Наибольшее и наименьшее значения функции. Сложная функция

1.

Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

2.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция
нескольких функций. Сложная функция – функция от функции.
(
)
Сложная функция u v (x) представлена в виде цепочки простых
функций. v (x) – промежуточный аргумент, x – независимая переменная.
Здесь у нас две функции – u и v, причем функция v, образно говоря,
вложена в функцию u. Функция такого вида (когда одна функция вложена в
другую) и называется сложной функцией.
Производная сложной функции равна произведению производной данной
функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного
аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило)
распространяется на сложные функции с двумя, тремя и т. д.
промежуточными аргументами:
[ u (v (x))] /= u /(v (x ))
/ /
u
v
[ ( )] = u (v) v /
v /(x)
В этой записи я «сэкономила» независимый
аргумент «х».

3.

Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице
производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение
внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите формулу функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то
значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение
функции и производите арифметические действия. То действие, которое
вы делаете последним и есть внешняя функция.
В композиции может быть и больше двух функций:
у / = f / ( f1 ( f2 ( f3 ( f4 ( x))))) f1 / ( f2 ( f3 ( f4 ( x)))) f2 / ( f3 ( f4 ( x))) f3 / ( f4 ( x)) f4 / ( x)

4.

Функция квадратного корня
у = 5 4х х2
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Показательная функция
у=2
х 2 2 х 5
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Логарифмическая функция
(
)
у = log 5 4 2 x x 2 3
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Степенная функция
у = sin 4 x
Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx

5.

1. Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на
отрезке [1; 2]
4– 6e2+ 3
2 – 6e + 3;
y(2)
=
e
1)
y(1)
=
e
Значения функции в
концах отрезка.
– 6ex + 0 = 2ex(ex – 3)
[ u v)] /= u /(v) v / (e2x)/ = e2x (2x)/ = e2x 2 >0
= 2e2x
2) y / =
(
(ex)/
=
ex
(kx)/ = k
0
r
log b(e=) r=log
2e (eab
– 3) = 0
e
1) производная
a
для внешней функции:
x
x /
x
x
ex – 3 = 0
Наименьшее
2) умножим
значение
на производную
(kx)/ =1 k
функция
промежуточного
будет принимать
аргумента:
в
x= ln
e
ln
3
Найдем критические точки,
точке минимума.
Проверим, принадлежит ли
которые принадлежат Можно сэкономить на
x = ln3 [1; 2]
х=ln3 промежутку [1; 2]
заданному отрезку.
вычислениях значений
ln 3отрезка.
2
функции в1концах
(С)/ = 0
ln e ln 3 ln e
\
2
y
e 3 e верно
y
e 2,7
2
Найдем значение
функции в критической
точке.
2 ln 3
у(ln 3) = e
logaa = 1
–
+
ln3
min
6eln3 3 = 9 6 3 3 = 6
x

6.

2. Найдите наибольшее значение функции у =
D(y): 5 – 4х – х2
f /(g (x)) = f /(g (x)) g /(x)
/
( х) =
у =
2 х
Вычислим производную, используя
формулу для вычисления
производной сложной функции.
Найдем критические точки,
которые принадлежат D(у).
1
/
1
=
2 5 4х х2
1
2 5 4х х2
x=–2
(
0
)
5 4х х2 / =
2(2 х )
=( 4 2 х)
2 5 4х х2
D(y)
y\
y
Наибольшее значение
функция примет в точке
максимума.
у ( 2)
5 4х х2
–
+
-2
max
x
= 5 4 ( 2) ( 2) 2 = 5 8 4 = 9 = 3
В 14
3
3
10 х
х

7.

При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и
наименьшего значений функции можно найти ответ и без
вычисления производной.
Сложная функция f (g(x)) представлена в виде цепочки простых
функций.
Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция
g(x) = ax2 +bx + c
Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области
определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция
промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь
наибольшее значение.
А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного
аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение.
Рассмотрим примеры.

8.

2 способ
2. Найдите наибольшее значение функции у =
Решим задание без вычисления производной.
5 4х х2
D(y): 5 – 4х – х2
0
Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области
определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция
промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 4х + 5 будет
иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви
параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция
будет иметь в вершине.
х0 = b
2a
х0 = -4
D(y)
2*(-1) = -2
Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда
промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в
точке х = – 2. Вычислим его:
у ( 2) = 5 4 ( 2) ( 2) 2 = 5 8 4 = 9 = 3
В 14
3
3
10 х
х

9.

3. Найдите наименьшее значение функции у =
D(y): х2– 6х +13
f /(g (x)) = f /(g (x)) g /(x)
/
( х) =
1
у =
Вычислим производную, используя
формулу для вычисления
производной сложной функции.
Найдем критические точки,
которые принадлежат D(у).
0
)
х 2 6 х 13 / =
2 х 2 6 х 13
1
2( х 3)
=
=
(2х 26)
2
2 х 6 х 13 2 х 6 х 13
x=3
D(y)
–
y\
y
Наименьшее значение
функция примет в точке
минимума.
у (3)
(
1
/
2 х
х 2 6 х 13
+
3
min
x
= 32 6 3 13 = 9 18 13 = 4 = 2
В 14
2
3
10 х
х

10.

