
1
2 n
ν ~ <v>/λ ~ σn<v>
=> ν
~ 4σn(kT/πm)1/2

29.

Столкновения молекул
Вероятность того, что молекула пролетит расстояние dx без
столкновения
dx
dP
Вероятность того, что молекула пролетит расстояние x без
столкновения
x
P ( x) exp( )
Средняя длина свободного пробега
x dx
x xdP( x) x exp( )
0

30. Параметры молекул воздуха при нормальных условиях ( Т=273 К, Р=105Па)

Столкновения молекул
Параметры молекул воздуха при нормальных условиях ( Т=273 К,
Р=105Па)
• Эффективное сечение взаимодействия σ ~ 1,3 10-19 м2;
• Концентрация
n ~ 3 1025 м-3;
• Средняя скорость
<v> ~ 500 м/c;
• Средняя частота столкновений ν ~ 2,5 109 1/c;
• Средняя длина свободного пробега λ ~ 2 10-7 м.

31.

Общее уравнение переноса
Пусть f - величина, плотность потока которой мы вычисляем.
Размерность плотности потока f - [f/м2c]
Отчего и как может зависеть плотность потока?
Δ
фf = k f n[1/м3]<v> [м/c]λ [м] = -(1/3)n<v>λ
f
Δ

32.

Общее уравнение переноса
f :{ , mvx , ci }
N
d S v dt cos
( f ( z cos ) f ( z cos ))
4
Vdt
f ( z cos ) f ( z ) cos
S v dt df
2 N
4 Vdt dz
/ 2
0
df
dz
2
1
df
cos 2 sin d d n v S
3
dz
0
1
n v f
3
Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. M.: КНОРУС, 2009.,гл.16

33.

Диффузия в газах (закон Фика)
1
n v f
3
j i D ni
Коэффициент диффузии
8kT
V
m
1
2 n
n1
j1; f c1
n
1
D v
3
D = (2/3σn)(kT/πm)1/2

34.

Диффузия в газах (закон Фика)
1
n v f
3
j i D ni
Коэффициент диффузии
n1
j1; f c1
n
D = (2/3σn)(kT/πm)1/2
3/ 2
n=p/kT =>
1 T T
D~
~
n m
p

35.

Теплопроводность в газах
1
n v f
3
q T
i
f kT ; q
2
Плотность потока тепла
Коэффициент теплопроводности
1
i
1
v λn k v λ cV
3
2
3
1
i
q v λn k T
3
2

36. Теплопроводность газов при λ <<d

Теплопроводность в газах
Теплопроводность газов при λ <<d
1
v λ cV
3
1
2 n
8kT
V
m
Коэффициент теплопроводности:
i — сумма поступательных и вращательных степеней свободы молекул (для
двухатомного газа i=5, для одноатомного i=3), k — постоянная Больцмана,
M — молярная масса, T — абсолютная температура, d — эффективный
диаметр молекул, R — универсальная газовая постоянная.
Из формулы видно, что наименьшей теплопроводностью обладают тяжелые одноатомные
(инертные) газы, наибольшей — легкие многоатомные (что подтверждается практикой).
максимальная теплопроводность из всех газов — у водорода, минимальная — у радона и ксенона)

37.

Явления переноса
Лекционные демонстрации
Теплопроводность газов (06, 09)

38.

Вязкость в газах
фр = - η(dv/dz)ez - плотность
потока импульса
1
n v f
3
f mvx , k
Плотность потока импульса
1
dvx
k v λnm
ez
3
dz
Коэффициент динамической вязкости
1
1
η v λnm v λρ
3
3

39.

Вязкость в газах
Коэффициент динамической вязкости
1
1
η v λnm v λρ ~ (kTm)1/2/σ
3
3
η 1
Кинематическая вязкость
ν v λ
ρ 3
Динамическая вязкость
1) не зависит от n ( и от давления p);
2) пропорциональна T1/2.
Кинематическая вязкость совпадает с коэффициентом диффузии
При 15.0 °C вязкость воздуха составляет 1.72·10−5 Па.с.

40.

Явления переноса
Лекционные демонстрации
Вязкость газа (15)

41.

Соотношения между коэффициентами переноса
Коэффициенты динамической и кинематической вязкости
пропорциональны коэффициенту диффузии
D; D
cV
1
D v
3
Коэффициент теплопроводности связан с теплоемкостью
Коэффициенты переноса для воздуха при нормальных условиях
=1,72 10-5 Па с;
2,41 10-2 Вт/(м К).

42.

Ультраразреженный газ ( вакуум)
ВАКУУМ: состояние газа, при котором длина свободного пробега
молекул λ оказывается сравнима или больше размеров заключающего
его сосуда d.
Различают три вида вакуума:
1) низкий, когда λ~d, но несколько меньше;
2) средний, когда λ~d , но несколько больше;
3) высокий (ультраразреженный газ), когда λ>>d.
1
2 n

43.

Теплопроводность ультраразреженного газа
d
По
аналогии
с
ранее
полученными формулами:
T2 T1
q
d
1
v λ cV
3
=>
v CV
~ pd
RT
Коэффициент
χ можно условно назвать коэффициентом
теплопроводности. В его определении длина свободного пробега λ
заменяется на размер сосуда ~d, с учетом соотношения p = nkT:

44.

Вязкость ультраразреженного газа
d
1
1
η v λnm v λρ
3
3
По аналогии с ранее полученными формулами, заменяем длину
свободного пробега λ на размер сосуда, с учетом соотношения
p = nkT :
pd
~
v

45.

Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Основы молекулярной и статистической
физики
Далее - Часть 8
(Лекции 11, 12)
Динамика жидкостей и газов