2 способ
3. Найдите наименьшее значение функции у =
Решим задание без вычисления производной.
х 2 6 х 13
D(y): х2– 6х +13
0
Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области
определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция
промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 – 6х + 13 будет
иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви
параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная
функция будет иметь в вершине.
х0 = b
2a
х0 = -6
2· 1
= 3 D(y)
Итак, наименьшее значение функция квадратного корня примет, когда
промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в
точке х = 3. Вычислим его:
у (3) = 32 6 3 13 = 9 18 13 = 4 = 2
В 14
2
3
10 х
х

11.

4. Найдите наименьшее значение функции
f /(g (x)) = f /(g (x)) g /(x)
(a )
х
/
= a х ln a
у =2
/
х 2 2 х 5
Вычислим производную, используя
формулу для вычисления
производной сложной функции.
у=2
D(y): x R
(
)
ln 2 x 2 2 x 5 / =
=2
х 2 2 х 5
ln 2 (2 x 2)
x = - 1 D(y)
Найдем критические точки,
которые принадлежат D(у).
–
y\
y
Наименьшее значение
функция примет в точке
минимума.
х 2 2 х 5
+
-1
min
( 1) 2 2 ( 1) 5
у( 1) = 2
В 14
x
= 21 2 5 = 24 = 16
1 6
3
10 х
х

12.

2 способ
4. Найдите наименьшее значение функции
Решим задание без вычисления производной.
х 2 2 х 5
у=2
D(y): x R
Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей
области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда
функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 + 2х + 5
будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви
параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная
функция будет иметь в вершине.
х0 = 2
2* 1
х0 = b
2a
= – 1 D(y)
Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда
промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в
точке х = – 1. Вычислим его:
( 1) 2 2 ( 1) 5
1 2 5
4
у( 1) = 2
=2
В 14
1 6
=2
3
10 х
х
= 16

13.

7 6 х х 2
у =3
D(y): x R
5. Найдите наибольшее значение функции
f /(g (x)) = f /(g (x)) g /(x)
(a )
х
/
= a х ln a
7 6 х х 2
у =3
/
Вычислим производную, используя
формулу для вычисления
производной сложной функции.
)
7 6 х х 2
=3
ln 3 ( 6 2 х )
x = - 3 D(y)
Найдем критические точки,
которые принадлежат D(у).
y\
y
Наибольшее значение
функция примет в точке
максимума.
у( 3)
(
ln 3 7 6 х x 2 / =
–
+
-3
max
7 6 ( 3) ( 3) 2
=3
В 14
=3
9
x
7 18 9
3
10 х
=3
х
2
=9

14.

2 способ
5. Найдите наибольшее значение функции
Решим задание без вычисления производной.
7 6 х х 2
у =3
D(y): x R
Показательная функция с основанием 3>1 монотонно возрастает на всей
области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда
функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 6х – 7
будет иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви
параболы направлены вниз. И набольшее значение квадратичная функция
будет иметь в вершине.
х0 = b
2a
х0 = - 6
D(y)
2· (-1) = – 3
Итак, наибольшее значение показательная функция примет, когда
промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в
точке х = – 3. Вычислим его:
2
у( 3) = 3 7 6 ( 3) ( 3) = 3 7 18 9 = 32 = 9
В 14
9
3
10 х
х

15.

6. Найдите наибольшее значение функции
(
)
у = log 5 4 2 x x 2 3
Решим задание без
вычисления производной.
D(y): 4 – 2х – х2
0
Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно
возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение
она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е.
квадратичная функция 4 – 2х – х2 будет иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1<0, значит, ветви
параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция
будет иметь в вершине.
х0 = -2 = -1
2(-1)
х0 = b
2a
(
1
)
у( 1) = log 5 4 2 ( 1) ( 1) 3 = log 5 (4 2 1) 3 = log 5 5 3
2
=4
В 14
4
3
10 х
х

16.

7. Найдите наименьшее значение функции
(
)
у = log 3 x 2 6 х 10 2
Решим задание без
вычисления производной.
D(y): х2 – 6х + 10 0
Логарифмическая функция с основанием 3 является монотонно
возрастающей на всей области определения. Значит, наименьшее значение
она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е.
квадратичная функция х2 – 6х + 10 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1>0, значит, ветви
параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная
функция будет иметь в вершине.
х0 = b
2a
(
х0 = -6 = 3
2·1
0
)
у (3) = log 3 32 6 3 10 2 = log 3 (9 18 10) 2 = log 3 1 2 = 2
В 14
2
3
10 х
х